Bài toán tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch lớp 7 có đáp án cực chi tiết sẽ là nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh lớp 7 trong việc ôn luyện và làm quen với cách giải các bài toán về tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch.
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu từng khái niệm một cách rõ ràng, đề cập đến các tính chất cơ bản và qua đó, phân tích các dạng toán thường gặp.
Mỗi phần kiến thức sẽ được minh họa bằng các ví dụ cụ thể kèm theo lời giải chi tiết, giúp các em nắm bắt được phương pháp giải toán một cách hiệu quả và chính xác nhất.
Mời các em tham khảo!
>>> Xem thêm: Các dạng toán về đa thức một biến lớp 7
I. Bài toán tỉ lệ thuận lớp 7
1. Lý thuyết về bài toán tỉ lệ thuận lớp 7
+ Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?
Cho k là hằng số khác 0, ta nói đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k nếu y liên hệ với x theo công thức: y = kx.
Từ y = kx (k ≠ 0) ta suy ra x = 1/k.y. Vậy nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x cũng tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 1/k và ta nói hai đại lượng x, y tỉ lệ thuận với nhau.
Ví dụ: Nếu ta có y = 2x thì ta nói rằng y và x tỉ lệ thuận với nhau, và hệ số tỉ lệ k = 2.
+ Tính chất của các đại lượng tỉ lệ thuận
Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau thì:
- Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi:
y1/x1 = y2/x2 = y3/x3 = …
- Tỉ số hai giá trị tuỳ ý của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
x1/x2 = y1/y2; x1/x3 = y1/y3;….
Ví dụ: Giả sử y = 2x khi đó với x1 = 1=> y1 = 2×1 = 2 và x2 = 3 => y2 = 2×2 = 6. Khi đó ta có:
y1/x1 = y2/x2 = 2.
y2/y1 = 2/6 = 1/3 và x1/x2 = 1/3 do đó y1/y2 = x1/x2.
2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận
Ví dụ 1: Cứ 100 nghìn đồng thì mua được 5 cái bút. Hỏi 160 nghìn đồng thì mua được bao nhiêu cái bút.
Giải:
Ta có bảng sau:
Số tiền (y)/ (ngìn đồng)Số bút (x) /(cái bút)1005160?
Ta thấy, số bút x và số tiền y tỉ lệ thuận với nhau, vì chúng liên hệ với nhau theo công thức y = (100/5).x.
Ở đây ta có y1 =100 tương ứng với x1 = 5, y2 =160 tương ứng với x2 = ?
Theo tính chất của tỉ lệ thuận thì ta có:
y1/x1 = y2/x2 => 100/5 = 160/x2 => x2 = (160.5)/100 = 8.
Vậy, 160 nghìn đồng mua được 8 cái bút.
Ví dụ 2: Tam giác ABC có số đo ba góc là A; B; C tương ứng tỉ lệ với 1; 2; 3 .Tính số đo ba góc của tam giác.
Giải:
Theo đề bài ta có:
Góc A/1 = góc B/2 = góc C/3
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Góc A/1 = góc B/2 = góc C/3 = (góc A + góc B + góc C)/(1 + 2 + 3) = 180°/6 = 30°;
Do đó, góc A = 30°; góc B = 30°.2 = 60° và góc C = 30°.3 = 90°.
Ví dụ 3: An và Bình cùng nhau nuôi gà, An nuôi 10 con, Bình nuôi 8 con. Sau khi bán hết số gà thu được tổng cộng 3,6 triệu đồng, hai bạn quyết định chia số tiền tỉ lệ với số con gà mỗi bạn đã nuôi. Tính số tiền mỗi bạn nhận được.
Giải:
Gọi số tiền (triệu đồng) được chia của An và Bình lần lượt là a và b (a > 0, b > 0). Do số tiền và số gà nuôi của hai bạn là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau, nên ta có:
a/10 = b/8
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a/10 = b/8 = (a + b)/(10 + 8) = 2,6/18 = 0,2.
Ta suy ra: a = 10.0,2 = 2 và b = 8.0,2 = 1,6.
Vậy An được nhận 2 triệu đồng và Bình được nhận 1,6 triệu đồng.
Ví dụ 4: Ba bác công nhân Mai, Nga, Phương cùng may áo gió xuất khẩu. Năng suất may áo của mỗi bác theo thứ tự lần lượt là 3 áo/giờ; 4 áo/giờ; 5 áo/giờ. Tổng số áo cả ba bác may được là 96 cái trong một ngày. Tính số áo may được của mỗi bác trong một ngày.
Giải:
Gọi số áo may được trong một ngày của các bác Mai, Nga, Phương lần lượt là m, n, p (m, n, p ∈ N*).
Do số áo may được tỉ lệ thuận với năng suất nên ta có:
m/3 = n/4 = p/5
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
m/3 = n/4 = p/5 = (m + n + p)/(3 + 4 + 5) = 96/12 = 8.
Ta suy ra: m = 3.8 = 24,
n = 4.8 = 32,
p = 5.8 = 40.
Vậy trong một ngày số áo may được của các bác Mai, Nga, Phương lần lượt là: 24; 32; 40 (áo).
II. Bài toán tỉ lệ nghịch lớp 7
1. Lý thuyết về bài toán tỉ lệ thuận lớp 7
+ Đại lượng tỉ lệ nghịch là gì?
Cho a là một hằng số khác 0. Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = a/x hay xy = a thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.
Chú ý: Khi y tỉ lệ nghịch với x thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau.
Ví dụ: Trong công thức xy = −2, ta nói hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ – 2.
+ Tính chất của các đại lượng tỉ lệ nghịch
Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau thì:
- Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ):
x1y1 = x2y2 = x3y3 = … hay x1/(1/y1) = x2/(1/y2) = x3/(1/y3) = …
- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
x1/x2 = y2/y1; x1/x3 = y3/y1; …
Ví dụ: Giả sử cho y = – 6/x. Khi đó với x1 = 1 => y1 = – 6/1 = – 6 và x2 = 3 => y2 = – 6/3 = – 2.
Do đó ta có:
x1y1 = 1.(- 6) = – 6 và x2y2 = 3.(- 2) = – 6 => x1y1 = x2y2 = – 6.
x1/x2 = 1/3 và y2/y1 = – 2/ (- 6) = 1/3 => x1/ x2 = y2/y1 = 1/3.
2. Một số bài toàn về đại lượng tỉ lệ nghịch
Ví dụ 1: Với cùng số tiền để mua 225 mét vải loại 1 có thể mua được bao nhiêu mét vải loại 2, nếu giá tiền vải loại 2 chỉ bằng 25% giá tiền vải loại 1.
Giải:
Với số tiền không đổi thì giá vải và số mét vải mua được tỉ lệ nghịch với nhau.
Gọi số mét vải loại 2 mua được là x, khi đó theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch ta có:
225/x = 25/100, do đó x = (225.100)/25 = 900 mét.
Ví dụ 2: Bốn đội máy cày có 36 máy giống hệt nhau làm việc trên bốn cánh đồng có diện tích bằng nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày, đội thứ ba trong 10 ngày, đội thứ tư trong 12 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy?
Giải:
Gọi số máy của 4 đội tương ứng là x; y; z; t (x; y; z; e ∈ Z+), ta có x + y + z + t = 36.
Vì số máy tỉ lệ nghịch với số ngày hoàn thành công việc nên ta có 4x = 6y = 10z = 12t
- x/(1/4) = y/(1/6) = z/(1/10) = z/(1/12) = (x + y + z + t)/(1/4 + 1/6 + 1/10 + 1/12) = 36/(36/60) = 60.
Từ đó suy ra x = 60/4 = 15; y = 60/6 = 10; z = 60/10 = 6; t = 60/12 = 5.
Ví dụ 3: Trong mỗi trường hợp sau, hãy cho biết hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau hay không.
a)
x- 11234y- 1212643
b)
x12345y24128620
Giải:
a) Ta có: (−1).(-12) = 1.12 = 2.6 = 3.4 = 4.3. Vậy x và y tỉ lệ nghịch với nhau.
b) Ta có: 4.6 ≠20. Vậy x và y không tỉ lệ nghịch với nhau.
Ví dụ 4: Trong một động cơ có ba bánh răng X, Y, Z ăn khớp nhau với số răng của mỗi bánh răng theo thứ tự là: 12; 24; 18. Cho biết mỗi phút bánh răng X quay được 6 vòng, em hãy tính số vòng quay trong một phút của các bánh răng Y và Z.
Giải:
Gọi x, y, z lần lượt là số vòng quay của các bánh răng X, Y, Z trong một phút (x > 0, y > 0, z > 0). Do các bánh răng ăn khớp với nhau nên số răng quay trong một phút của ba bánh răng bằng nhau. Như vậy số vòng quay trong một phút của mỗi bánh răng tỉ lệ nghịch với số răng của nó.
Ta có: 12x = 24y = 18z = 12.6 = 72.
Suy ra y = 72/24 = 3 và z = 72/18 = 4.
Vậy trong một phút bánh răng Y quay được 3 vòng và bánh răng Z quay được 4 vòng.
Ví dụ 5: Cho biết một đội công nhân (năng suất làm việc như nhau) dự kiến xây một ngôi nhà trong 168 ngày. Hỏi nếu điều chuyển số công nhân sang công trình khác thì số công nhân còn lại sẽ xây ngôi nhà đó trong bao nhiêu ngày?
Giải:
Nếu điều 1/3 số công nhân sang công trình khác thì số công nhân còn lại chỉ bằng 2/3 lúc đầu.
Gọi x1, x2 là số lượng công nhân có trong đội trước và sau khi điều chuyển, gọi y1 và y2 là số ngày để công nhân hoàn thành ngôi nhà tương ứng trong hai trường hợp (x1, x2 ∈ N*; y1, y2 > 0). Do số công nhân và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:
x2/x1 = y1/y2
Do x2/x1 = 2/3 và y1 =168 nên 2/3 = 168/y2.
Suy ra: y2 = 168/(2/3) = 168.3/2 = 252.
Vậy số công nhân còn lại sẽ xây xong ngôi nhà trong 252 ngày.
Ví dụ 6: Ba phân xưởng dệt có tổng cộng 62 máy dệt (có cùng năng suất) và mỗi phân xưởng được giao dệt một số mét vải bằng nhau. Phân xưởng thứ nhất hoàn thành công việc trong 2 ngày, phân xưởng thứ hai trong 3 ngày và phân xưởng thứ ba trong 5 ngày. Hỏi mỗi phân xưởng có bao nhiêu máy dệt?
Giải:
Ta gọi x1, x2, x3 lần lượt là số máy dệt của các phân xưởng thứ nhất, thứ hai, thứ ba (x1, x2, x3 ∈ N*).
Tổng số máy của ba phân xưởng là: x1 + x2 + x3 =62.
Vì số ngày hoàn thành công việc tỉ lệ nghịch với số máy nên ta có:
2×1 = 3×2 = 5×3 hay x1/(1/2) = x2/(1/3) = x3/(1/5).
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x1/(1/2) = x2/(1/3) = x3/(1/5) = (x1 + x2 + x3)/(1/2 + 1/3 + 1/5) = 62/(31/30) = 60.
Suy ra: x1 = ½.60 = 30; x2 = 1/3.60 = 20; x3 = 1/5.60 = 12.
Vậy, số máy dệt của ba phân xưởng lần lượt là: 30, 20, 12 (máy).
Chúng ta đã cùng nhau khám phá và hiểu sâu hơn về các khái niệm, tính chất, cũng như cách giải các dạng bài toán tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch lớp 7 qua bài viết trên.
Hy vọng rằng, qua bài viết này, các em học sinh sẽ có thêm nhiều kiến thức bổ ích để áp dụng vào việc giải toán, từ đó nâng cao kỹ năng và phát triển tư duy toán học của bản thân.
Chúc các em học tốt và đạt được nhiều thành công trong học tập!
Lý thuyết và các bài toán tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch lớp 7 có đáp án cực chi tiết được trình bày rất chi tiết trong cuốn Làm chủ kiến thức Toán bằng sơ đồ tư duy lớp 7 Tập 2. Các em hãy nhanh tay sở hữu cuốn sách, ôn luyện để đạt điểm cao hơn trong kì thi quan trọng sắp tới nhé!
Link đọc thử sách: https://drive.google.com/file/d/1R-JkEKNI4j0d-bIDytNA-0KmRrQa5UZP/view
TKbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo lớp 7 hàng đầu tại Việt Nam.
TKbooks.vn
