1. Đúng.
$Delta ABC$ đều nên $IH = dfrac{1}{2}CI = dfrac{1}{2}.dfrac{sqrt{3}.sqrt{3}}{2} = dfrac{sqrt{3}}{3} = dfrac{3}{4}$
Ta có: $left( {SA,left( {ABC} right)} right) = left( {SA,AH} right) = angle SAH$
Theo giả thiết $angle SAH = 45{^circ}$
Khi đó $Delta SAH$ vuông cân tại $H$
Suy ra $SH = AH = sqrt{AI^{2} + HI^{2}} = sqrt{left( dfrac{sqrt{3}}{2} right)^{2} + left( dfrac{3}{4} right)^{2}} = dfrac{sqrt{21}}{4}$
2. Đúng.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$
Kẻ $GK parallel SH,,left( {K in HM} right)$
Theo định lí Thales ta có $GK = dfrac{SH}{3} = dfrac{sqrt{21}}{4.3} = dfrac{sqrt{21}}{12}$
Thể tích của khối chóp $G.ABC$ là $V_{G.ABC} = dfrac{1}{3}.{sqrt{3}}^{2}.dfrac{sqrt{3}}{4}.dfrac{sqrt{21}}{12} = dfrac{sqrt{7}}{16}$
3. Sai.
Kẻ $HNbot BC,,left( {N in BC} right)$
Ta có: $SHbot BC$ nên $left( {SHN} right)bot BC$
Khi đó $left( {left( {SBC} right),left( {ABC} right)} right) = left( {SN,HN} right) = angle SNH$
Ta có: $tanangle SNH = dfrac{SH}{HN} = dfrac{dfrac{sqrt{21}}{4}}{dfrac{3}{4}sin 30{^circ}} = dfrac{2sqrt{21}}{3}$
4. Sai.
Ta có: $SHbot AB,,, HIbot AB$
Do đó $left( {SHI} right)bot AB$ nên $left( {SHI} right)botleft( {SAB} right)$
Kẻ $HLbot SI,,left( {L in SI} right)$
Khi đó $HLbotleft( {SAB} right)$
Ta có: $dfrac{dleft( {C,left( {SAB} right)} right)}{dleft( {H,left( {SAB} right)} right)} = dfrac{CI}{HI} = 2$ nên $dleft( {C,left( {SAB} right)} right) = 2dleft( {H,left( {SAB} right)} right)$
Lại có: $HL = dfrac{SH.HI}{sqrt{SH^{2} + HI^{2}}} = dfrac{dfrac{sqrt{21}}{4}.dfrac{3}{4}}{sqrt{left( dfrac{sqrt{21}}{4} right)^{2} + left( dfrac{3}{4} right)^{2}}} = dfrac{3sqrt{70}}{40}$
Vậy $d(C,(SAB))=dfrac{3sqrt{70}}{20}$
5. Sai.
Gọi $CG cap SB = Q$
Ta có: $dfrac{SQ}{SB} = dfrac{1}{2} = dfrac{AI}{AB}$ nên $QI parallel SA$
Mà $SA subset left( {IQC} right)$ nên $SA parallel left( {IQC} right)$
Khi đó $dleft( {SA,CG} right) = dleft( {A,left( {IQC} right)} right)$
Gọi $N$ là trung điểm của $BH$ và $AN cap IH = P$
Khi đó $dfrac{dleft( {A,left( {IQC} right)} right)}{dleft( {N,left( {IQC} right)} right)} = dfrac{AP}{NP} = 2$
Kẻ $NEbot IH,,left( {E in IH} right),,, NFbot QE,,left( {F in QE} right)$
Khi đó $NFbotleft( {IQC} right)$ hay $dleft( {N,left( {IQC} right)} right) = NF$
Ta có: $NE parallel IB,$(cùng vuông góc với $IH$)
Do đó $NE = dfrac{1}{2}IB = dfrac{1}{2}.dfrac{sqrt{3}}{2} = dfrac{sqrt{3}}{4}$
Tương tự $NQ = dfrac{1}{2}SH = dfrac{sqrt{21}}{8}$
Ta có: $NF = dfrac{NQ.NE}{sqrt{NQ^{2} + NE^{2}}} = dfrac{sqrt{231}}{44}$
Vậy $dleft( {SA,CG} right) = 2dleft( {N,left( {IQC} right)} right) = 2.dfrac{sqrt{231}}{44} = dfrac{sqrt{231}}{22}$
