Phần 1
BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình và hệ bất phương trình
Các phép biến đổi bất phương trình:
a) Phép cộng: Nếu f(x) xác định trên D thì P(x) < Q(x) ( Leftrightarrow ) P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
b) Phép nhân:
* Nếu f(x) > 0, (forall )x ( in ) D thì P(x) < Q(x) ( Leftrightarrow ) P(x).f(x) < Q(x).f(x)
* Nếu f(x) < 0, (forall )x ( in ) D thì P(x) < Q(x) ( Leftrightarrow ) P(x).f(x) > Q(x).f(x)
c) Phép bình phương: Nếu P(x) ( ge )0 và Q(x) ( ge )0, (forall )x ( in ) D thì P(x) < Q(x) ( Leftrightarrow )({P^2}(x) < {Q^2}(x))
2. Dấu của nhị thức bậc nhất
a) Dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b
* Chú ý: Với a > 0 ta có:
(left| {f(x)} right| le a Leftrightarrow – a le f(x) le a)
(left| {f(x)} right| ge a Leftrightarrow left[ begin{array}{l}f(x) le – af(x) ge aend{array} right.)
3. Phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ( le c) (1) (({a^2} + {b^2})( ne 0))
Bước 1: Trong mp Oxy, vẽ đường thẳng ((Delta )): ax + by( = c)
Bước 2: Lấy ({M_o}({x_o};{y_o}) notin (Delta )) (thường lấy ({M_o} equiv O))
Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c.
Bước 4: Kết luận
Nếu axo + byo < c thì nửa mp bờ ((Delta )) chứa Mo là miền nghiệm của ax + by ( le c)
Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ ((Delta )) không chứa Mo là miền nghiệm của ax + by ( le c)
b. Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) ta được miền nghiệm của bpt ax + by < c. Miền nghiệm của các bpt ax + by ( ge c)và ax + by ( > c)được xác định tương tự.
c. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:
Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bpt trong hệ trên cùng một mp tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho.
4. Dấu của tam thức bậc hai
a. Định lí về dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a( ne )0, (Delta )= b2 – 4ac
* Nếu (Delta )< 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a..f(x)>0), (forall )x( in )R
* Nếu (Delta )= 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a..f(x)>0), (forall )x( ne )(frac{{ – b}}{{2a}})
* Nếu (Delta )> 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2; f(x) trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2. (Với x1, x2 là hai nghiệm của f(x) và x1< x2)
Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a( ne )0, (Delta )= b2- 4ac > 0
b. Dấu của nghiệm số
Cho f(x) = ax2 + bx + c, a( ne )0
a) ax2 + bx + c = 0 có nghiệm ( Leftrightarrow )(Delta )= b2- 4ac ( ge )0
b) ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu ( Leftrightarrow )a.c < 0
c) ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm cùng dấu ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta > 0a.c > 0end{array} right.)
c) ax2 + bx + c = 0 có các nghiệm dương ( Leftrightarrow )(left{ begin{array}{l}Delta ge 0P = {x_1}{x_2} = frac{c}{a} > 0S = {x_1} + {x_2} = – frac{b}{a} > 0end{array} right.)
d) ax2 +bx +c = 0 có các nghiệm âm ( Leftrightarrow )(left{ begin{array}{l}Delta ge 0P = {x_1}{x_2} = frac{c}{a} > 0S = {x_1} + {x_2} = – frac{b}{a} < 0end{array} right.)
Chú ý: Dấu của tam thức bậc hai luôn luôn cùng dấu với hệ số a khi (Delta < 0)
i) ax2 +bx +c >0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ begin{array}{l}a > 0Delta < 0end{array} right.)
ii) ax2 +bx +c <0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ begin{array}{l}a < 0Delta < 0end{array} right.)
iii) ax2 +bx +c ( ge )0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ begin{array}{l}a > 0Delta le 0end{array} right.)
iv) ax2 +bx +c ( le )0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ begin{array}{l}a < 0Delta le 0end{array} right.)
5. Bất phương trình bậc hai
a. Định nghĩa:
Bất phương trình bậc 2 là bpt có dạng f(x) > 0 (Hoặc f(x) ( ge )0, f(x) < 0, f(x) ( le ) 0), trong đó f(x) là một tam thức bậc hai. ( f(x) = ax2 + bx + c, a( ne )0 )
b. Cách giải:
Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ dấu tam thức bậc hai
Bước 1: Đặt vế trái bằng f(x), rồi xét dấu f(x)
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu và chiều của bpt để kết luận nghiệm của bpt
