Bản quyền thuộc về VnDoc.Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng
– Định lí: Cho hàm số (y=fleft( x right)) có đạo hàm trên khoảng (left( a,b right)):
+ Hàm số (y=fleft( x right)) đồng biến trên khoảng (left( a,b right)) khi và chỉ khi (f’left( x right)ge 0) với mọi giá trị x thuộc khoảng (left( a,b right)). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
+ Hàm số (y=fleft( x right)) nghịch biến trên khoảng (left( a,b right)) khi và chỉ khi (f’left( x right)le 0) với mọi giá trị x thuộc khoảng (left( a,b right)). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
1. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên từng khoảng xác định
Chương trình phổ thông ta thường gặp dạng bài này đối với hàm số đa thức bậc 1 trên bậc 1, ta sẽ áp dụng chú ý sau:
– Hàm số (fleft( x right)=frac{ax+b}{cx+d},left( ad-bcne 0,cne 0 right)) đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi (ad-bc>0)
– Hàm số (fleft( x right)=frac{ax+b}{cx+d},left( ad-bcne 0,cne 0 right)) nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi (ad-bc<0)2. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước.
Cách 1:
– Hàm số (gleft( x right)=frac{ax+b}{cx+d},left( ad-bcne 0,cne 0 right)) đồng biến trên khoảng (left( p,q right)) khi và chỉ khi
(left{ begin{matrix} – cx+dne 0,forall xin left( p,q right) – ad-bc>0 end{matrix} right.)
– Hàm số (gleft( x right)=frac{ax+b}{cx+d},left( ad-bcne 0,cne 0 right)) nghịch biến trên khoảng (left( p,q right)) khi và chỉ khi (left{ begin{matrix} – cx+dne 0,forall xin left( p,q right) – ad-bc<0 end{matrix} right.)
Cách 2: Cô lập tham số m
Bước 1: Tìm y’
Bước 2: Cô lập m ta sẽ thu được phương trình ví dụ (mge fleft( x right))
Bước 3: Xét dấu với hàm (fleft( x right)) theo bảng quy tắc sau:
(mge fleft( x right),forall xin left( p,q right)Leftrightarrow mge underset{left( p,q right)}{mathop{max }},fleft( x right))
(m>fleft( x right),forall xin left( p,q right)Leftrightarrow m>underset{left( p,q right)}{mathop{max }},fleft( x right))
(mle fleft( x right),forall xin left( p,q right)Leftrightarrow mle underset{left( p,q right)}{mathop{min }},fleft( x right))
(m < fleft( x right),forall xin left( p,q right)Leftrightarrow m < underset{left( p,q right)}{mathop{min }},fleft( x right))
II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước.
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số (y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3mx-1) nghịch biến trên khoảng (left( 0,+infty right))
(A. mge 1) (B. mle -1) (C.mge -1) (D. mle 0)
Hướng dẫn giải
Ta có: (y’=-3{{x}^{2}}+6x+3m)
Hàm số nghịch biến trên (left( 0,+infty right)Leftrightarrow y’le 0) với mọi (xin left( 0,+infty right))
(Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+6x+3mle 0,forall xin left( 0,+infty right)Leftrightarrow mle {{x}^{2}}-2x,forall xin left( 0,+infty right))
Xét (fleft( x right)={{x}^{2}}-2x) với (xin left( 0,+infty right) f’left( x right)=2x-2,f’left( x right)=0Leftrightarrow x=1)
Học sinh tự vẽ bảng biến thiên và áp dụng quy tắc ta nhận được kết quả (mle -1)
Đáp án B
Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số (y=-frac{1}{3}{{x}^{3}}+left( m-1 right){{x}^{2}}+left( m+3 right)x-1) đồng biến trên khoảng (left( 0,3 right)).
(A. mle -3) (B. mge frac{1}{5}) (C.mge frac{11}{3}) (D. mge frac{12}{7})
Hướng dẫn giải
Ta có: (y’=-{{x}^{2}}+2left( m-1 right)x+3+m)
Hàm số đồng biến trên (left( 0,3 right)Rightarrow y’ge 0,forall xin left( 0,3 right))
(Rightarrow -{{x}^{2}}+2left( m-1 right)x+3+mge 0Leftrightarrow mge frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1})
Xét hàm số: (fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1}) với (forall xin left( 0,3 right) Rightarrow fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1},forall xin left( 0,3 right))
Lập bảng biến thiên kết luận (mge frac{12}{7})
Đáp án D
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số (y=frac{tan x-2}{tan x-m}) đồng biến trên (left( 0,frac{pi }{4} right))
(A. mge 2) (B. mle 0) (C.1le m<2) (D. left[ begin{matrix} mle 0 1le m<2 end{matrix} right.)
Hướng dẫn giải
(y’=frac{-m+2}{{{left( tan x-m right)}^{2}}}left( tan x right)’=frac{-m+2}{{{left( tan x-m right)}^{2}}}.frac{1}{{{cos }^{2}}x})
Để hàm số đồng biến trên (left( 0,frac{pi }{4} right)) thì:
(y’>0,forall xin left( 0,frac{pi }{4} right)Leftrightarrow left{ begin{matrix} -m+2>0 mne tan x,xin left( 0,dfrac{pi }{4} right) end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} m<2 mnotin left( 0,1 right) end{matrix} right.Leftrightarrow left[ begin{matrix} mle 0 1le m<2 end{matrix} right.)
Đáp án D
Ví dụ 4. Hàm số (y = frac{1}{3}x^{3} + frac{m}{2}x^{2} + x + 6) đồng biến trên nửa khoảng (lbrack 1; + infty)) khi nào?
Hướng dẫn giải
Ta có: (y’ = x^{2} + mx + 1)
Để hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng (lbrack 1; + infty)) khi đó:
(Leftrightarrow y’ geq 0;forall x in lbrack 1; + infty))
(Leftrightarrow x^{2} + mx + 1 geq 0;forall x in lbrack 1; + infty))
(Leftrightarrow m geq – x – frac{1}{x};forall x in lbrack 1; + infty))
Xét hàm số (g(x) = – x – frac{1}{x}) trên nửa khoảng (lbrack 1; + infty)) ta có:
(g'(x) = – 1 + frac{1}{x^{2}} = frac{1 – x^{2}}{x^{2}})
(g'(x) = 0 Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} x = 1 x = – 1 end{matrix} right.)
Bảng biến thiên của hàm số (g(x) = – x – frac{1}{x}) trên nửa khoảng (lbrack 1; + infty)) là:
Từ bảng biến thiên suy ra (max_{lbrack 1; + infty)}g(x) = g(1) = – 2)
Vậy (m geq g(x);forall x in lbrack 1; + infty)) khi và chỉ khi (m geq – 2).
Ví dụ 5 . Xác định điều kiện của tham số m để hàm số (y = f(x) = – x^{3} + 3x^{2} + (2m – 1)x – 1) nghịch biến trên khoảng ((0; + infty)) ?
Hướng dẫn giải
Tập xác định (Dmathbb{= R})
Ta có:(y’ = – 3x^{2} + 6x + 2m – 1)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ((0; + infty))
(y’ leq 0;forall x in (0; + infty)) khi và chỉ khi
(Leftrightarrow 2m leq 3x^{2} – 6x + 1;forall x in (0; + infty))
Xét hàm số (g() = 3x^{2} – 6x + 1) trên ((0; + infty)) ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
(min_{(0; + infty)}g(x) = – 2)
Do đó (Leftrightarrow 2m leq min_{(0; + infty)}g(x) Leftrightarrow 2m leq – 2 Leftrightarrow m leq – 1)
Vậy (m leq – 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 6. Cho hàm số (y = frac{m^{2}x + 5}{2mx + 1}) với (m) là tham số. Gọi (S) là tập hợp các số nguyên (m in lbrack – 2020;2020rbrack) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ((3; + infty)). Xác định số phần tử của tập hợp (S)?
Hướng dẫn giải
Xét (m = 0 Rightarrow y = 5) là hàm hằng nên hàm số không nghịch biến. Vậy (m = 0) không thỏa mãn.
Xét (m neq 0)
Tập xác định (D = left( – infty; – frac{1}{2m} right) cup left( – frac{1}{2m}; + infty right))
Để hàm số nghịch biến trên khoảng ((3; + infty)) khi và chỉ khi
(left{ begin{matrix} y’ = frac{m^{2} – 10m}{(2mx + 1)^{2}} < 0 – frac{1}{2m} leq 3 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m^{2} – 10m < 0 frac{6m + 1}{2m} geq 0 end{matrix} right.)
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} 0 < m < 10 leftlbrack begin{matrix} m leq – frac{1}{6} m > 0 end{matrix} right. end{matrix} right. Leftrightarrow 0 < m < 10)
Mà (left{ begin{matrix} mmathbb{in Z} m in lbrack – 2020;2020rbrack end{matrix} right.) nên (m in left{ 1;2;3;…;9 right})
Vậy tập hợp S có tất cả 9 giá trị.
Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của tham số (m) để hàm số (y = frac{1}{3}(m + 2)x^{3} – (m + 2)x^{2} + (m – 8)x + m^{2} – 1) luôn nghịch biến trên (mathbb{R})?
Hướng dẫn giải
Với (m = – 2) ta có (y = – 10x + 3) (hàm số này luôn nghịch biến trên tập số thực)
Với (m neq – 2) ta có (y’ = (m + 2)x^{2} – 2(m + 2)x + m – 8)
Hàm số nghịch biến trên(mathbb{R Leftrightarrow}y’ leq 0left( forall xmathbb{in R} right))
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a_{y’} = m + 2 < 0 Delta’_{y’} = leq 0 end{matrix} right. Leftrightarrow – 2 leq m leq – 2)
Kết hợp với (mmathbb{in Z Rightarrow}m in left{ – 2; – 1;0;1;2 right})
Vậy số phần tử của tập hợp (S) là 5.
II. Bài tập tự luyện
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: (y=frac{m-sin x}{{{cos }^{2}}x}) nghịch biến trên khoảng (left( 0,frac{pi }{6} right))
(A. mge frac{5}{4}) (B. mle frac{5}{4}) (C. mge frac{5}{2}) (D. mle frac{5}{2})
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số (y=frac{left( m+1 right)x+2m+2}{x+m}) nghịch biến trên khoảng (left( -1,+infty right))
(A. -1< m <2) (B. mge 1) (C. 1le m<2) (D. left[ begin{matrix} m>2 m<1 end{matrix} right.)
Câu 3: Với giá trị nào của m thì hàm số (y=frac{mx+4}{x+m}) nghịch biến trên (left( -infty ,1 right))
(A. -2le mle 1) (B. -2le mle -1) (C. min varnothing) (D. -2 < m <2)
Câu 4: Tìm m để hàm số (y=frac{2{{x}^{2}}-3x+m}{x-1}) đồng biến trên (left( 2,+infty right))
(A. mge -1) (B. mge 2) (C.mle 3) (D. mle 7)
Câu 5: Tìm m để hàm số (y=sin x+mx) đồng biến trên (mathbb{R})
(A. mge -1) (B. mge 2) (C.mge 1) (D. mle 7)
Câu 6: Tìm m để hàm số (y=frac{sin x-1}{sin x+m}) nghịch biến trên (left( 0,frac{pi }{2} right))
(A. mge 0) (B. mle 0) (C.mge -1) (D. mle 1)
Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (y=frac{{{e}^{x}}-m-2}{{{e}^{x}}-{{m}^{2}}}) nghịch biến trên khoảng (left( ln frac{1}{4},0 right))
(A. 1< m <2) (B. -1le mle 2) (C. -frac{1}{2}le mle frac{1}{2}) (D. left[ begin{matrix} -dfrac{1}{2}le mle dfrac{1}{2} 1le m<2 end{matrix} right.)
Câu 8: Cho hàm số (y = frac{{left( {m – 1} right)sqrt {x – 1} + 2}}{{sqrt {x – 1} – 1}}). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (17;37).
A. m ∈ [-4; -1] B. m ∈ (-∞; -6] ∪ [-4; -1) ∪ (2; +∞) C. m ∈ (-∞; -4] ∪ (2; +∞) D. m ∈ (-1; 2)
Câu 9: Hàm số: y = 2×3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (2;+∞) khi giá trị m là?
A. m ≤ 2 B. m ≥ 2 C. m ≤ 1 D. m ≥ 1
Câu 10: Cho hàm số: (y=frac{{{x^2} – 2mx + 3{m^2}}}{{x – 2m}}) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi giá trị của tham số m là:
A. m < 0 B. m > 0 C. m = 0 D. m ∈ R
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2017;2017 ] để hàm số y = (m – 2)x + 2m đồng biến trên R.
A. 2014 B. 2016 C. vô số D. 2015
Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2017;2017 ] để hàm số y =(m2-4)x + 2m đồng biến trên R.
A. 4030 B. 4034 C. Vô số D. 2015
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số số m để hàm số (y = frac{{cot x – 1}}{{mcot x – 1}}) đồng biến trên khoảng (left( {frac{pi }{4};frac{pi }{2}} right))
A. m ∈ (-∞ ; 0) ∪ (1 ;+∞) B. m ∈ (-∞ ; 0) C. m ∈ (1 ; +∞) D. m ∈ (-∞ ; 1)
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = ln (16×2 + 1) – (m +1)x + m + 2 nghịch biến trên khoảng ( -∞; +∞)
A. m ∈ (-∞ ; -3] B. m ∈ [3 ; +∞ ) C. m ∈ (-∞ ; -3) D. m ∈ [-3 ; 3]
Câu 15: Cho hàm số y = x3 + 3×2. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -2) và (0 ;+∞)
B. Hàm số nghịch biến trên (-2 ; 1)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ ; 0) và (2 ;+∞)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞ ; -2) và (0 ;+∞)
Kiểm tra kiến thức về đồng biến, nghịch biến:
Bài trắc nghiệm được biên soạn bởi KhoaHoc.vn – Chuyên trang học online!
Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.
- Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
- 300 câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12 (Có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số và điểm uốn (Có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số
- Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Cực trị của hàm số
Lịch thi THPT Quốc Gia 2026
Xem chi tiết lịch thi: Lịch thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2026
Gửi đề thi để nhận lời giải ngay: https://www.facebook. com/com.VnDoc
