Đề cương ôn thi giữa kì 2 môn toán 12 chi tiết

1. Ôn thi giữa kì 2 môn Toán 12: Trọng tâm kiến thức cần nhớ

1.1 Nguyên hàm

a. Định nghĩa:

– Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x K.

b. Tính chất

• 
• 
• 
• Nếu F(x) có đạo thàm thì:
• với k là hằng số khác 0
• 
• Công thức biến đổi số: Cho y = f(u) và u = g(x).

Nếu thì

c. Các phương pháp tính nguyên hàm

– Phương pháp đổi biến 1: Nếu và với u = là hàm số có đạo hàm thì

+ Phương pháp chung:

• Bước 1: Chọn x = , trong đó là hàm số mà ta chọn thích hợp.
• Bước 2: Lấy vi phân 2 vế
• Bước 3: Biến đổi f(x)dx = f[ ]dt=g(t)dt
• Bước 4: Tính

+ Các dấu hiệu thường gặp:

– Phương pháp đổi biến 2: Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x = . Trong đó cùng với đạo hàm của nó là những hàm số liên tục thì ta được:

+ Phương pháp chung:

• Bước 1: Chọn t = , trong đó là hàm số mà ta chọn thích hợp.
• Bước 2: Tính vi phân 2 vế dt =
• Bước 3: Biểu thị f(x)dx = f[]=g(t)dt
• Bước 4: Khi đó:

+ Các dấu hiệu thường gặp:

– Nguyên hàm từng phần: Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

+ Phương pháp chung:

• Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:

• Bước 2: Đặt:

• Bước 3: Khi đó:

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình đạt 9+ thi THPT Quốc Gia

1.2 Tích phân

a. Định nghĩa tích phân

b. Tính chất

– Giả sử cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K, a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó:

• Nếu f(x) 0 thì
• Nếu : f(x) g(x) =>
• Nếu Nếu M f(x) N thì M(b-a) N(b-a)

c. Các phương pháp tính tích phân

– Phương pháp biến đổi dạng 1: Nếu

• Hàm x = u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn
• Hàm hợp f(u(t)) được xác định trên
• u() = a ; u() = b

+ Phương pháp chung:

• Bước 1: Đặt x = u(t)
• Bước 2: Tính vi phân 2 vế x = u(t) => dx = u'(t)dt. Đổi cận:
• Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t.

– Phương pháp biến đổi dạng 2: Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho f(x)dx=g(u(x))u'(x)dx = g(u)du thì:

+ Phương pháp chung:

• Bước 1: Đặt u = u(x) => du = u'(x)dx
• Bước 2: Đổi cận
• Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến u.

– Tích phân từng phần: Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì:

+ Phương pháp chung:

• Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv = uv’dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần con lại dv = v'(x)dx
• Bước 2: Tính và
• Bước 3: Tính và

1.3 Mặt tròn xoay

a. Mặt nón tròn xoay

– Cho hình nón có chiều chao h, bán kính đấy r và đường sinh là l có:

• Diện tích xung quanh: Sxq =
• Diện tích đáy hình tròn: Sd =
• Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + Sd
• Thể tích hình nón:

b. Mặt trụ tròn xoay

– Cho hình trụ có chiều cao là bán kính đáy bằng r, khi đó:

• Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq =
• Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + 2Sd =
• Thể tích khối trụ: V = B.h =

c. Mặt cầu, khối cầu

– Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:

– Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:

1.4 Hệ tọa độ trong không gian

a. Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ O, trục hoàn Ox, trục tung Oy và trục cao Oz. Các mặt tọa độ Oxy, Oyz, Ozx có là các véc tơ đơn vị.

b. Tọa độ véc tơ:

c. Tọa độ điểm:

d. Các công thức tọa độ cần nhớ: Cho

e. Góc giữa hai véc tơ:

f. Chia tỉ lệ đoạn thẳng: M chia AB theo tỉ số k nghĩa là

– Công thức tọa độ điểm M là:

– M là trung điểm AB:

g. G là trọng tâm tam giác ABC:

h. G là trọng tâm tứ diện ABCD:

Nắm trọn kiến thức, các công thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc gia ngay!

1.5 Phương trình mặt phẳng

a. Phương trình mặt phẳng tổng quát của mp (P) đi qua điểm M (xo;yo;zo) có véc tơ pháp tuyến = (A;B;C) là:

A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0

b. Triển khai phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 ( A,B,C không đồng thời bằng 0).

c. Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát:

• (P) qua gốc tọa độ
• (P) song song hoặc trùng (Oxy) A = B = 0
• (P) song song hoặc trùng (Oyz) B = C = 0
• (P) song song hoặc trùng (Ozx) A = C = 0
• (P) song song hoặc chứa Ox A = 0
• (P) song song hoặc chứa Oy B = 0
• (P) song song hoặc chứa Oz C = 0
• (P) cắt Ox tại A(a,0,0), cắt Oy tại B(0,b,0) và cắt Oz(0,0,c)

d. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng:

– Cho M (xo;yo;zo) và (P): Ax + By + Cz + D = 0

2. Những dạng bài thường gặp khi ôn thi giữa kì 2 môn Toán 12

2.1 Bài tập nguyên hàm

a. Tìm nguyên hàm của hàm số

Cách làm: Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của biểu thức chứa x rồi đưa về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm. Áp dụng công thức và tính.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm củ hàm số

Lời giải:

b. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

– Cách làm:

– Ví dụ: Tìm họ nguyên hàm sau

Lời giải:

Xét

Đặt t = 1 + x2 => dt = 2xdx

Khi đó:

Như vậy

c. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

– Cách làm: Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức:

+ Một số trường hợp thường gặp:

– Ví dụ: Tìm họ nguyên hàm của

Lời giải: Xét

Đặt: u = x => du = dx ; dv = sinxdx => v = -cosx

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

d. Tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

– Cách giải: Xét bài toán tổng quát:

với P(x), Q(x) là các đa thức không căn.

+ Nếu bậc của P(x) bậc của Q(x) => Áp dụng phương pháp chia đa thức.

+ Nếu bậc của P(x) bậc của Q(x) => Xem xét mẫu số và khi đó:

• Mẫu số phân tích được thành tích số => đưa về dạng tổng các phân số .

• Mẫu số không phân tích được thành tích số => đưa về dạng lượng giác.

– Ví dụ: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số:

Lời giải:

Ta có:

e. Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

– Cách làm: Thực hiện theo 3 bước dưới đây:

• Bước 1: Tìm nguyên hàm dựa vào các phương pháp đã biết như dùng bảng nguyên hàm, biến đổi số, nguyên hàm từng phần…
• Bước 2: Dựa vào yêu cầu đề bài tìm hằng số C tương ứng.
• Bước 3: Kết luận nguyên hàm vừa tìm được.

– Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=(4x+1) ex thỏa mãn điều kiện F(1)=e.

Lời giải: Đặt u = 4x + 1 => du = 4dx ; dv = exdx => v = ex

Mà F(1) = e => C = 0 nên F(x) = (4x – 3).ex

2.2 Bài tập tích phân

a. Bài tập biến đổi tổng – hiệu các tích phân cơ bản:

Tính tích phân

Lời giải:

b. Tính tích phân bằng phương pháp biến đổi số

Tính tích phân

Lời giải:

Đặt

2.3 Bài tập mặt tròn xoay

Bài 1: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng 2 và ; . Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của AB => OI AB ; SI OI = 2.

Lại có:

Từ đó ta có:

Lại có:

Mà

Bài 2: Cho hình tròn có bán kính là 6. Cắt bỏ 1/4 hình tròn giữa 2 bán kính OA, OB, rồi ghép 2 bán kính đó lại sao cho thành một hình nón (như hình vẽ). Tính thể tích khối nón tương ứng đó?

Lời giải:

Bán kính:

Chiều cao:

Thể tích khối nón:

2.4 Bài tập về tọa độ

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho . Gọi P là điểm đối xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm P

Lời giải: Ta có

Vì P là trung điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta có:

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết điểm A, B’, C, D’ có tọa độ như hình vẽ. Khi đó 2a + b + c bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có:

Theo quy tắc hình hôp, ta có:

Vậy 2a + b + c = 3.

2.5 Bài tập về phương trình mặt phẳng

a. Phương trình mặt phẳng:

– Cách làm: Phương trình:Ax + By + Cz + D = 0 là phương trình của một mặt phẳng khi và chỉ khi A2 + B2 + C2 > 0.

b. Viết phương trình mặt phẳng:

– Cách làm 1: Thực hiện theo các bước:

• Bước 1: Xác định Mo(xo; yo;zo) và véc tơ pháp tuyến của (P).
• Bước 2: Khi đó (P) đi qua điểm Mo(xo; yo;zo) và có
• Bước 3: PT mặt phẳng (P): n1(x – xo) + n2(y – yo) + n3(z – zo) = 0

– Cách làm 2: Sử dụng phương pháp quỹ tích.

c. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

– Cách làm: Sử dụng kiến thức trong phần vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Chúc các em nắm vững trọng tâm đề cương ôn thi giữa kì 2 môn toán 12 chi tiết và làm bài thi giữa kì thật tốt! Hy vọng bài viết sẽ giúp các em nắm được những những kiến thức trọng tâm cần phải nhớ, chuẩn bị thật tốt cho bài kiểm tra giữa kì 2 môn toán. Truy cập vuihoc.vn để xem thêm các bài ôn tập các môn học khác nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm:

• Đề thi giữa kì 2 môn Toán 12
• Ôn thi giữa kì 2 môn Lý 12
• Ôn thi giữa kì 2 môn Hóa 12
• Ôn thi giữa kì 2 môn Tiếng Anh 12
• Ôn thi giữa kì 2 môn Ngữ Văn 12