A. Phương trình bậc 2 là gì?
Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng (a≠0) (1).
Với x là ẩn số chưa biết và vì chỉ có 1 ẩn nên nó còn được gọi là phương trình ‘đơn biến’. Các số a, b, và c là các số đã biết, được gọi là hệ số của phương trình; có thể phân biệt bằng cách gọi lần lượt tương ứng: hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hệ số tự do hay hằng số.
Phương trình bậc 2 là một dạng phương trình đa thức, nó chỉ chứa lũy thừa của x là các số tự nhiên.
Giải phương trình bậc 2 là đi tìm các giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình (1) thì thỏa mãn ax2+bx+c=0. Có 4 cách giải phương trình bậc 2 phổ biến là phân tích thành nhân tử; phương pháp phần bù bình phương; sử dụng công thức nghiệm; đồ thị.
B. Giải phương trình bậc 2
Bước 1: Tính Δ=b2-4ac
Bước 2: So sánh Δ với 0
- Δ < 0 => phương trình (1) vô nghiệm
- Δ = 0 => phương trình (1) có nghiệm kép
- Δ > 0 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta dùng công thức nghiệm sau:
và
C. Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
- Nếu phương trình có a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm
- Nếu phương trình có a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là:
D. Sử dụng Hệ thức Vi – et
Định lí Vi – ét
Nếu là nghiệm của phương trình thì
Định lí Vi – et đảo
Nếu hai số có thì là nghiệm của phương trình , ( tồn tại khi )
E. Ví dụ giải phương trình bậc hai
Ví dụ 1: Giải phương trình bậc hai sau: x2 – 49x – 50 = 0
Hướng dẫn giải
Cách 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = -49; c = -50)
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
Cách 2: Nhẩm nghiệm
Do a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0
Nên phương trình có hai nghiệm
Cách 3: 0″ width=”256″ height=”18″ data-type=”2″ data-latex=”Delta = ( – 49)^{2} – 4.1.( – 50) = 2601 > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CDelta%20%3D%20(%20-%0A49)%5E%7B2%7D%20-%204.1.(%20-%2050)%20%3D%202601%20%3E%200″>
Theo định lí Vi – et ta có:
Vậy phương trình có hai nghiệm:
Ví dụ 2: Giải phương trình 4×2 – 2x – 6 = 0 (2)
Δ=(-2)2 – 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình (2) đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
và
Bạn cũng có thể nhẩm theo cách nhẩm nghiệm nhanh, vì nhận thấy 4-(-2)+6=0, nên x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. Nghiệm vẫn giống ở trên.
Ví dụ 3: Giải phương trình 2×2 – 7x + 3 = 0 (3)
Tính Δ = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24= 25 > 0 => (3) có 2 nghiệm phân biệt:
và
Để kiểm tra xem bạn đã tính nghiệm đúng chưa rất dễ, chỉ cần thay lần lượt x1, x2 vào phương trình 3, nếu ra kết quả bằng 0 là chuẩn. Ví dụ thay x1, 2.32-7.3+3=0.
Ví dụ 4: Giải phương trình 3×2 + 2x + 5 = 0 (4)
Tính Δ = 22 – 4.3.5 = -56 < 0 => phương trình (4) vô nghiệm.
Ví dụ 5: Giải phương trình x2 – 4x +4 = 0 (5)
Tính Δ = (-4)2 – 4.4.1 = 0 => phương trình (5) có nghiệm kép:
Thực ra nếu nhanh ý, bạn cũng có thể nhìn ra đây chính là hằng đẳng thức đáng nhớ (a-b)2 = a2 – 2ab + b2 nên dễ dàng viết lại (5) thành (x – 2)2 = 0 <=> x=2.
F. Phân tích đa thức thành nhân tử
Nếu phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2, lúc nào bạn cũng có thể viết nó về dạng sau: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.
Trở lại với phương trình (2), sau khi tìm ra 2 nghiệm x1, x2 bạn có thể viết nó về dạng: 4(x-3/2)(x+1)=0.
G. Giải phương trình bậc hai chứa tham số
1. Phương trình có nghiệm
2. Phương trình vô nghiệm
3. Phương trình có nghiệm duy nhất (Nghiệm kép hay hai nghiệm bằng nhau)
4. Phương trình có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) 0″ width=”64″ height=”12″ data-type=”2″ data-latex=”Leftrightarrow Delta > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5CDelta%20%3E%200″>
5. Phương trình có hai nghiệm cùng dấu 0 end{matrix} right.” width=”76″ height=”39″ data-type=”2″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{matrix} Delta geq 0 P > 0 end{matrix} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5CDelta%20%5Cgeq%200%20%5C%5C%0AP%20%3E%200%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.”>
6. Phương trình có hai nghiệm trái dấu 0 P < 0 end{matrix} right. Leftrightarrow a.c < 0″ width=”158″ height=”39″ data-type=”2″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{matrix} Delta > 0 P < 0 end{matrix} right. Leftrightarrow a.c < 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5CDelta%20%3E%200%20%5C%5C%0AP%20%3C%200%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.%5C%20%20%5CLeftrightarrow%20a.c%20%3C%200″>
7. Phương trình có hai nghiệm dương (Hai nghiệm lớn hơn 0) 0 P > 0 end{matrix} end{matrix} right.” width=”78″ height=”62″ data-type=”2″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{matrix} Delta geq 0 begin{matrix} S > 0 P > 0 end{matrix} end{matrix} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5CDelta%20%5Cgeq%200%20%5C%5C%0A%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0AS%20%3E%200%20%5C%5C%0AP%20%3E%200%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.”>
8. Phương trình có hai nghiệm âm (Hai nghiệm nhỏ hơn 0) 0 end{matrix} end{matrix} right.” width=”78″ height=”62″ data-type=”2″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{matrix} Delta geq 0 begin{matrix} S < 0 P > 0 end{matrix} end{matrix} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5CDelta%20%5Cgeq%200%20%5C%5C%0A%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0AS%20%3C%200%20%5C%5C%0AP%20%3E%200%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.”>
9. Phương trình có hai nghiệm đối nhau
10. Hai nghiệm nghịch đảo nhau
Điều cần ghi nhớ:
Đi liền với phương trình bậc 2 còn có định lý Vi-et với rất nhiều ứng dụng như tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 đã nói ở trên, tìm 2 số khi biết tổng và tích, xác định dấu của các nghiệm, hay phân tích thành nhân tử. Đây đều là những kiến thức cần thiết sẽ gắn liền với bạn trong quá trình học đại số, hay các bài tập giải và biện luận phương trình bậc 2 sau này, nên cần ghi nhớ kỹ và thực hành cho nhuần nhuyễn.
Nếu có ý định theo học lập trình, bạn cũng cần có những kiến thức toán cơ bản, thậm chí kiến thức toán chuyên sâu, tùy thuộc vào dự án bạn sẽ làm.
