Tao chuẩn bị vào đại học và nghĩ là nên ôn lại đại số từ đầu. Mà khi tìm hiểu về đa thức, tao chẳng hiểu nổi sao chúng lại hoạt động theo những điều kiện nhất định và cũng chẳng tìm được câu trả lời rõ ràng ở đâu cả. Thế nên, sau khi tổng hợp tất cả thông tin có thể và tìm hiểu thêm, tao tự hào trình bày bài luận của mình về Đa thức và những Hạn chế của chúng. Cho tao biết ý kiến của cậu nhé! + và thêm vài lời khuyên về việc viết bài luận cho đại học nữa thì càng tốt.
Tại sao đa thức không thể có số mũ âm hoặc phép chia cho một biến? Những hạn chế của chúng là gì?
Để một biểu thức là đa thức, nó không được chứa căn bậc hai của biến, không có biến nào ở mẫu số của bất kỳ phân số nào, và không có số mũ phân số hoặc âm trên các biến. Những hạn chế này đảm bảo rằng x có miền xác định là IR; tức là, không có hạn chế nào cho x vì bất kỳ số nào chúng ta nhập vào x đều cho ra một nghiệm thực (ví dụ, nếu x là số chia, thì chúng ta có một hạn chế: x không thể bằng 0, vì ta không thể chia cho không). Hạn chế về số mũ âm và phân số tồn tại bởi vì, như đã thấy ở trang 8, có số mũ âm hoặc phân số dẫn đến biến trở thành mẫu số hoặc căn thức, có nghĩa là chúng cũng có cùng những hạn chế đó.
Khi ta vi phạm những quy tắc này, những biểu thức đại số này không phải là đa thức, mà là biểu thức hữu tỉ hoặc biểu thức phân số.
Đa thức được định nghĩa như vậy bởi vì theo cách đó chúng có những tính chất nhất định mà các cấu trúc khác không có. Đa thức được xác định tốt cho tất cả các số vì miền xác định của chúng là IR (đã giải thích ở trên). Kết quả là, ta có rất nhiều tính chất hay ho. Một số tính chất đó bao gồm đạo hàm của chúng được xác định tốt ở khắp mọi nơi và có thể cộng, trừ và nhân các đa thức để thu được các đa thức khác. Cũng có những tính chất hữu ích khác, chẳng hạn như đa thức được đặc trưng hoàn toàn bởi các nghiệm của chúng, nghĩa là đa thức bậc (số mũ cao nhất của một biểu thức) “n” có chính xác “n” nghiệm. Tất cả điều này có nghĩa là đa thức có rất nhiều tính chất cấu trúc làm cho chúng trở thành đối tượng nghiên cứu ‘tuyệt vời’ theo cách mà các biểu thức hữu tỉ thì không. Mặc dù vậy, các biểu thức hữu tỉ cũng có một số tính chất. Việc chọn một cấu trúc (đa thức, biểu thức hữu tỉ, đa thức Laurent, v.v.) cuối cùng phụ thuộc vào phạm vi của bạn, nhưng tất nhiên các cấu trúc quan trọng nhất trong toán học thường là đơn giản nhất; trong trường hợp này, là đa thức.
