MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh một số bài toán nâng cao về hằng đẳng thức lớp 8 kèm đáp án chi tiết.
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức:
( A = (x + y – 7)^2 – 2(x + y – 7)(y – 6) + (y – 6)^2 ) tại ( x = 10^{10} + 1 ).
Hướng dẫn
Ta có:
( A = (x + y – 7)^2 – 2(x + y – 7)(y – 6) + (y – 6)^2 ) ( A = (x + y – 7 – y + 6)^2 = (x – 1)^2 )
Thay ( x = 10^{10} + 1 ) vào biểu thức A, ta được:
( A = (10^{10} + 1 – 1)^2 = 10^{20} )
Vậy giá trị của biểu thức A là ( 10^{20} ) tại ( x = 10^{10} + 1 ).
Bài 2. Cho 3 số a, b, c thỏa mãn đồng thời: ( a + b + c = 6 ) và ( a^2 + b^2 + c^2 = 12 ). Tính giá trị của biểu thức:
( P = (a – 3)^{2025} + (b – 3)^{2025} + (c – 3)^{2025} ).
Hướng dẫn
Ta có: ( a^2 + b^2 + c^2 = 12 ) suy ra ( a^2 + b^2 + c^2 – 12 = 0 )
( a^2 + b^2 + c^2 – 24 + 12 = 0 ) ( a^2 + b^2 + c^2 – 4(a + b + c) + 12 = 0 ) ( a^2 – 4a + 4 + b^2 – 4b + 4 + c^2 – 4c + 4 = 0 ) ( (a – 2)^2 + (b – 2)^2 + (c – 2)^2 = 0 )
Do đó: ( a – 2 = 0 ) ( b – 2 = 0 ) hay ( a = b = c = 2 ) ( c – 2 = 0 )
Thay ( a = b = c = 2 ) vào P, ta được:
( P = (2 – 3)^{2025} + (2 – 3)^{2025} + (2 – 3)^{2025} ) ( = (-1)^{2025} + (-1)^{2025} + (-1)^{2025} ) ( = -3 )
Vậy ( P = -3 ) khi ( a, b, c ) thỏa mãn đề bài.
Bài 3. Tìm tất cả các số thực x, y thỏa mãn ( (x^2 + xy)^2 + y^2 + 4 = 3x^2 + 6xy ).
Hướng dẫn
Ta có
( (x^2 + xy)^2 + y^2 + 4 – 3x^2 – 6xy = 0 )
( ((x^2 + xy)^2 – 4(x^2 + xy) + 4) + (x^2 – 2xy + y^2) = 0 )
( (x^2 + xy – 2)^2 + (x – y)^2 = 0 )
Suy ra
( begin{cases} x^2 + xy – 2 = 0 x – y = 0 end{cases} )
( x = y )
( x^2 + xy = 2 )
( x = y )
( x^2 = 1 )
( x = y = pm 1 )
Vậy ((x; y) = (1; 1); (-1; -1)).
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( P = x^3 + y^3 + xy ) khi ( x + y = 1 ).
Hướng dẫn
Ta có:
( P = x^3 + y^3 + xy )
( = (x + y)(x^2 – xy + y^2) + xy )
( = 2(x^2 – x) + 1 )
( = 2 left( x – frac{1}{2} right)^2 + frac{1}{2} )
Chỉ ra ( P ge frac{1}{2} ). Đẳng thức xảy ra khi ( x = frac{1}{2} ).
Kết luận: ( min P = frac{1}{2} ) khi ( x = y = frac{1}{2} ).
Bài 5. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ( a + b + c = 6 ). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( P = ab + 2bc + 3ca ).
Hướng dẫn
Vì ( a + b + c = 6 ) ⇒ ( a = 6 – c – b )
( P = ab + 2bc + 3ca )
( = (6 – b – c)b + 2bc + 3c(6 – b – c) )
( = 6b – b^2 – bc + 2bc + 18c – 3bc – 3c^2 )
( = 6b – b^2 – 2bc + 18c – 3c^2 )
( = 27 – (b + c – 3)^2 – 2(c – 3)^2 )
( P le 27 ) ⇒ MaxP = 27 khi ( begin{cases} a = 3 b = 0 c = 3 end{cases} )
Bài 6. Cho x, y là các số thực thỏa mãn ( x + y = 1 ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( B = (x^2 + 4y)(y^2 + 4x) + 8xy )
Hướng dẫn
Ta có
( B = (x^2 + 4y)(y^2 + 4x) + 8xy )
( = x^2y^2 + 4x^3 + 4y^3 + 16xy + 8xy )
( = x^2y^2 + 4(x^3 + y^3) + 24xy )
Lại có ( x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y) = 1^3 – 3xy cdot 1 = 1 – 3xy ) (vì ( x + y = 1 ))
Do đó
( B = x^2y^2 + 4(1 – 3xy) + 24xy )
( = x^2y^2 + 12xy + 4 )
( = (xy + 6)^2 – 32 )
Có ( (xy + 6)^2 ge 0 ) với mọi x, y ⇒ ( (xy + 6)^2 – 32 ge -32 ) với mọi x, y
Dấu “=” xảy ra khi ( xy = -6 ). Vì ( x + y = 1 ) ⇒ ( x = 3, y = -2 ) hoặc ( x = -2, y = 3 )
Vậy GTNN của B là ( -32 ) tại ( x = 3, y = -2 ) hoặc ngược lại.
