Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho tích phân và ứng dụng
Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết
Bài toán 1(Bất đẳng thức Cauchy – schwarz cho tích phân)
Cho $f,g:left[ a,b right]to mathbb{R}$ là các hàm khả tích trên đoạn $left[ a,b right]$. Khi đó ta luôn có
$intlimits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}intlimits_{a}^{b}{{{g}^{2}}(x)dx}ge {{left( intlimits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} right)}^{2}}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $f=kg$ với số thực $kne 0$.
Chứng minh. Với mọi $tin mathbb{R}$ xét bình phương ta luôn có : $intlimits_{a}^{b}{{{left( tf(x)+g(x) right)}^{2}}}dxge 0$
Điều này tương đương với : $h(t)=left( intlimits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx} right){{t}^{2}}+2left( intlimits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} right)t+intlimits_{a}^{b}{{{g}^{2}}(x)dx}ge 0,forall tin mathbb{R}$
Trường hợp : $intlimits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}=0Leftrightarrow f(x)=0$, bất đẳng thức đã cho là đẳng thức.
Trường hợp : $intlimits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}>0$, đây là tam thức bậc 2 hệ số a dương và luôn không âm, tức biệt thức Delta luôn không dương. Điều này tương đương với $Delta ‘={{left( intlimits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} right)}^{2}}-intlimits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}intlimits_{a}^{b}{{{g}^{2}}(x)dx}le 0$.
Vì vậy $intlimits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}intlimits_{a}^{b}{{{g}^{2}}(x)dx}ge {{left( intlimits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} right)}^{2}}$.
Bài toán được chứng minh hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $f=kg$, trong đó $k$là hằng số tự do.
Bài toán 2(Bất đẳng thức Holder tích phân cho các hàm khả tích)
Cho $f,g:left[ a,b right]to mathbb{R}$ là các hàm khả tích trên $left[ a,b right]$ khi đó ta có
$left| intlimits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} right|le {{left( intlimits_{a}^{b}{{{left| f(x) right|}^{p}}dx} right)}^{dfrac{1}{p}}}.{{left( intlimits_{a}^{b}{{{left| g(x) right|}^{q}}dx} right)}^{dfrac{1}{q}}}$
trong đó $p,q$ là các số thực dương thoả mãn $dfrac{1}{p}+dfrac{1}{q}=1.$
Bài viết được trích từ Bài giảng và câu hỏi đề thi khoá PRO XMAX vận dụng cao môn Toán phát hành tại Vted.vn
>>Xem thêm Thi Online – Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tích phân (Đề số 01)
>>Xem thêm Thi Online – Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tích phân (Đề số 02)
>>Xem thêm Thi Online – Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tích phân (Đề số 03)
CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ:
Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;1].$ Biết $fleft( 1 right)=4$ và $intlimits_{0}^{1}{xf(x)dx}=1,intlimits_{0}^{1}{{{left[ {f}'(x) right]}^{2}}dx}=20.$ Tích phân $intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}$ bằng
A. $dfrac{1}{6}.$
B. $dfrac{3}{2}.$
C. $4.$
D. $dfrac{2}{3}.$
Giải. Tích phân từng phần ta có: $1 = intlimits_0^1 {xfleft( x right)dx} = intlimits_0^1 {fleft( x right)dleft( {dfrac{1}{2}{x^2}} right)} = dfrac{1}{2}{x^2}fleft( x right)left| begin{gathered} 1 hfill 0 hfill end{gathered} right. – intlimits_0^1 {dfrac{1}{2}{x^2}f’left( x right)dx} $
$Leftrightarrow 1=dfrac{1}{2}fleft( 1 right)-dfrac{1}{2}intlimits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}’left( x right)dx}Rightarrow intlimits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}’left( x right)dx}=2$
Mặt khác ${{left[ intlimits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}’left( x right)dx} right]}^{2}}le intlimits_{0}^{1}{{{x}^{4}}dx}intlimits_{0}^{1}{{{left[ {f}’left( x right) right]}^{2}}dx}=dfrac{1}{5}times 20=4.$
Do đó dấu bằng phải xảy ra tức ${f}’left( x right)=k{{x}^{2}}Rightarrow fleft( x right)=dfrac{k{{x}^{3}}}{3}+4-dfrac{k}{3},left( fleft( 1 right)=4 right)$
$Rightarrow 1=intlimits_{0}^{1}{xfleft( x right)dx}=intlimits_{0}^{1}{xleft( dfrac{k{{x}^{3}}}{3}+4-dfrac{k}{3} right)dx}Leftrightarrow k=10Rightarrow intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}=intlimits_{0}^{1}{dfrac{10{{x}^{3}}+2}{3}dx}=dfrac{3}{2}.$ Chọn đáp án B.
