Bài viết Lý thuyết Tổng hợp chương Dãy số – Cấp số cộng và cấp số nhân lớp 11 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Lý thuyết Tổng hợp chương Dãy số – Cấp số cộng và cấp số nhân.
Lý thuyết Tổng hợp chương Dãy số – Cấp số cộng và cấp số nhân
(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau:
+ Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
+ Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì:
+ Bước 1. ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.
+ Bước 2. giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k ≥ p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
DÃY SỐ
I. ĐỊNH NGHĨA
1. Định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u: N* → R
n → u(n).
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển
u1, u2, u3,…, un,…,
trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
2. Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…,m} với m ∈ N* được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3, …, un, trong đó u1 là số hạng đầu, un là số hạng cuối.
II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:
a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1. Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa 1
Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n ∈ N*.
Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi n ∈ N*.
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số (un) với un = (-3)n tức là dãy -3; 9; -27; 81,… không tăng cũng không giảm.
2. Dãy số bị chặn
Định nghĩa 2
Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
un ≤ M, ∀ n ∈ N*
Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
un ≥ m, ∀ n ∈ N*
Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho
m ≤ un ≤ M, ∀ n ∈ N*
CẤP SỐ CỘNG
I. ĐỊNH NGHĨA
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi
un+1 = un + d với n ∈ N*
Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đỗi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Định lí 1
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:
un = u1 + (n – 1 )d với n ≥ 2
III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG
Định lí 2
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
Định lí 3
Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+un. Khi đó
Chú ý: Vì un = u1 + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết lại là
CẤP SỐ NHÂN
I. ĐỊNH NGHĨA
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:
un+1 = unq với n ∈ N*
Đặc biệt:
+ Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0,…, 0,…
+ Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1,…, u1,…
+ Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0…
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Định lí 1
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức
un = u1.qn – 1 với n ≥ 2
III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN
Định lí 2
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
uk2 = uk – 1.uk + 1 với k ≥ 2
IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN
Định lí 3
Cho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ 1. Đặt Sn = u1 + u2 + … + un. Khi đó
Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1,…, u1,… khi đó Sn = nu1.
(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Lý thuyết Giới hạn của dãy số
- Lý thuyết Giới hạn của hàm số
- Lý thuyết Hàm số liên tục
- Lý thuyết Tổng hợp chương Giới hạn
- Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
