Đầu tiên, các em cùng VUIHOC nhận định mức độ khó của các bài toán luỹ thừa của luỹ thừa tại bảng sau đây:
Để dễ dàng hơn trong việc theo dõi bài viết cũng như ôn tập sau này, các em tải file tổng hợp lý thuyết luỹ thừa – luỹ thừa của luỹ thừa theo link dưới đây nhé!
>>>Tải xuống file lý thuyết luỹ thừa của luỹ thừa đầy đủ và chi tiết<<<
1. Ôn lại lý thuyết về luỹ thừa
1.1. Định nghĩa lũy thừa là gì?
Về định nghĩa luỹ thừa, các em có thể hiểu đơn giản rằng, lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có $n$ thừa số $a$ nhân với nhau. Lũy thừa có thể hiểu là tích số của một số với chính nó nhiều lần.
Luỹ thừa ký hiệu là $a^b$, đọc là lũy thừa bậc $b$ của $a$ hay $a$ mũ $b$, số $a$ gọi là cơ số, số $b$ gọi là số mũ.
Ngoài ra, ta cần biết rằng, phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn.
1.2. Phân loại luỹ thừa
Như chương trình Toán 12 THPT đã được học về luỹ thừa nói chung và luỹ thừa của một luỹ thừa nói riêng, các em có thể biết được luỹ thừa được phân chia ra làm 3 dạng: luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực. Mỗi dạng sẽ có công thức tổng quát hoặc tính chất riêng biệt mà các em cần lưu ý phân biệt để không nhầm lẫn trong quá trình giải bài tập.
Dạng 1: Luỹ thừa với số mũ nguyên
Cho $n$ là một số nguyên dương. Với $a$ là một số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc $n$ của $a$ là tích của n thừa số $a$. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên cũng giống định nghĩa chung về luỹ thừa. Ta có công thức tổng quát như sau:
(n thừa số a)
Với a0 thì a0=1, a-n =
Lưu ý:
-
0n và 0-n không có nghĩa
-
Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.
Dạng 2: Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực a dương và số hữu tỉ , trong đó
Luỹ thừa của số a với số mũ r là số ar xác định bởi:
Đặc biệt: Khi
Ví dụ:
Dạng 3: Luỹ thừa với số mũ thực
Cho , là một số vô tỉ, khi đó với là dãy số hữu tỉ thoả mãn
Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực:
Cho a, b > 0; x, y từ đó ta có:
1. ax.ay = ax + y
2. ax : ay = ax – y
3. (ax)y = axy
4. (ab)x = axbx
5.
6. ax > 0,
7. ax = ay x = y ()
8. Với thì ax > ay x > y với 0 < a < 1 thì ax > ay x < y
9. Với 0 < a < b và m là số nguyên dương thì am < bm, nếu số m nguyên âm thì am > bm
Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức Toán 12 thi tốt nghiệp THPT
1.3. Tính chất và công thức luỹ thừa cơ bản
Các tính chất của luỹ thừa góp phần không nhỏ trong việc hình thành cách so sánh luỹ thừa trong các bài tập cụ thể. Chúng ta cùng xét các tính chất lũy thừa áp dụng để biến đổi và so sánh luỹ thừa sau:
-
Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:
Tính chất về bất đẳng thức:
- So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:
- Với a > 1 thì
- Với 0 < a < 1 thì
- So sánh cùng số mũ:
- Với số mũ dương n > 0: a > b > 0
- Với số mũ âm
Dưới đây là bảng công thức luỹ thừa cơ bản giúp các em biến đổi các phép tính luỹ thừa của luỹ thừa:
an = a.a.a…..a (n thừa số a) a0 = 1
Ngoài ra còn có một số công thức khác trong các trường hợp đặc biệt, cụ thể như sau:
-
Luỹ thừa của số e:
Số $e$ là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số $e$ được định nghĩa qua giới hạn sau:
Hàm $e$ mũ, được định nghĩa bởi ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa
Hàm $e$ mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của $x$.
Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là ek như sau:
Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.
-
Hàm luỹ thừa với số mũ thực:
Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.
Logarit tự nhiên ln(x) là hàm ngược của hàm ex. Theo đó lnx là số b sao cho
Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:
Điều này dẫn tới định nghĩa với mọi số thực x và số thực dương a
2. Luỹ thừa của luỹ thừa
2.1. Luỹ thừa của một luỹ thừa là gì?
Để hiểu được luỹ thừa của luỹ thừa là gì,đơn giản nhất ta có thể suy ra từ định nghĩa của luỹ thừa như sau:
Luỹ thừa của luỹ thừa là biểu thức luỹ thừa trong đó phần cơ số là một biểu thức luỹ thừa khác. Luỹ thừa của luỹ thừa có ký hiệu là $(a^n)^m$
2.2. Công thức luỹ thừa của luỹ thừa
Theo định nghĩa trên, công thức luỹ thừa của luỹ thừa có dạng như sau:
2.3. Ứng dụng công thức luỹ thừa của luỹ thừa trong các bài toán luỹ thừa
VD1:
Lời giải
Chọn A
Ta có
VD2.
Lời giải
3. Bài tập luỹ thừa của luỹ thừa
Để thành thạo các bài tập luỹ thừa của luỹ thừa, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu tổng hợp các dạng bài áp dụng công thức biến đổi luỹ thừa của một luỹ thừa thường gặp nhất. Các em tải theo link dưới đây nhé!
>>>Tải xuống file bài tập luỹ thừa của luỹ thừa có giải chi tiết<<<
Trên đây là toàn bộ kiến thức cần ghi nhớ về luỹ thừa của luỹ thừa. Thông qua bài viết trên VUIHOC mong rằng sẽ giúp các em có thể nắm chắc kiến thức về chuyên đề này trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán.
Tham khảo thêm:
⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán – Lý – Hóa THPT Có Giải Chi Tiết
>>> Bài đọc thêm:
Công thức về lũy thừa
