DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC – CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC $X$ – ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC. 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI + Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản. + Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác. + Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1 : Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa). a) ${sin ^4}x + {cos ^4}x$ $ = 1 – 2{sin ^2}x.{cos ^2}x.$ b) $frac{{1 + cot x}}{{1 – cot x}} = frac{{tan x + 1}}{{tan x – 1}}.$ c) $frac{{cos x + sin x}}{{{{cos }^3}x}}$ $ = {tan ^3}x + {tan ^2}x + tan x + 1.$
a) ${sin ^4}x + {cos ^4}x$ $ = {sin ^4}x + {cos ^4}x$ $ + 2{sin ^2}x{cos ^2}x$ $ – 2{sin ^2}x{cos ^2}x.$ $ = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^2}$ $ – 2{sin ^2}x{cos ^2}x.$ $ = 1 – 2{sin ^2}x{cos ^2}x.$ b) $frac{{1 + cot x}}{{1 – cot x}}$ $ = frac{{1 + frac{1}{{tan x}}}}{{1 – frac{1}{{tan x}}}}$ $ = frac{{frac{{tan x + 1}}{{tan x}}}}{{frac{{tan x – 1}}{{tan x}}}}$ $ = frac{{tan x + 1}}{{tan x – 1}}.$ c) $frac{{cos x + sin x}}{{{{cos }^3}x}}$ $ = frac{1}{{{{cos }^2}x}} + frac{{sin x}}{{{{cos }^3}x}}$ $ = {tan ^2}x + 1 + tan xleft( {{{tan }^2}x + 1} right).$ $ = {tan ^3}x + {tan ^2}x + tan x + 1.$
Ví dụ 2 : Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng: $frac{{{{sin }^3}frac{B}{2}}}{{cos left( {frac{{A + C}}{2}} right)}}$ $ + frac{{{{cos }^3}frac{B}{2}}}{{sin left( {frac{{A + C}}{2}} right)}}$ $ – frac{{cos (A + C)}}{{sin B}}.tan B = 2.$
Vì $A + B + C = {180^0}$ nên: $VT = frac{{{{sin }^3}frac{B}{2}}}{{cos left( {frac{{{{180}^0} – B}}{2}} right)}}$ $ + frac{{{{cos }^3}frac{B}{2}}}{{sin left( {frac{{{{180}^0} – B}}{2}} right)}}$ $ – frac{{cos left( {{{180}^0} – B} right)}}{{sin B}}.tan B.$ $ = frac{{{{sin }^3}frac{B}{2}}}{{sin frac{B}{2}}} + frac{{{{cos }^3}frac{B}{2}}}{{cos frac{B}{2}}}$ $ – frac{{ – cos B}}{{sin B}}.tan B$ $ = {sin ^2}frac{B}{2} + {cos ^2}frac{B}{2} + 1$ $ = 2 = VP.$ Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3 : Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa): a) $A = sin left( {{{90}^0} – x} right)$ $ + cos left( {{{180}^0} – x} right)$ $ + {sin ^2}xleft( {1 + {{tan }^2}x} right)$ $ – {tan ^2}x.$ b) $B = frac{1}{{sin x}}.sqrt {frac{1}{{1 + cos x}} + frac{1}{{1 – cos x}}} – sqrt 2 .$
a) $A = cos x – cos x$ $ + {sin ^2}x.frac{1}{{{{cos }^2}x}}$ $ – {tan ^2}x = 0.$ b) $B = frac{1}{{sin x}} cdot sqrt {frac{{1 – cos x + 1 + cos x}}{{(1 – cos x)(1 + cos x)}}} – sqrt 2 .$ $ = frac{1}{{sin x}}.sqrt {frac{2}{{1 – {{cos }^2}x}}} – sqrt 2 $ $ = frac{1}{{sin x}}.sqrt {frac{2}{{{{sin }^2}x}}} – sqrt 2 .$ $ = sqrt 2 left( {frac{1}{{{{sin }^2}x}} – 1} right)$ $ = sqrt 2 {cot ^2}x.$
Ví dụ 4 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x.$ $P = sqrt {{{sin }^4}x + 6{{cos }^2}x + 3{{cos }^4}x} $ $ + sqrt {{{cos }^4}x + 6{{sin }^2}x + 3{{sin }^4}x} .$
$P = sqrt {{{left( {1 – {{cos }^2}x} right)}^2} + 6{{cos }^2}x + 3{{cos }^4}x} $ $ + sqrt {{{left( {1 – {{sin }^2}x} right)}^2} + 6{{sin }^2}x + 3{{sin }^4}x} .$ $ = sqrt {4{{cos }^4}x + 4{{cos }^2}x + 1} $ $ + sqrt {4{{sin }^4}x + 4{{sin }^2}x + 1} .$ $ = 2{cos ^2}x + 1 + 2{sin ^2}x + 1.$ $ = 3.$ Vậy $P$ không phụ thuộc vào $x.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1 : Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa): a) ${tan ^2}x – {sin ^2}x = {tan ^2}x.{sin ^2}x.$ b) ${sin ^6}x + {cos ^6}x = 1 – 3{sin ^2}x.{cos ^2}x.$ c) $frac{{{{tan }^3}x}}{{{{sin }^2}x}} – frac{1}{{sin xcos x}} + frac{{{{cot }^3}x}}{{{{cos }^2}x}}$ $ = {tan ^3}x + {cot ^3}x.$ d) ${sin ^2}x – {tan ^2}x$ $ = {tan ^6}xleft( {{{cos }^2}x – {{cot }^2}x} right).$ e) $frac{{{{tan }^2}a – {{tan }^2}b}}{{{{tan }^2}a.{{tan }^2}b}}$ $ = frac{{{{sin }^2}a – {{sin }^2}b}}{{{{sin }^2}a.{{sin }^2}b}}.$
a) $VT = frac{{{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} – {sin ^2}x$ $ = {sin ^2}xleft( {1 + {{tan }^2}x} right) – {sin ^2}x$ $ = VP.$ b) ${sin ^6}x + {cos ^6}x$ $ = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^3}$ $ – 3{sin ^2}x.{cos ^2}xleft( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)$ $ = 1 – 3{sin ^2}x.{cos ^2}x.$ c) $VT = {tan ^3}xleft( {{{cot }^2}x + 1} right)$ $ – tan xleft( {{{cot }^2}x + 1} right)$ $ + {cot ^3}xleft( {{{tan }^2}x + 1} right)$ $ = tan x + {tan ^3}x – cot x$ $ – tan x + cot x + {cot ^3}x = VP.$ d) $VP = {tan ^6}x{cos ^2}x – {tan ^6}x{cot ^2}x$ $ = {tan ^4}x{sin ^2}x – {tan ^4}x$ $ = {tan ^4}x.{cos ^2}x$ $ = {tan ^2}x.{sin ^2}x$ $ = {tan ^2}x – {sin ^2}x = VT$ (do câu a). e) $VT = frac{1}{{{{tan }^2}b}} – frac{1}{{{{tan }^2}a}}$ $ = {cot ^2}b – {cot ^2}a$ $ = frac{1}{{{{sin }^2}b}} – frac{1}{{{{sin }^2}a}} = VP.$
Bài 2 : Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa): a) $A = frac{1}{{{{cos }^2}x}}$ $ – {tan ^2}left( {{{180}^0} – x} right)$ $ – {cos ^2}left( {{{180}^0} – x} right).$ b) $B = frac{{{{cos }^2}x – {{sin }^2}x}}{{{{cot }^2}x – {{tan }^2}x}} – {cos ^2}x.$ c) $C = frac{{{{sin }^3}a + {{cos }^3}a}}{{{{cos }^2}a + sin a(sin a – cos a)}}.$ d) $D = sqrt {frac{{1 + sin a}}{{1 – sin a}}} + sqrt {frac{{1 – sin a}}{{1 + sin a}}} .$
a) $A = {tan ^2}x + 1$ $ – {tan ^2}x – {cos ^2}x$ $ = {sin ^2}x.$ b) $B = frac{{{{cos }^2}x – {{sin }^2}x}}{{frac{1}{{{{sin }^2}x}} – 1 – frac{1}{{{{cos }^2}x}} + 1}}$ $ – {cos ^2}x$ $ = {cos ^2}x{sin ^2}x – {cos ^2}x$ $ = – {cos ^4}x.$ c) $C = $ $frac{{(sin a + cos a)left( {{{sin }^2}a – sin acos a + {{cos }^2}a} right)}}{{{{sin }^2}a – sin acos a + {{cos }^2}a}}$ $ = sin a + cos a.$ d) ${D^2} = $ $frac{{1 + sin a}}{{1 – sin a}} + frac{{1 – sin a}}{{1 + sin a}} + 2$ $ = frac{{{{(1 + sin a)}^2} + {{(1 – sin a)}^2}}}{{1 – {{sin }^2}a}} + 2$ $ = frac{{2 + 2{{sin }^2}a}}{{{{cos }^2}a}} + 2$ $ = frac{4}{{{{cos }^2}a}}.$ Suy ra $D = frac{2}{{|cos a|}}.$
Bài 3 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $alpha $ (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa): a) $2left( {{{sin }^6}alpha + {{cos }^6}alpha } right)$ $ – 3left( {{{sin }^4}alpha + {{cos }^4}alpha } right).$ b) ${cot ^2}{30^0}left( {{{sin }^8}alpha – {{cos }^8}alpha } right)$ $ + 4cos {60^0}left( {{{cos }^6}alpha – {{sin }^6}alpha } right)$ $ – {sin ^6}left( {{{90}^0} – alpha } right){left( {{{tan }^2}alpha – 1} right)^3}.$ c) $left( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x – 1} right)$$left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x + 2} right).$ d) $frac{{{{sin }^4}x + 3{{cos }^4}x – 1}}{{{{sin }^6}x + {{cos }^6}x + 3{{cos }^4}x – 1}}.$
a) $2left( {{{sin }^6}alpha + {{cos }^6}alpha } right)$ $ – 3left( {{{sin }^4}alpha + {{cos }^4}alpha } right).$ $ = 2left( {1 – 3{{sin }^2}x.{{cos }^2}x} right)$ $ – 3left( {1 – 2{{sin }^2}x.{{cos }^2}x} right) = – 1.$ b) ${cot ^2}{30^0}left( {{{sin }^8}alpha – {{cos }^8}alpha } right)$ $ + 4cos {60^0}left( {{{cos }^6}alpha – {{sin }^6}alpha } right)$ $ – {sin ^6}left( {{{90}^0} – alpha } right){left( {{{tan }^2}alpha – 1} right)^3}.$ $ = 3left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)left( {{{sin }^4}alpha + {{cos }^4}alpha } right)$ $ – 2left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)$$left( {{{sin }^4}alpha + {{sin }^2}alpha {{cos }^2}alpha + {{cos }^4}alpha } right)$ $ – {left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)^3}.$ $ = {left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)^3}$ $ – {left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)^3} = 0.$ c) $left( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x – 1} right)$$left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x + 2} right)$ $ = – 2.$ d) $frac{{{{sin }^4}x + 3{{cos }^4}x – 1}}{{{{sin }^6}x + {{cos }^6}x + 3{{cos }^4}x – 1}}$ $ = frac{2}{3}.$
