BÀI TẬP LOGARIT HÀM ĐẶC TRƯNG (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT)
Các em phải ghi nhớ hai tính chất trên để có thể vận dụng linh hoạt vào một số bài toán
ỨNG DỤNG
Ta sẽ ứng dụng hai tính chất trên vào giải một số phương trình logarit
Bài này không cần điều kiện vì $dfrac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1}>0$ với $forall xin mathbb{R}$
$ln left( dfrac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1} right)={{x}^{2}}-xLeftrightarrow ln left( 2{{x}^{2}}+1 right)-ln left( {{x}^{2}}+x+1 right)={{x}^{2}}-x$
$Leftrightarrow ln left( 2{{x}^{2}}+1 right)-ln left( {{x}^{2}}+x+1 right)=left( 2{{x}^{2}}+1 right)-left( {{x}^{2}}+x+1 right)$
$Leftrightarrow ln left( 2{{x}^{2}}+1 right)-left( 2{{x}^{2}}+1 right)=ln left( {{x}^{2}}+x+1 right)-left( {{x}^{2}}+x+1 right)left( * right)$
Ta đặt $left{ begin{align} & u=2{{x}^{2}}+1 & v={{x}^{2}}+x+1 end{align} right.$. Khi đó ta có
$left( * right)Leftrightarrow ln u-u=ln v-vleft( ** right)$
Xét hàm đặc trưng: $fleft( t right)=ln t-t$ với $tin left( 1;+infty right)$
Ta có $f’left( t right)=dfrac{1}{t}-1<0,forall tin left( 1;+infty right)$
Do đó hàm số $fleft( t right)$ nghịch biến trên $left( 1;+infty right)$
Khi đó $left( ** right)Leftrightarrow fleft( u right)=fleft( v right)$, và do $fleft( t right)$ đơn điệu nên $u=vLeftrightarrow 2{{x}^{2}}+1={{x}^{2}}+x+1$
$Leftrightarrow {{x}^{2}}-x=0$
$Leftrightarrow left[ begin{align} & x=0 & x=1 end{align} right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình $S=left{ 0;1 right}$
Những dạng bài toán kiểu không thể xử lý theo cách thông thường như thế này ta sẽ nghĩ tới hàm đặc trưng
Trước tiên ta sẽ tìm mối liên hệ giữa ${{x}^{2}}+x+3$; $2{{x}^{2}}+4x+5$ và ${{x}^{2}}+3x+2$
Dễ thấy $left( 2{{x}^{2}}+4x+5 right)-left( {{x}^{2}}+x+3 right)={{x}^{2}}+3x+2$
Bài này ta cũng không cần điều kiện vì $dfrac{{{x}^{2}}+x+3}{2{{x}^{2}}+4x+5}>0,forall xin mathbb{R}$
Ta biết đổi phương trình ban đầu
$left( * right)Leftrightarrow {{log }_{2}}left( {{x}^{2}}+x+3 right)-{{log }_{2}}left( 2{{x}^{2}}+4x+5 right)=left( 2{{x}^{2}}+4x+5 right)-left( {{x}^{2}}+x+3 right)$
$Leftrightarrow {{log }_{2}}left( {{x}^{2}}+x+3 right)+left( {{x}^{2}}+x+3 right)={{log }_{2}}left( 2{{x}^{2}}+4x+5 right)+left( 2{{x}^{2}}+4x+5 right)$
Ta đặt $left{ begin{align} & u={{x}^{2}}+x+3 & v=2{{x}^{2}}+4x+5 end{align} right.$. Khi đó ta có
$Leftrightarrow {{log }_{2}}u+u={{log }_{2}}v+vleft( ** right)$
Xét hàm đặc trưng: $fleft( t right)={{log }_{2}}t+t$ với $tin left( 0;+infty right)$
$f’left( t right)=dfrac{1}{tln 2}+1>0$ với $tin left( 0;+infty right)$
Do đó $fleft( t right)$ đồng biến trên $left( 0;+infty right)$
Khi đó $left( ** right)Leftrightarrow fleft( u right)=fleft( v right)Leftrightarrow u=v$
$Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+3=2{{x}^{2}}+4x+5$
$Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x+2=0$
$Leftrightarrow left[ begin{align} & x=-1 & x=-2 end{align} right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=left{ -2;-1 right}$
Điều kiện: $6x+1>0Leftrightarrow x>-dfrac{1}{6}$
$left( * right)Leftrightarrow {{7}^{x}}+6x=left( 6x+1 right)+6{{log }_{7}}left( 6x+1 right)$
$Leftrightarrow {{7}^{x}}+6x={{7}^{{{log }_{7}}left( 6x+1 right)}}+6{{log }_{7}}left( 6x+1 right)$
Đặt $left{ begin{align} & u=x & v={{log }_{7}}left( 6x+1 right) end{align} right.$. Khi đó ta có
${{7}^{u}}+6u={{7}^{v}}+6v,left( ** right)$
Xét hàm đặc trưng: $fleft( t right)={{7}^{t}}+6t,left( tin mathbb{R} right)$
Dễ thấy $f’left( t right)={{7}^{t}}ln 7>0$ nên $fleft( t right)$ đơn điệu trên $mathbb{R}$
Khi đó $left( ** right)Leftrightarrow fleft( u right)=fleft( v right)$
$Leftrightarrow u=v$
$Leftrightarrow x={{log }_{7}}left( 6x+1 right)$
$Leftrightarrow 6x+1={{7}^{x}}$
$Leftrightarrow {{7}^{x}}-6x-1=0$
Xét hàm $gleft( x right)={{7}^{x}}-6x-1$
Ta có $g’left( x right)={{7}^{x}}ln 7-6$
$g”left( x right)={{7}^{x}}{{ln }^{2}}7>0$
$gleft( x right)$ có đạo hàm cấp hai vô nghiệm, do đó $gleft( x right)$ có tối đa hai nghiệm
Dễ thấy $x=0,x=1$ là hai nghiệm của $gleft( x right)$
Vậy tập nghiệm của phương trình $S=left{ 0;1 right}$
Điều kiện: $6x-5>0Leftrightarrow x>dfrac{5}{6}$
$left( * right)Leftrightarrow {{7}^{x-1}}-6{{log }_{7}}left( 6x-5 right)=1$
$Leftrightarrow {{7}^{x-1}}+6left( x-1 right)=left( 6x-5 right)+6{{log }_{7}}left( 6x-5 right)$
$Leftrightarrow {{7}^{x-1}}+6left( x-1 right)={{7}^{{{log }_{7}}left( 6x-5 right)}}+6{{log }_{7}}left( 6x-5 right)$
Đặt $left{ begin{align} & u=x-1 & v={{log }_{7}}left( 6x-5 right) end{align} right.$, khi đó ta có
$Leftrightarrow {{7}^{u}}+6u={{7}^{v}}+6v,left( ** right)$
Xét hàm đặc trưng
$fleft( t right)={{7}^{t}}+6t,left( tin mathbb{R} right)$
Ta có $f’left( t right)={{7}^{t}}ln 7+6>0,left( forall tin mathbb{R} right)$, nên $fleft( t right)$ đơn điệu trên $mathbb{R}$
Khi đó $left( ** right)Leftrightarrow fleft( u right)=fleft( v right)$
$Leftrightarrow u=v$
$Leftrightarrow x-1={{log }_{7}}left( 6x-5 right)$
$Leftrightarrow 6x-5={{7}^{x-1}}$
$Leftrightarrow {{7}^{x-1}}-6x+5=0$
Xét $gleft( x right)={{7}^{x-1}}-6x+5$
Ta có $g’left( x right)={{7}^{x-1}}ln 7-6$
$g”left( x right)={{7}^{x-1}}{{ln }^{2}}7>0$
$gleft( x right)$ có đạo hàm cấp hai vô nghiệm, do đó $gleft( x right)$ có tối đa hai nghiệm
Dễ thấy $x=1;x=2$ là hai nghiệm của $gleft( x right)$
Vậy tập nghiệm của phương trình $S=left{ 1;2 right}$
