Các dạng bài tập trắc nghiệm về nguyên hàm giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:
Chú ý:
$int {{x^alpha }dx = frac{{{x^{alpha + 1}}}}{{alpha + 1}}} + C$ với $alpha ne – 1$;
$int {kdx = k} x + C$;
$int {kf(x)dx = k} int {f(x)dx} $;
$int {left( {f(x) + g(x)} right)dx = } int {f(x)dx} + int {g(x)dx} $;
$int {left( {f(x) – g(x)} right)dx = } int {f(x)dx} – int {g(x)dx} $.
Câu 1. Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên trên $K$ và $k$ là hằng số. Trên $K$, mệnh đề nào sau đây sai.
A. $int {left[ {f(x) + g(x)} right]dx = } int {f(x)dx} + int {g(x)dx} $. B. $int {left[ {f(x) – g(x)} right]dx = } int {f(x)dx} – int {g(x)dx} $.
C. $int {kf(x)dx} = kint {f(x)dx} $. D. $int {left[ {f(x).g(x)} right]dx = } int {f(x)dx} .int {g(x)dx} $.
Lời giải
Chọn D
Câu 2. Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
A. $int {f(x)dx = } F(x) + C$. B. ${left( {int {f(x)dx} } right)^prime } = f(x)$.
C. ${left( {int {f(x)dx} } right)^prime } = f'(x)$. D. ${left( {int {f(x)dx} } right)^prime } = F'(x)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $int {f(x)dx = } F(x) + C Leftrightarrow F’left( x right) = fleft( x right)$ nên phương án A, B, D đúng.
Câu 3. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {x^5} – 5$ là
A. $frac{{{x^6}}}{6} – 5x + C$. B. $frac{{{x^5}}}{5} – 5x + C$. C. $5{x^4} + C$. D. $5{x^6} – 5x + C$.
Lời giải
Chọn A.
$int {left( {2x + 6} right)dx = {x^2} + 6x + C} $
Câu 4. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 2x + 6$ là
A. ${x^2} + C$. B. ${x^2} + 6x + C$. C. $2{x^2} + C$. D. $2{x^2} + 6x + C$.
Lời giải
Chọn B.
$int {left( {2x + 6} right)dx = {x^2} + 6x + C} $
Câu 5. $int {{x^2}dx} $ bằng
A. $2x + C$. B. $frac{1}{3}{x^3} + C$. C. ${x^3} + C$. D. $3{x^3} + C$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $int {{x^2}dx} = frac{1}{3}{x^3} + C$.
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3{x^2} + 1$ là
A. ${x^3} + C$ B. $frac{{{x^3}}}{3} + x + C$ C. $6x + C$ D. ${x^3} + x + C$
Lời giải
Chọn D.
$int {left( {3{x^2} + 1} right)dx = {x^3} + x + C.} $
Câu 7. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {x^3} + x$ là
A. $frac{1}{4}{x^4} + frac{1}{2}{x^2} + C$ B. $3{x^2} + 1 + C$ C. ${x^3} + x + C$ D. ${x^4} + {x^2} + C$
Lời giải
Chọn A.
$int {left( {{x^3} + {x^2}} right)dx} $$ = frac{1}{4}{x^4} + frac{1}{2}{x^2} + C$.
Câu 8. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {x^4} + {x^2}$ là
A. $frac{1}{5}{x^5} + frac{1}{3}{x^3} + C$ B. ${x^4} + {x^2} + C$ C. ${x^5} + {x^3} + C$. D. $4{x^3} + 2x + C$
Lời giải
Chọn A.
$int {fleft( x right)dx = } $$int {left( {{x^4} + {x^2}} right)dx} $$ = frac{1}{5}{x^5} + frac{1}{3}{x^3} + C$.
Câu 9. Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số $y = {x^{2025}}$?
A. $frac{{{x^{2026}}}}{{2026}} + 1$. B. $frac{{{x^{2026}}}}{{2026}}$. C. $y = 2025{x^{2024}}$. D. $frac{{{x^{2026}}}}{{2026}} – 1$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $int {{x^{2025}}d} x = frac{{{x^{2026}}}}{{2026}} + C,$ $C$ là hằng số.
Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số $y = {x^{2025}}$.
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = $ $frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + x – 2024$ là
A. $frac{1}{{12}}{x^4} – frac{2}{3}{x^3} + frac{{{x^2}}}{2} + C$. B. $frac{1}{9}{x^4} – frac{2}{3}{x^3} + frac{{{x^2}}}{2} – 2024x + C$.
C. $frac{1}{{12}}{x^4} – frac{2}{3}{x^3} + frac{{{x^2}}}{2} – 2024x + C$. D. $frac{1}{9}{x^4} + frac{2}{3}{x^3} – frac{{{x^2}}}{2} – 2024x + C$.
Lời giải
Chọn C.
Sử dụng công thức $int {{x^alpha }dx = frac{{{x^{alpha + 1}}}}{{alpha + 1}} + C} $ ta được:
$int {left( {frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + x – 2024} right)dx = } $
$frac{1}{3}.frac{{{x^4}}}{4} – 2.frac{{{x^3}}}{3} + frac{{{x^2}}}{2} – 2024x + C$
$ = frac{1}{{12}}{x^4} – frac{2}{3}{x^3} + frac{1}{2}{x^2} – 2024x + C$
Câu 11. Tìm nguyên $Fleft( x right)$ của hàm số $fleft( x right), = ,left( {x + 1} right)left( {x + 2} right)left( {x + 3} right)?$
A. $Fleft( x right), = ,frac{{{x^4}}}{4}, – ,6{x^3}, + ,frac{{11}}{2}{x^2} – ,6x, + ,C$. B. $Fleft( x right), = ,{x^4}, + ,6{x^3}, + ,11{x^2} + ,6x, + ,C$.
C. $Fleft( x right), = ,frac{{{x^4}}}{4}, + 2{x^3}, + ,frac{{11}}{2}{x^2} + ,6x, + ,C$. D. $Fleft( x right), = ,{x^3}, + ,6{x^2}, + ,11{x^2} + ,6x, + ,C$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $fleft( x right), = ,left( {x + 1} right)left( {x + 2} right)left( {x + 3} right) = ,{x^3} + ,6{x^2}, + ,11x, + ,6$
$ Rightarrow ,,Fleft( x right), = ,int {left( {{x^3} + ,6{x^2}, + ,11x, + ,6} right)} dx, = ,,frac{{{x^4}}}{4}, + 2{x^3}, + ,frac{{11}}{2}{x^2} + ,6x, + ,C$.
Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {left( {5x + 3} right)^5}$.
A. ${(5x + 3)^6} + C$. B. ${(5x + 3)^4} + C$. C. $frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} + C$. D. $frac{{{{(5x + 3)}^4}}}{{30}} + C$.
Lời giải
Chọn C.
$fleft( x right) = {left( {5x + 3} right)^5}$$ Rightarrow int {f(x)dx = } int {{{(5x + 3)}^5}dx = } frac{1}{5}.frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{6} + C = frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} + C$
Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {x^2} + frac{2}{{{x^2}}}$.
A. $int {fleft( x right)dx} = frac{{{x^3}}}{3} + frac{1}{x} + C$. B. $int {fleft( x right)dx} = frac{{{x^3}}}{3} – frac{2}{x} + C$.
C. $int {fleft( x right)dx} = frac{{{x^3}}}{3} – frac{1}{x} + C$. D. $int {fleft( x right)dx} = frac{{{x^3}}}{3} + frac{2}{x} + C$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $int {left( {{x^2} + frac{2}{{{x^2}}}} right)dx} = frac{{{x^3}}}{3} – frac{2}{x} + C$.
Câu 14. Tính $int {sqrt {xsqrt {xsqrt x } } dx} $.
A. $frac{4}{{15}}xsqrt[{15}]{{{x^7}}} + C$. B. $frac{8}{{15}}xsqrt[{15}]{{{x^7}}} + C$. C. $frac{8}{{15}}xsqrt[{15}]{x} + C$. D. $frac{4}{{15}}xsqrt[{15}]{x} + C$.
Lời giải
Chọn B.
$int {sqrt {xsqrt {xsqrt x } } dx} = int {sqrt {xsqrt {x.{x^{frac{1}{2}}}} } dx} $
$= int {sqrt {x.{x^{frac{3}{4}}}} dx} = int {{x^{frac{7}{8}}}dx} $
$= frac{{{x^{frac{7}{8} + 1}}}}{{frac{7}{8} + 1}} + C = frac{8}{{15}}xsqrt[{15}]{{{x^7}}} + C$
Câu 15. Tính $int {frac{{sqrt x – 2sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{sqrt[4]{x}}}dx} $.
A. $xsqrt[5]{x} – 2xsqrt[{17}]{{{x^5}}} + sqrt[4]{{{x^3}}} + C$. B. $frac{4}{5}xsqrt[5]{x} – frac{{24}}{{17}}xsqrt[{17}]{{{x^5}}} + frac{4}{3}sqrt[4]{{{x^3}}} + C$.
C. $xsqrt[5]{x} – frac{{24}}{{17}}xsqrt[{17}]{{{x^5}}} + sqrt[4]{{{x^3}}} + C$. D. $frac{4}{5}xsqrt[5]{x} – 2xsqrt[{17}]{{{x^5}}} + frac{4}{3}sqrt[4]{{{x^3}}} + C$.
Lời giải
Chọn B.
$int {frac{{sqrt x – 2sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{sqrt[4]{x}}}dx} = int {frac{{{x^{frac{1}{2}}} – 2{x^{frac{2}{3}}} + 1}}{{{x^{frac{1}{4}}}}}dx = } int {left( {frac{{{x^{frac{1}{2}}}}}{{{x^{frac{1}{4}}}}} – 2frac{{{x^{frac{2}{3}}}}}{{{x^{frac{1}{4}}}}} + frac{1}{{{x^{frac{1}{4}}}}}} right)dx} $
$ = int {left( {{x^{frac{1}{4}}} – 2{x^{frac{5}{{12}}}} + {x^{ – frac{1}{4}}}} right)dx = frac{4}{5}} xsqrt[5]{x} – frac{{24}}{{17}}xsqrt[{17}]{{{x^5}}} + frac{4}{3}sqrt[4]{{{x^3}}} + C$
Câu 16. Cho hàm số $f(x) = {x^2} + 4$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $int f (x)dx = 2x + C$. B. $int f (x)dx = {x^2} + 4x + C$.
C. $int f (x)dx = frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C$. D. $int f (x)dx = {x^3} + 4x + C$.
Lời giải
Ta có: $f(x) = {x^2} + 4 Rightarrow int f (x)dx = frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C$
Câu 17. Trên khoảng $left( {0; + infty } right)$, cho hàm số $fleft( x right) = {x^{frac{3}{2}}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $int {fleft( x right)} dx = frac{3}{2}{x^{frac{1}{2}}} + C$. B. $int {fleft( x right)} dx = int {sqrt {{x^3}} } dx$.
C. $int {fleft( x right)} dx = frac{2}{5}{x^{frac{5}{2}}} + C$. D. $int {fleft( x right)} dx = frac{2}{3}{x^{frac{1}{2}}} + C$.
Lời giải
Ta có:$int {fleft( x right)} dx = int {{x^{frac{3}{2}}}} dx = frac{2}{5}{x^{frac{5}{2}}} + C$.
Câu 18. Cho hàm số $fleft( x right) = frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $int {fleft( x right)dx = } frac{{{x^3}}}{3} – frac{1}{x} + C$. B. $int {fleft( x right)dx = } frac{{{x^3}}}{3} + frac{2}{x} + C$.
C. $int {fleft( x right)dx = } int {left( {{x^2} + frac{2}{{{x^2}}}} right)} dx$. D. $int {fleft( x right)dx = } frac{{{x^3}}}{3} – frac{2}{x} + C$.
Lời giải
Ta có: $int {fleft( x right)dx = } int {frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}} dx = int {left( {{x^2} + frac{2}{{{x^2}}}} right)} dx = frac{{{x^3}}}{3} – frac{2}{x} + C$.
Câu 19. Cho hàm số $fleft( x right) = {left( {{x^2} – 2} right)^{^2}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $int {fleft( x right)dx = } 4{x^3} – 8x$. B. $int {fleft( x right)dx = } 4{x^3} – 8x + 4$.
C. $int {fleft( x right)dx = } frac{{{x^5}}}{5} – frac{{4{x^3}}}{3} + 4x + C$. D. $int {fleft( x right)dx = } frac{{{x^4}}}{4} – 2{x^2} + 4 + C$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $int {fleft( x right)dx = } int {{{left( {{x^2} – 2} right)}^{^2}}} dx = int {left( {{x^4} – 4{x^2} + 4} right)} dx$
$ = frac{{{x^5}}}{5} – frac{{4{x^3}}}{3} + 4x + C$.
Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
Chú ý:
$int {cosxdx = sin x} + C$; $int {cosleft( {ax + b} right)dx = frac{1}{a}sin left( {ax + b} right)} + C$;
$int {sin xdx = – cosx} + C$; $int {sin left( {ax + b} right)dx = – frac{1}{a}cosxleft( {ax + b} right)} + C$;
$int {frac{1}{{co{s^2}x}}dx = tan x} + C$;
$int {frac{1}{{{{sin }^2}x}}dx = – cot x} + C$;
Câu 20. Hàm số $Fleft( x right) = cot x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng $left( {0;frac{pi }{2}} right)$
A. ${f_2}left( x right) = frac{1}{{{{sin }^2}x}}$. B. ${f_1}left( x right) = – frac{1}{{{{cos }^2}x}}$. C. ${f_4}left( x right) = frac{1}{{{{cos }^2}x}}$. D. ${f_3}left( x right) = – frac{1}{{{{sin }^2}x}}$.
Lời giải
Chọn D.
Có $int {frac{1}{{{{sin }^2}x}}dx} = – cot x + C$ suy ra $Fleft( x right) = cot x$ trên khoảng $left( {0;frac{pi }{2}} right)$ là một nguyên hàm của hàm số ${f_3}left( x right) = – frac{1}{{{{sin }^2}x}}$.
Câu 21. Cho hàm số $fleft( x right) = 1 + sin x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $int {fleft( x right)dx} = x – cos x + C$. B. $int {fleft( x right)dx} = x + sin x + C$.
C. $int {fleft( x right)dx} = x + cos x + C$. D. $int {fleft( x right)dx} = cos x + C$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $int {fleft( x right)dx = int {left( {1 + sin x} right)dx} = int {1dx} + int {sin xdx} = x – cos x + C} $.
Câu 22. Tìm nguyên hàm $Fleft( x right)$ của hàm số $fleft( x right) = {cos ^2}frac{x}{2}$
A. $Fleft( x right) = 2cos frac{x}{2} + C$ B. $Fleft( x right) = frac{1}{2}left( {1 + sin x} right) + C$
C. $Fleft( x right) = 2sin frac{x}{2} + C$ D. $Fleft( x right) = frac{1}{2}left( {1 – sin x} right) + C$
Lời giải
Chọn B.
Ta có:$fleft( x right) = {cos ^2}frac{x}{2} Rightarrow Fleft( x right)$
$ = int {{{cos }^2}frac{x}{2}dx} = int {frac{{1 + cos x}}{2}dx} $
$= frac{1}{2}int {left( {1 + cos x} right)dx} = frac{1}{2}left( {1 + sin x} right) + C$
Câu 23. Cho hàm số $fleft( x right) = 1 – frac{1}{{{{cos }^2}x}}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $int {fleft( x right)dx} = x + tan x + C$. B. $int {fleft( x right)dx} = x + cot x + C$.
C. $int {fleft( x right)dx} = x – tan x + C$. D. $int {fleft( x right)dx} = x – cot x + C$.
Lời giải
Chọn C.
$int {fleft( x right)dx} = int {left( {1 – frac{1}{{{{cos }^2}x}}} right)dx} = x – tan x + C$.
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = cos x + 6x$ là
A. $sin x + 3{x^2} + C$. B. $ – sin x + 3{x^2} + C$. C. $sin x + 6{x^2} + C$. D. $ – sin x + C$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $int {fleft( x right)dx = int {left( {cos x + 6x} right)dx = sin x + 3{x^2} + C} } $.
Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 2sin x + 3x$.
A. $int {left( {2sin x + 3x} right)dx = – 2cos x + frac{3}{2}{x^2} + C} $ B. $int {left( {2sin x + 3x} right)dx = 2cos x + 3{x^2} + C} $
C. $int {left( {2sin x + 3x} right)dx = {{sin }^2}x + frac{3}{2}x + C} $ D. $int {left( {2sin x + 3x} right)dx = sin 2x + frac{3}{2}{x^2} + C} $
Lời giải
Chọn A.
$int {left( {2sin x + 3x} right)dx = – 2cos x + frac{3}{2}{x^2} + C} $
Câu 26. Tính$int {left( {x – sin x} right)} dx$.
A. $frac{{{x^2}}}{2} + sin x + C$. B. $frac{{{x^2}}}{2} – cos x + C$. C. $frac{{{x^2}}}{2} – sin x + C$. D. $frac{{{x^2}}}{2} + cos x + C$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $int {left( {x – sin x} right)dx, = ,} frac{{{x^2}}}{2} + cos x + C$.
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 3{x^2} + sin x$ là
A. ${x^3} + cos x + C$. B. $6x + cos x + C$. C. ${x^3} – cos x + C$. D. $6x – cos x + C$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $int {left( {3{x^2} + sin x} right)dx} = {x^3} – cos x + C$.
Câu 28. Họ nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = frac{1}{x} + sin x$ là
A. $ln x – cos x + C$. B. $ – frac{1}{{{x^2}}} – cos x + C$. C. $ln left| x right| + cos x + C$. D. $ln left| x right| – cos x + C$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $int {fleft( x right)dx} = int {left( {frac{1}{x} + sin x} right)dx} = int {frac{1}{x}dx} + int {sin xdx} = ln left| x right| – cos x + C$.
Câu 29. Cho $int {fleft( x right)} ,dx = – cos x + C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $fleft( x right) = – sin x$. B. $fleft( x right) = – cos x$. C. $fleft( x right) = sin x$. D. $fleft( x right) = cos x$.
Lời giải
Áp dụng công thức $smallint sinx;dx = – cosx + C$. Suy ra $fleft( x right) = sinx$.
Câu 30. Cho hàm số $f(x) = int {cos frac{x}{2}sin frac{x}{2}} $. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $int {cos frac{x}{2}sin frac{x}{2}} = frac{1}{2}sin + C$. B. $int {cos frac{x}{2}sin frac{x}{2}} = frac{1}{2}cos x + C$
C. $int {cos frac{x}{2}sin frac{x}{2}} = – frac{1}{2}sin x + C$. D. $int {cos frac{x}{2}sin frac{x}{2}} = – frac{1}{2}cos x + C$
Lời giải
$int {cos frac{x}{2}sin frac{x}{2}} = frac{1}{2}int {sin x} dx = – frac{1}{2}cos x + C$
Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số mũ
Chú ý:
$int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $int {{e^{ax + b}}dx = frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$
$int {{a^x}dx = frac{{{a^x}}}{{ln a}}} + C$
Câu 31. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{3x}}$là hàm số nào sau đây?
A. $3{e^x} + C$. B. $frac{1}{3}{e^{3x}} + C$. C. $frac{1}{3}{e^x} + C$. D. $3{e^{3x}} + C$.
Lời giải
Chọn B.
$int {{e^{3x}}dx = frac{1}{3}{e^{3x}} + C,} $ với $C$ là hằng số bất kì.
Câu 32. Nguyên hàm của hàm số $y = {e^{2x – 1}}$ là
A. $2{e^{2x – 1}} + C$. B. ${e^{2x – 1}} + C$. C. $frac{1}{2}{e^{2x – 1}} + C$. D. $frac{1}{2}{e^x} + C$.
Lời giải
Chọn C.
Cách 1: $int {{e^{2x – 1}}} dx = int {{e^{ – 1}}.{{left( {{e^2}} right)}^x}} dx = {e^{ – 1}}.frac{{{{left( {{e^2}} right)}^x}}}{{ln {e^2}}} + C = frac{{{e^{2x – 1}}}}{2} + C$
Cách 2: $int {{e^{2x – 1}}dx} = frac{1}{2}int {{e^{2x – 1}}dleft( {2x – 1} right) = } frac{1}{2}{e^{2x – 1}} + C$.
Câu 33. Cho hàm số $f(x) = {e^x} + 2$. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A. $int f (x)dx = {e^{x – 2}} + C$. B. $int f (x)dx = {e^x} + 2x + C$.
C. $int f (x)dx = {e^x} + C$. D. $int f (x)dx = {e^x} – 2x + C$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $int f (x)dx = int {left( {{e^x} + 2} right)} dx = {e^x} + 2x + C$
Câu 34. Cho hàm số $fleft( x right) = {e^x} + 2x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $int {fleft( x right)dx = {e^x} + {x^2} + C} $. B. $int {fleft( x right)dx = {e^x} + C} $.
C. $int {fleft( x right)dx = {e^x} – {x^2} + C} $. D. $int {fleft( x right)dx = {e^x} + 2{x^2} + C} $.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $int {fleft( x right)} ,dx$$ = int {left( {{e^x} + 2x} right)dx = {e^x} + {x^2} + C} $.
Câu 35. Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {7^x}$.
A. $int {{7^x}dx} = frac{{{7^x}}}{{ln 7}} + C$ B. $int {{7^x}dx} = {7^{x + 1}} + C$ C. $int {{7^x}dx} = frac{{{7^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$ D. $int {{7^x}dx} = {7^x}ln 7 + C$
Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức $int {{a^x},dx} = frac{{{a^x}}}{{ln a}} + C,,,,left( {0 < a ne 1} right)$
Câu 36. Nguyên hàm của hàm số $y = {2^x}$ là
A. $int {{2^x}dx = ln {{2.2}^x} + C} $. B. $int {{2^x}dx = {2^x} + C} $. C. $int {{2^x}dx = frac{{{2^x}}}{{ln 2}} + C} $. D. $int {{2^x}dx = frac{{{2^x}}}{{x + 1}} + C} $.
Lời giải
Chọn C.
Do theo bảng nguyên hàm: $int {{a^x}dx = frac{{{a^x}}}{{ln ,a}} + C} $.
Câu 37. Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = {3^{ – x}}$ là
A. $ – frac{{{3^{ – x}}}}{{ln 3}} + C$ B. $ – {3^{ – x}} + C$ C. ${3^{ – x}}ln 3 + C$ D. $frac{{{3^{ – x}}}}{{ln 3}} + C$
Lời giải
Chọn A
Cách 1: $int {f(x)dx} = int {{3^{ – x}}dx} = int {{{left( {{3^{ – 1}}} right)}^x}d(x)} = frac{{{3^{ – x}}}}{{ln {3^{ – 1}}}} + C = – frac{{{3^{ – x}}}}{{ln 3}} + C$
Cách 2: $int {f(x)dx} = int {{3^{ – x}}dx} = – frac{{{3^{ – x}}}}{{ln 3}} + C$.
Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {3^x} + 2x$.
A. $int {left( {{3^x} + 2x} right)dx} = frac{{{2^x}}}{{ln 2}} + {x^2} + C$ B. $int {left( {{3^x} + 2x} right)dx} = {2^x}.ln 2 + {x^2} + C$
C. $int {left( {{3^x} + 2x} right)dx} = frac{{{2^x}}}{{ln 2}} + x + C$ D. $int {left( {{3^x} + 2x} right)dx} = {2^x}.ln 2 + x + C$
Lời giải
Chọn A.
$int {left( {{3^x} + 2x} right)dx} = frac{{{2^x}}}{{ln 2}} + {x^2} + C$
Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {e^x} – 2x$ là.
A. ${e^x} + {x^2} + C$. B. ${e^x} – {x^2} + C$. C. $frac{1}{{x + 1}}{e^x} – {x^2} + C$. D. ${e^x} – 2 + C$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $int {left( {{e^x} – 2x} right)dx = {e^x} – {x^2} + C} $
Câu 40. Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {e^x}left( {2025 – frac{{2026{e^{ – x}}}}{{{x^5}}}} right)$.
A. $int {fleft( x right)dx} = 2025{e^x} – frac{{2026}}{{{x^4}}} + C$. B. $int {fleft( x right)dx} = 2025{e^x} + frac{{2026}}{{{x^4}}} + C$.
C. $int {fleft( x right)dx} = 2025{e^x} + frac{{506,5}}{{{x^4}}} + C$. D. $int {fleft( x right)dx} = 2025{e^x} – frac{{506,5}}{{{x^4}}} + C$.
Lời giải
Chọn C.
$int {fleft( x right)} dx = int {{e^x}left( {2025 – frac{{2026{e^{ – x}}}}{{{x^5}}}} right)} dx$
$ = int {left( {2025{e^x} – frac{{2026}}{{{x^5}}}} right)} dx = 2026{e^x} + frac{{506,5}}{{{x^4}}} + C$
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số $y = {e^x}left( {2 + frac{{{e^{ – x}}}}{{{{cos }^2}x}}} right)$ là
A. $2{e^x} + tan x + C$ B. $2{e^x} – tan x + C$ C. $2{e^x} – frac{1}{{cos x}} + C$ D. $2{e^x} + frac{1}{{cos x}} + C$
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $y = {e^x}left( {2 + frac{{{e^{ – x}}}}{{{{cos }^2}x}}} right) = 2{e^x} + frac{1}{{{{cos }^2}x}}$
$int {ydx = } int {left( {2{e^x} + frac{1}{{{{cos }^2}x}}} right)dx = 2{e^x} + tan x + C} $.
Câu 42. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = {x^2} – {3^x} + frac{1}{x}$.
A. $frac{{{x^3}}}{3} – frac{{{3^x}}}{{ln 3}} – frac{1}{{{x^2}}} + C, C in mathbb{R}$. B. $frac{{{x^3}}}{3} – {3^x} + frac{1}{{{x^2}}} + C, C in mathbb{R}$.
C. $frac{{{x^3}}}{3} – frac{{{3^x}}}{{ln 3}} + ln left| x right| + C, C in mathbb{R}$. D. $frac{{{x^3}}}{3} – frac{{{3^x}}}{{ln 3}} – ln left| x right| + C, C in mathbb{R}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $int {left( {{x^2} – {3^x} + frac{1}{x}} right)} dx = frac{{{x^3}}}{3} – frac{{{3^x}}}{{ln 3}} + ln left| x right| + C,C in mathbb{R}$.
Câu 43. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A $int {{e^x}dx = x{e^x} + C} $. B. $int {{e^x}dx = {e^{x + 1}} + C} $. C. $int {{e^x}dx = – {e^{x + 1}} + C} $. D. $int {{e^x}dx = {e^x} + C} $.
Lời giải
Ta có $int {{e^x}dx = {e^x} + C} $.
Câu 44. Cho hàm số $f(x) = 1 + {e^{2x}}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $int {f(x)dx = x + frac{1}{2}{e^x} + C.} $ B. $int {f(x)dx = x + 2{e^{2x}} + C.} $
C. $int {f(x)dx = x + frac{1}{2}{e^{2x}} + C.} $ D. $int {f(x)dx = x + {e^{2x}} + C.} $
Lời giải
Ta có $int {(1 + {e^{2x}})dx = x + frac{1}{2}{e^{2x}} + C.} $
