Xác định thiết diện của hình đa diện khi cắt bởi mặt phẳng

Bài viết phân dạng và hướng dẫn phương pháp xác định thiết diện của hình đa diện khi cắt bởi mặt phẳng với các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Dạng 1: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $left( alpha right)$ biết $left( alpha right)$ đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Phương pháp: + Xác định giao tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ với từng mặt của hình đa diện. + Nối các đoạn giao tuyến lại ta được thiết diện cần tìm.

Ví dụ 1: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $BD$; $E$ là một điểm thuộc cạnh $AD$ khác với $A$ và $D$. Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $left( IJE right)$.

Ta có: $left( {IJE} right) cap left( {BCD} right) = IJ$ $left( 1 right).$ $left( {IJE} right) cap left( {ABD} right) = EJ$ $left( 2 right).$ Tìm $left( {IJE} right) cap left( {ACD} right)$: $E in left( {IJE} right) cap left( {ACD} right).$ $IJ subset left( {IJE} right)$, $CD subset left( {ACD} right).$ Vì $IJ$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên $IJ//CD$ $ Rightarrow left( {IJE} right) cap left( {ACD} right) = Ex$ với $Ex$ là đường thẳng đi qua $E$ và song song với $IJ$ và $CD.$ Gọi $F = Ex cap AC.$ Khi đó: $left( {IJE} right) cap left( {ACD} right) = EF$ $left( 3 right).$ Ta có: $left( {IJE} right) cap left( {ABC} right) = IF$ $left( 4 right).$ Từ $left( 1 right),left( 2 right),left( 3 right),left( 4 right)$ suy ra thiết diện của hình tứ diện $ABCD$ khi cắt bởi mặt phẳng $left( IJE right)$ là hình thang $IJEF.$

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $A’B’$, $CC’$. Dựng thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng $left( {AMN} right).$

Ta có: $left( {AMN} right) cap left( {ABB’A’} right) = AM$ $left( 1 right).$ $left( {AMN} right) cap left( {ACC’A’} right) = AN$ $left( 2 right).$ Tìm $left( {AMN} right) cap left( {A’B’C’} right):$ $M in left( {AMN} right) cap left( {A’B’C’} right).$ Gọi $P = AN cap A’C’$ $ Rightarrow P in left( {AMN} right) cap left( {A’B’C’} right).$ Suy ra $left( {AMN} right) cap left( {A’B’C’} right)$ $ = MP = MQ$ (với $Q = MP cap B’C’$) $left( 3 right).$ Khi đó: $left( {AMN} right) cap left( {BCC’B’} right) = NQ$ $left( 4 right).$ Từ $left( 1 right),left( 2 right),left( 3 right),left( 4 right)$ suy ra thiết diện là tứ giác $AMQN.$

Dạng 2: Thiết diện của một hình đa diện với mặt phẳng $left( alpha right)$, biết $left( alpha right)$ chứa $a$ và song song với đường thẳng $b.$ Phương pháp: + Chọn mặt phẳng $left( beta right) supset b.$ + Tìm một điểm chung $M$ của hai mặt phẳng $left( alpha right)$ và $left( beta right).$ + Tìm ${M_x} = left( alpha right) cap left( beta right)$, khi đó ${M_x}parallel aparallel b.$ + Xác định giao tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ với các mặt của hình đa diện. + Nối các đoạn giao tuyến lại ta được thiết diện cần tìm.

Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang với các cạnh đáy là $AB$ và $CD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. $G$ là trọng tâm của $Delta SAB$. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $left( IJG right)$.

Do $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên $IJ||AD||BC.$ Vậy $left( {IJG} right)$ là mặt phẳng có chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước $left( {AB} right).$ Chọn mặt phẳng $left( {SAB} right) supset AB.$ $G$ là điểm chung của hai mặt phẳng $left( {SAB} right)$ và $left( {IJG} right).$ Ta có: $left{ begin{array}{l} AB subset left( {SAB} right) IJ subset left( {IJG} right) G in left( {SAB} right) cap left( {IJG} right) ABparallel IJ end{array} right.$ $ Rightarrow left( {SAB} right) cap left( {IJG} right)$ $ = {G_x}left( {{G_x}parallel ABparallel IJ} right).$ Giả sử ${G_x}$ cắt $SA$ tại $M$ và cắt $SB$ tại $N$, khi đó: $left( {SAB} right) cap left( {IJG} right) = MN$, $left( {SAD} right) cap left( {IJG} right) = MI$, $left( {SBC} right) cap left( {IJG} right) = NJ$, $left( {ABCD} right) cap left( {IJG} right) = IJ.$ Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $MNIJ.$

Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Gọi $K$ là một điểm trên cạnh $BD$. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $left( IJK right)$.

Do $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Nên suy ra $IJparallel AB.$ Vậy $left( {IJK} right)$ là mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước $left( {AB} right).$ Chọn mặt phẳng $left( {ABC} right) supset AB.$ $left{ begin{array}{l} K in BD BD subset left( {ABD} right) end{array} right.$ $ Rightarrow K in left( {ABD} right)$, suy ra $K$ là điểm chung của hai mặt phẳng $left( {IJK} right)$ và $left( {ABD} right).$ Ta có: $left{ begin{array}{l} AB subset left( {ABD} right) IJ subset left( {IJK} right) ABparallel IJ K in left( {ABD} right) cap left( {IJK} right) end{array} right.$ $ Rightarrow left( {ABD} right) cap left( {IJK} right) = {K_x}$ $left( {{K_x}parallel ABparallel IJ} right).$ Giả sử ${K_x}$ cắt $AD$ tại $H$, khi đó: $left( {ABD} right) cap left( {IJK} right) = KH$, $left( {CAD} right) cap left( {IJK} right) = IH$, $left( {CDB} right) cap left( {IJK} right) = JK$, $left( {CAB} right) cap left( {IJK} right) = IJ.$ Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $IJKH.$

Dạng 3: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $left( alpha right)$, biết mặt phẳng $left( alpha right)$ qua $M$ và song song với hai đường thẳng $a$ và $b.$ Phương pháp: + Qua $left( alpha right)$ kẻ hai đường thẳng $left( alpha right)$lần lượt song song với hai đường thẳng $left( alpha right)$ + Tìm điểm chung của $left( alpha right)$với một mặt nào đó của hình đa diện + Mặt phẳng nào chứa điểm chung và chứa đường thẳng $left( alpha right)$hoặc $left( alpha right)$thì tiếp tục kẻ đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng $left( alpha right)$hoặc $left( alpha right)$cho đến khi thiết diện được hình thành.

Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng $left( alpha right)$ qua $O$, song song với $SA,CD$. Tìm thiết diện tạo bởi $left( alpha right)$ và hình chóp.

Tìm $left( alpha right) cap left( {ABCD} right)$: Ta có: $left{ begin{array}{l} O in left( alpha right) cap left( {ABCD} right) CDparallel left( alpha right) left( {ABCD} right) supset CD end{array} right.$ $ Rightarrow left( alpha right) cap left( {ABCD} right) = MN$ $left( 1 right)$, với $MN$ là đoạn thẳng qua $O$ và song song với $CD$, $left( {M in BC,N in AD} right).$ Tìm $left( alpha right) cap left( {SAD} right)$: Ta có: $left{ begin{array}{l} N in left( alpha right) cap left( {SAD} right) SAparallel left( alpha right) left( {SAD} right) supset SA end{array} right.$ $ Rightarrow left( alpha right) cap left( {SAD} right) = NP$ $left( 2 right)$ với $NPparallel SA$ $left( {P in SD} right).$ Tìm $left( alpha right) cap left( {SCD} right)$: Ta có: $left{ begin{array}{l} P in left( alpha right) cap left( {SCD} right) CDparallel left( alpha right) left( {SCD} right) supset CD end{array} right.$ $ Rightarrow left( alpha right) cap left( {SCD} right) = MQ$ $left( 3 right)$ với $PQparallel CD$ $left( {Q in SC} right).$ Ta có: $left( alpha right) cap left( {SBC} right) = MQ$ $left( 4 right).$ Từ $left( 1 right),left( 2 right),left( 3 right),left( 4 right)$ suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác $MNPQ.$ Ta lại có: $MNparallel CDparallel QP.$ Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $MNPQ.$

Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang cân có $AD$ không song song với $BC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ và $left( alpha right)$ là mặt phẳng qua $M$, song song với $SA,BD$. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $left( alpha right).$

Tìm $left( alpha right) cap left( {ABCD} right)$: Ta có: $left{ begin{array}{l} M in left( alpha right) cap left( {ABCD} right) BDparallel left( alpha right) left( {ABCD} right) supset BD end{array} right.$ $ Rightarrow left( alpha right) cap left( {ABCD} right) = MN$ $left( 1 right)$ với $MNparallel BD$ $left( {N in AB} right)$ ($N$ là trung điểm của $AB$). Tìm $left( alpha right) cap left( {SAD} right)$: Ta có: $left{ begin{array}{l} M in left( alpha right) cap left( {SAD} right) SAparallel left( alpha right) left( {SAD} right) supset SA end{array} right.$ $ Rightarrow left( alpha right) cap left( {SAD} right) = MR$ $left( 2 right)$ với $MRparallel SA$ $left( {R in SD} right)$ ($R$ là trung điểm của $SD$). Tìm $left( alpha right) cap left( {SAB} right)$: Ta có: $left{ begin{array}{l} N in left( alpha right) cap left( {SAB} right) SAparallel left( alpha right) left( {SAB} right) supset SA end{array} right.$ $ Rightarrow left( alpha right) cap left( {SCD} right) = NP$ $left( 3 right)$ với $NPparallel SA$ $left( {P in SB} right)$ ($P$ là trung điểm của $SB$). Tìm $left( alpha right) cap SC$: Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ với $AC.$ Chọn mặt phẳng phụ $left( {SAC} right) supset SC.$ Tìm $left( alpha right) cap left( {SAC} right)$: Ta có: $left{ begin{array}{l} I in left( alpha right) cap left( {SAC} right) SAparallel left( alpha right) left( {SAC} right) supset SA end{array} right.$ $ Rightarrow left( alpha right) cap left( {SAC} right) = IQ$ với $IQparallel SA$ $left( {Q in SC} right).$ Suy ra $left( alpha right) cap SC = Q.$ Do đó ta có: $left( alpha right) cap left( {SCD} right) = RQ$ $left( 4 right).$ $left( alpha right) cap left( {SCB} right) = PQ$ $left( 5 right).$ Từ $left( 1 right),left( 2 right),left( 3 right),left( 4 right),left( 5 right)$ suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác $MNPQR.$ [ads] Dạng 4: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $(alpha )$ biết $(alpha )$ đi qua một điểm cho trước và song song với mặt phẳng $(beta ).$ Phương pháp: + Chọn mặt phẳng $(gamma )$ chứa điểm thuộc mặt phẳng $(alpha )$ sao cho giao tuyến của $(beta )$ và $(gamma )$ là dễ tìm. + Xác định giao tuyến $d=(beta )cap left( gamma right).$ + Kết luận giao tuyến của $(alpha )$ và $(gamma )$ là đường thẳng qua điểm thuộc $(alpha )$ và song song $d.$ + Tiếp tục làm quá trình này cho đến khi thiết diện được hình thành.

Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E$ là một điểm nằm trên cạnh $AB.$ Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng $(alpha )$ với $(alpha )$ là mặt phẳng qua $E$ và $(alpha )parallel (BCD).$

Tìm $(alpha ) cap (ABC)$: Ta có: $left{ begin{array}{l} (ABC) cap (BCD) = BC (alpha )parallel (BCD) E in (alpha ) cap (ABC) end{array} right.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (ABC) = EF$ $(1)$, với $EF$ là đoạn thẳng qua $E$ và song song với $BC.$ Tìm $(alpha ) cap (ABD)$: Ta có: $left{ begin{array}{l} (ABD) cap (BCD) = BD (alpha )parallel (BCD) E in (alpha ) cap (ABD) end{array} right.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (ABD) = EG$ $(2)$, với $EG$ là đoạn thẳng qua $E$ và song song $BD.$ Nối đoạn $FG$ ta có: $(alpha ) cap (ACD) = FG$ $(3).$ Từ $(1),(2),(3)$ suy ra thiết diện cần tìm là tam giác $EFG.$

Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cạnh đáy $AD$, $AD<BC$. $(alpha )$ là mặt phẳng qua $M$ trên cạnh $AB$ và song song với mặt phẳng $(SAD).$ Tìm thiết diện của hình chóp với $(alpha ).$

Tìm $(alpha ) cap (ABCD)$: Ta có: $left{ begin{array}{l} (ABCD) cap (SAD) = AD (alpha )parallel (SAD) M in (alpha ) cap (ABCD) end{array} right.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (ABCD) = MN$ $(1)$, với $MN$ là đoạn thẳng qua $M$ song song $AD.$ Tìm $(alpha ) cap (SAB)$: Ta có: $left{ begin{array}{l} (SAB) cap (SAD) = SA (alpha )parallel (SAD) M in (alpha ) cap (SAB) end{array} right.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (SAB) = MK$ $(2)$, với $MK$ là đoạn thẳng qua $M$ song song $SA.$ Tìm $(alpha ) cap (SCD)$: Ta có: $left{ begin{array}{l} (SCD) cap (SAD) = SD (alpha )parallel (SAD) N in (alpha ) cap (SCD) end{array} right.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (SCD) = NP$ $(3)$, với $NP$ là đoạn thẳng qua $N$ song song $SD.$ Nối đoạn $KP$ ta có: $(alpha ) cap (SBC) = KP$ $(4).$ Từ $(1),(2),(3),(4)$ suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác $MNPK.$

Dạng 5: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $(alpha )$ biết $(alpha )$ qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Phương pháp: Để tìm thiết diện của khối đa diện $S$ với mặt phẳng $left( alpha right)$, biết $left( alpha right)$ đi qua điểm $M$ cho trước và vuông góc với đường thẳng $d$ cho trước, làm như sau: + Tìm hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau $a,b$ cùng vuông góc với $d$. + Xác định mặt phẳng $left( alpha right)$ theo một trong bốn trường hợp: $(I)$: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a subset left( alpha right)} {b subset left( alpha right)} {M in left( alpha right)} end{array}} right.$ $(II)$: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a//left( alpha right)} {b//left( alpha right)} {M in left( alpha right)} end{array}} right.$ $(III)$: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a subset left( alpha right)} {b//left( alpha right)} {M in left( alpha right)} end{array}} right.$ $(IV)$: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a//left( alpha right)} {b subset left( alpha right)} {M in left( alpha right)} end{array}} right.$

Ví dụ 9: Cho hình tứ diện $SABC$ có $ABC$ là tam giác đều. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $left( ABC right)$. Gọi $E$ là trung điểm của $AC$, $M$ là một điểm thuộc $AE$. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện $SABC$ và mặt phẳng $left( alpha right)$, biết $left( alpha right)$ là mặt phẳng qua điểm $M$ và vuông góc với $AC$.

Tìm hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AC.$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {SA bot left( {ABC} right)} {AC subset left( {ABC} right)} end{array}} right.$ $ Rightarrow SA bot AC.$ Xét tam giác đều $ABC$, ta có $E$ là trung điểm của $AC$ nên $BE$ sẽ vuông góc với $AC$. Vậy ta có hai đường thẳng $SA$ và $BE$ là hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AC$. Xác định mặt phẳng $left( alpha right)$: Do $left( alpha right)$ qua $M$ và $Mnotin SA$, $Mnotin BE$ nên $left( alpha right)$ sẽ được xác định theo cách: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {SA||left( alpha right)} {BE||left( alpha right)} {M in left( alpha right)} end{array}} right.$ Khi đó: Trong $left( ABC right)$ dựng $Mx||BE$ cắt $AB$ tại $N$ (ta được $MNbot AC$). Trong $left( SAC right)$ dựng $My||SA$ cắt $SC$ tại $P$ (ta được $MPbot AC$). Trong $left( SAB right)$ dựng $Nz||SA$ cắt $SB$ tại $Q$ (ta được $NQbot AC$). Xác định thiết của $left( alpha right)$ với tứ diện $SABC$: Ta có: $left( SAB right)cap left( alpha right)=NQ.$ $left( SAC right)cap left( alpha right)=NP.$ $left( SBC right)cap left( alpha right)=PQ.$ $left( ABC right)cap left( alpha right)=MN.$ Vậy thiết diện cần tìm là hình thang vuông $MNPQ$.

Ví dụ 10: Cho hình tứ diện $SABC$ có $ABC$ là tam giác đều. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $left( ABC right)$. Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $SC$, gọi $left( alpha right)$ là mặt phẳng qua $M$ và vuông góc với $AB$. Hãy xác định thiết diện tạo bởi tứ diện $SABC$ và mặt phẳng $left( alpha right)$.

Tìm hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AB.$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {SA bot left( {ABC} right)} {AB subset left( {ABC} right)} end{array}} right.$ $ Rightarrow SA bot AB.$ Xét tam giác đều $ABC$, ta có $I$ là trung điểm của $AB$nên $CI$ sẽ vuông góc với $AB$. Vậy ta có hai đường thẳng $SA$ và $CI$ là hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AB$. Xác định mặt phẳng $left( alpha right)$: Do $left( alpha right)$ qua $M$và $Mnotin SA$, $Mnotin CI$ nên $left( alpha right)$ sẽ được xác định theo cách: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {SA//left( alpha right)} {CI//left( alpha right)} {M in left( alpha right)} end{array}} right.$ Khi đó: Trong $left( SAC right)$ dựng $Mx//SA$ cắt $AC$ tại $N$ (ta được $MNbot AB$). Trong $left( ABC right)$ dựng $Ny//CI$ cắt $AB$ tại $P$ (ta được $NPbot AB$). Trong $left( SAB right)$ dựng $Pz//SA$ cắt $SB$ tại $Q$ (ta được $PQbot AB$). Xác định thiết của $left( alpha right)$ với tứ diện $SABC$: Ta có: $left( SAB right)cap left( alpha right)=PQ.$ $left( SAC right)cap left( alpha right)=MN.$ $left( SBC right)cap left( alpha right)=QM.$ $left( ABC right)cap left( alpha right)=NP.$ Vậy thiết diện cần tìm là hình thang vuông $MNPQ$.

Dạng 6: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $left( alpha right)$ biết $left( alpha right)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $left( beta right)$. Phương pháp: + Từ một điểm $Min d$ ta dựng đường thẳng $a$ qua $M$ và vuông góc với $(beta )$. Khi đó: $left( alpha right)=left( d,a right).$ + Tìm giao tuyến của $left( alpha right)$ với các mặt của hình đa diện.

Ví dụ 11: Cho tứ diện $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SAbot left( ABC right)$. Gọi $E$ là trung điểm cạnh $SC$, $M$ là một điểm trên cạnh $AB$. Gọi $left( alpha right)$ là mặt phẳng chứa $EM$ và vuông góc với $left( SAB right)$. Xác định thiết diện của $left( alpha right)$ và tứ diện.

Ta có: $left{ begin{array}{l} BC bot AB BC bot {rm{S}}A end{array} right.$ $ Rightarrow BC bot left( {SAB} right).$ Ta lại có: $left{ begin{array}{l} left( alpha right) bot left( {SAB} right) BC bot left( {{rm{S}}AB} right) end{array} right.$ $ Rightarrow left( alpha right)parallel BC.$ Kẻ $MNparallel BC$, ${rm{EF}}parallel BC.$ Nối $MF, NE$ ta được thiết diện cần tìm là hình thang $MNEF.$

Ví dụ 12: Cho hình chóp $S.ABCD$, $ABCD$ là hình chữ nhật, $SAbot (ABCD)$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Gọi $left( P right)$ là mặt phẳng qua $I$ và vuông góc với mặt $left( SBC right)$. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $left( P right)$.

Ta có: $left. begin{array}{l} IJ bot AB IJ bot SA end{array} right}$ $ Rightarrow IJ bot left( {SAB} right)$ $ Rightarrow IJ bot SB.$ Từ $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $SB$ tại $K.$ Do đó $left( P right) equiv left( {KIJ} right).$ Ta có: $left( P right) cap left( {SAB} right) = KI.$ $left( P right) cap left( {ABCD} right) = IJ.$ $left( P right) supset IJparallel BC$ $ Rightarrow left( P right) cap left( {SBC} right) = KNparallel BC.$ $left( P right) cap left( {SCD} right) = NI.$ Vậy thiết diện là hình thang $KNIJ.$

Dạng 7: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $(alpha )$ biết $(alpha )$ chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(beta )$ một góc $varphi .$ Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác, tính chất giao điểm và trung tuyến … từ đó xác định các đoạn giao tuyến và tìm được thiết diện.

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Mặt bên hợp với đáy một góc ${{60}^{0}}$. Cho $left( P right)$ là mặt phẳng qua $CD$ và vuông góc với $left( SAB right)$, $left( P right)$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$. $left( P right)$ cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính thiết diện theo $a$.

Gọi $K,I$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD.$ Khi đó $KI$ đi qua tâm $O$ của hình vuông $ABCD.$ Ta có: $left{ begin{array}{l} SK bot AB OK bot AB end{array} right.$ $ Rightarrow widehat {SKO} = {60^0}$ (Vì $widehat {SKO}$ là góc giữa mặt bên và mặt đáy hình chóp). Suy ra $Delta SKI$ là tam giác đều. Hạ đường cao $IE$ của $Delta SIK.$ Ta có: $left{ begin{array}{l} IE bot SK IE bot AB end{array} right.$ $ Rightarrow IE bot left( {SAB} right).$ Do đó mặt phẳng $left( P right)$ qua $CD$ và vuông góc $left( SAB right)$ là mặt phẳng $left( CDE right)$. Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác $CDMN.$ Ta có: $left{ begin{array}{l} MNparallel AB CDparallel AB end{array} right.$ $ Rightarrow MNparallel CD.$ Mặt khác $MN$ là đường trung bình của $Delta SAB$, do đó $DM = CN.$ Vậy thiết diện $CDMN$ là hình thang cân. Ta có: $MN = frac{a}{2}$, $IE = frac{{asqrt 3 }}{2}.$ Vậy diện tích thiết diện là ${S_{CDMN}} = frac{{left( {CD + MN} right).IE}}{2}$ $ = frac{{3{a^2}sqrt 3 }}{8}.$

Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Mặt bên tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Mặt phẳng $(alpha )$ qua $AB$ cắt $SC,SD$ lần lượt tại $M,N$. Cho biết góc tạo bởi mặt phẳng $(alpha )$ với mặt đáy là ${{30}^{0}}.$ Hãy xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(alpha )$ và hình chóp.

Ta có: $left{ begin{array}{l} M in (alpha ) cap (SCD) CDparallel AB (SCD) supset CD,(alpha ) supset AB end{array} right.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (SCD) = MN$ $(MNparallel AB).$ Ta có: $(SAB) cap (alpha ) = AB$, $(SAD) cap (alpha ) = AN$, $(SCD) cap (alpha ) = MN$, $(SBC) cap (alpha ) = MB.$ Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $ABMN.$ Mặc khác $Delta AND=Delta BMC$ $Rightarrow AN=BM.$ Vậy $ABMN$ là hình thang cân.