Để có cái nhìn tổng quát hơn về kiến thức đạo hàm mũ và logarit cũng như nhận dạng độ khó của các câu hỏi bài tập liên quan, VUIHOC đã tổng hợp giúp các em tổng quan về hàm số mũ và logarit tại bảng dưới đây:
Chi tiết hơn, các em tải file tổng hợp lý thuyết về hàm số mũ và logarit – đạo hàm mũ và logarit cực chi tiết và đầy đủ do các thầy cô chuyên môn VUIHOC biên soạn theo link dưới đây để về ôn tập nhé!
Tải xuống file lý thuyết hàm số – đạo hàm hàm số mũ và logarit cực đầy đủ và chi tiết
1. Tổng quan lý thuyết chung
Trước khi đi vào đạo hàm mũ và logarit, ta cần hiểu định nghĩa chung nhất về đạo hàm để có cái nhìn chuẩn xác về nó nhất.
1.1. Lý thuyết về đạo hàm – căn bản về đạo hàm mũ và logarit
1.1.1 Định nghĩa
-
Định nghĩa: Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại
khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm . -
Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ được ký hiệu là $y'(x_0)$ hoặc $f'(x_0)$.
Hoặc
Lưu ý:
-
Số gia của đối số là
-
Số gia của hàm số là
-
Giá trị đạo hàm tại 1 điểm
thể hiện chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của biến thiên này.
1.1.2. Một số quy tắc áp dụng chính cho đạo hàm mũ và logarit
Dưới đây là 3 quy tắc đạo hàm được vận dụng rất nhiều trong các bài tập đạo hàm mũ và logarit. Các em lưu ý nắm chắc lý thuyết 3 quy tắc này để không gặp khó khăn trong các phần đạo hàm hàm mũ và logarit sau:
-
Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
-
Định lý 1: Hàm số có đạo hàm với mọi và
-
Định lý 2: Hàm số có đạo hàm với mọi x dương và
-
-
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương:
-
Định lý 3: Giả sử $u=u(x)$, $v=v(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định, ta có: (u + v)’ = u’ + v’ (u – v)’ = u’ – v’ (uv)’ = u’v + uv’
-
-
Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì $(ku)’=ku’$
-
Hệ quả 2:
-
Đạo hàm của hàm hợp: (định lý 4) Nếu hàm số $u=g(x)$ có đạo hàm tại x là u’x và hàm số y=f(u) có đạo hàm tại u là y’u thì hàm hợp y=f(g(x)) có đạo hàm (theo x) là . Ta có bảng sau: (u + v – w)’ = u’ + v’ – w’ (ku)’ = ku’ (với k là hằng số) (uv)’ = u’v + uv’ y’x = y’u.u’x
1.2. Lý thuyết về hàm số mũ
Trước khi đi sâu vào đạo hàm mũ và logarit, chúng ta cùng tìm hiểu lý thuyết về hàm số mũ trước tiên.
1.2.1. Định nghĩa
Trong chương trình Giải tích THPT, các em đã được học lý thuyết về hàm số mũ như sau:
Hàm số mũ là hàm số có dạng $y= a^x$ với $a>0$, $aneq 1$.
1.2.2. Tính chất
Xét hàm số mũ $y= a^x$ với $a>0$, $aneq 1$, ta có đặc trưng của hàm số mũ như sau:
-
Tập xác định:
-
Đạo hàm: , $y’=a^x.lna$
-
Chiều biến thiên:
-
Nếu $a>1$: hàm số luôn đồng biến
-
Nếu $0<a<1$: Hàm số luôn nghịch biến
-
-
Đồ thị:
-
Tiệm cận: Trục $Ox$ là tiệm cận ngang
-
Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành và luôn cắt trục tung tại điểm $(0;1)$ và luôn đi qua điểm $(1;a)$
1.3. Lý thuyết về hàm số logarit
1.3.1 Định nghĩa và tập xác định
Theo chương trình Đại số THPT các em đã được học, hàm logarit có định nghĩa như sau:
Cho số thực $a>0$, $aneq 1$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$.
Hàm số $y=log_ax$ ($a>0$, $aneq 1$) có tập xác định $D=(0;+infty )$
Do $log_axin R$ nên hàm số $y=log_ax$ có tập giá trị là $T=mathbb{R}$.
Xét trường hợp hàm số $y=log_a[P(x)]$ điều kiện $P(x)>0$. Nếu a chứa biến $x$ thì ta bổ sung điều kiện $a>0$, $aneq 1$
Xét trường hợp đặc biệt: $y=log_a[P(x)]^n$ điều kiện $P(x)>0$ nếu n lẻ; $P(x)neq 0$ nếu $n$ chẵn.
Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng ôn kiến thức và tổng hợp phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia
1.3.2. Đồ thị hàm logarit
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục $Oy$ và luôn đi qua các điểm $(1;0)$ và $(a;1)$ và nằm phía bên phải trục tung.
Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.
Ta rút ra được nhận xét sau: Đồ thị hàm số $y=a^x$ và $y=log_ax$, ($a>0$, $aneq 1$) đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ (góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục toạ độ $Oxy$).
2. Đạo hàm của hàm số mũ và logarit
2.1. Lý thuyết về đạo hàm mũ và logarit
Về tổng quát, công thức chung của đạo hàm hàm mũ và logarit sẽ có dạng như sau:
-
Đạo hàm mũ:
Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số là:
Trường hợp tổng quát hơn, . Ta có:
-
Đạo hàm logarit:
Cho hàm số . Khi đó đạo hàm của hàm số trên là:
Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số . Đạo hàm là:
2.2. Công thức đạo hàm mũ và logarit
Để giúp các em ôn tập cũng như giải các bài toán đạo hàm của hàm số mũ và logarit nhanh và tiện lợi nhất, các thầy cô chuyên môn toán của VUIHOC đã tổng hợp và chọn lọc toàn bộ công thức đạo hàm hàm mũ và logarit sau:
-
Hàm số mũ:
-
Hàm số logarit:
Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng ôn kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm và phù hợp với bản thân nhất
2.3. Các dạng bài tập tính đạo hàm hàm số mũ và logarit
Để hiểu hơn cách áp dụng lý thuyết và công thức trên, các em hãy cùng VUIHOC xem xét các ví dụ bài tập đạo hàm của hàm số mũ và logarit sau đây:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau
Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau
$y=(x^2+1).2^{2x}$
Là một hàm số có dạng tích của một hàm đa thức với một hàm số mũ. Vì vậy ngoài việc áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ thì chúng ta cần sử dụng đạo hàm mũ và logarit của một tích và đạo hàm của hàm số luỹ thừa.
Ta có: $y=(x^2+1).2^{2x}$
$Rightarrow y’=(x^2+1)’.2^{2x}+(x^2+1).(2^{2x})’$ (áp dụng đạo hàm $a^u$)
$Rightarrow y’=2x.2^{2x}+(x^2+1).(2x)’.2^{2x}.ln2$
$Rightarrow y’=2x.2^{2x}+(x^2+1).2.2^{2x}.ln2$
3. Bài tập áp dụng đạo hàm của hàm số mũ và logarit
Để luyện tập thành thạo hơn về đạo hàm mũ và logarit, VUIHOC dành tặng riêng em bộ bài tập đạo hàm mũ và logarit cực hay kèm giải chi tiết ở link dưới đây. Nhớ tải về để ôn luyện nhé!
Tải xuống file bài tập đạo hàm mũ và logarit đầy đủ kèm giải chi tiết
Một nguồn tham khảo cực hiệu quả để luyện tập đạo hàm mũ và logarit đó là từ các bài giảng của thầy Thành Đức Trung – chuyên gia luyện thi toán với cực hiều những cách giải hay, nhanh và thú vị. Các em cùng thầy giải bài tập trong video dưới đây để hiểu kỹ hơn về cách làm bài tập đạo hàm mũ và logarit nhé!
Trên đây là tất tần tật lý thuyết, công thức đi kèm với các dạng bài tập liên quan đến đạo hàm mũ và logarit. Hy vọng những kiến thức trên sẽ giúp các em vượt qua mọi bài toán đạo hàm hàm số mũ và logarit.
Tham khảo thêm:
⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán – Lý – Hóa THPT Có Giải Chi Tiết
>> Xem thêm: Đạo hàm của hàm số lượng giác
