Bài viết Công thức, cách tính góc giữa hai vecto với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Công thức, cách tính góc giữa hai vecto.
Công thức, cách tính góc giữa hai vecto (cực hay, chi tiết)
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
A. Phương pháp giải
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ
Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ đều khác vectơ-không. Từ một điểm O bất kỳ, ta vẽ các vectơ . Khi đó số đo của góc AOB, được gọi là số đo góc giữa hai vectơ , hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ .
Phương pháp 2: (Áp dụng trong hệ tọa độ) Tính cos góc giữa hai vectơ, từ đó suy ra góc giữa 2 vectơ.
Sử dụng công thức sau:
Cho hai vectơ . Khi đó
Chú ý: Góc giữa hai vectơ thuộc [0°;180°]
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai vectơ:
Hướng dẫn giải:
– Nhớ lại khái niệm hai vectơ bằng nhau ở chương 1: Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.
– Trên tia đối của tia CB lấy D sao cho CB = CD.
Ví dụ 2: Cho các vectơ Tính góc giữa hai vectơ .
Hướng dẫn giải:
Vậy góc giữa hai vectơ là góc α ∈ [0°;180°] thỏa mãn .
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ . Tính góc giữa hai vectơ .
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 30°
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
Ví dụ 4: Cho hai vectơ có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện . Tính góc giữa hai vectơ .
A. 60°
B. 30°
C. 120°
D. 150°
Hướng dẫn giải:
Vì (bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài)
Đáp án C
Ví dụ 5: Cho các vectơ thỏa mãn . Góc giữa vectơ và vectơ là
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính góc giữa vecto a và vectơ c, biết vectơ c→=a→−b→ và cho các vectơ a và b thoả mãn |a| = 4, |b| = 2.
Hướng dẫn giải
Ta có: c = a – b
Nên c2 = (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = |a|2 – 2|a| . |b| . cos(a,b) + |b|2
Suy ra c2 = 42 – 2.4.1.cos60o + 22 = 3 hay |c| = 3.
Ta lại có: a . c = a . (a – b) = a2 – a . b hay a . c =3
Do đó a . c = |a| . |c| . cos (a, c)
Hay 3 = 2.3. cos(a, c)
Do đó, cos(a, c) = 323=32
Vậy góc giữa 2 vectơ bằng 30o.
Bài 2. Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều có độ dài là 1. Gọi M là trung điểm của canh AB. Tính góc giữa hai vectơ OM→, BC→.
Hướng dẫn giải
Lấy N là trung điểm của AC suy ra MN // BC.
Ta có: OM→ , BC→=OM→ , MN→=180°−OMN^
Xét tam giác OMN có OM = ON = 12; MN = 12BC = 22
Suy ra cosOMN^=12 hoặc OMN^=60°.
Do đó OM→, BC→=120°.
Bài 3. Tính góc giữa 2 vectơ a và b, biết rằng 2 vectơ a và b có độ bài bằng 1 và thoả mãn điều kiện |3a + 2b| = 7.
Hướng dẫn giải
Ta có: 3a+2b=7 hay 3a⋅2b2 =7 nên 9a2 + 12b + 4b = 7
Vì a2 = |a|2 =1; b2 = |b|2 =1.
Nê 4 . 1 + 12ab + 9 . 1 = 7 nên 12ab = 7 – 4 – 9 = -6 hay ab = −12.
Do đó: cosa; b=a.ba.b=−12.
Vậy góc giữa 2 vectơ a và b là 120 độ.
Bài 4. Cho hình thoi ABCD có BAD^=120°. Tính góc giữa hai vectơ DC→ và AD→.
Hướng dẫn giải
Ta có AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi)
Suy ra DC→=AD→ nên DC→, AD→=AB→, AD→.
Mà AB→, AD→=BAD^=120°.
Do đó DC→, AD→=120°.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD có AC = BD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết rằng MN = a3. Tính góc giữa AC và BD.
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của AB, ta có IM = IN = a
Áp dụng định lý của Cosin cho tam giác IMN ta có:
cosMIN^=IM2+IN2−MN22 . IM . IN = a2+a2−3a22 . a . a=−12
=> MIN^=60°.
Vậy góc giữa AC và BD bằng 60 độ.
Bài 6. Cho các vectơ a→=i→+j→ ; b→=2i→+3j→. Tính góc giữa hai vectơ a→,b→.
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a→=2;5; b→=3; 7. Tính góc giữa hai vectơ a→; b→.
Bài 8. cho hai vectơ a→;b→ có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện 3a→+5b→=9. Tính góc giữa hai vectơ a→;b→.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy tại A, SA = a2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành với BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Góc giữa hai đường thẳng SD và BC nằm trong khoảng nào?
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có đáp án hay khác khác:
- Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ (cực hay, chi tiết)
- Cách chứng minh Hai vecto vuông góc (cực hay, chi tiết)
- Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước cực hay (45 độ, góc nhọn, góc tù)
- Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết)
Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
