Định lí Vi – ét cho phương trình đa thức bậc hai và đa thức bậc ba
Định lí Vi – ét cho phương trình đa thức bậc hai
Xét phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ khi đó $left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = – dfrac{b}{a} {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a} end{array} right..$
Định lí Vi – ét cho phương trình đa thức bậc ba
Xét phương trình $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$ có ba nghiệm là ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ khi đó $left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + {x_3} = – dfrac{b}{a} {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = dfrac{c}{a} {x_1}{x_2}{x_3} = – dfrac{d}{a} end{array} right..$
>Phân tích đa thức chứa tham số thành nhân tử dựa trên nghiệm của đa thức và hỗ trợ của máy tính bỏ túi
>Phương pháp giải phương trình bậc bốn tổng quát
Định lí Vi – ét cho phương trình đa thức bậc n
Xét phương trình ${{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+…+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0,left( {{a}_{n}}ne 0 right)$ có n nghiệm là ${{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}$ thì $sumlimits_{1le {{i}_{1}}<{{i}_{2}}<…<{{i}_{k}}}{{{x}_{{{i}_{1}}}}{{x}_{{{i}_{2}}}}…{{x}_{{{i}_{k}}}}}={{left( -1 right)}^{k}}dfrac{{{a}_{n-k}}}{{{a}_{n}}},k=1,2,…,n$
Hay dùng nhất là ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+…+{{x}_{n}}=-dfrac{{{a}_{n-1}}}{{{a}_{n}}}$ và ${{x}_{1}}{{x}_{2}}…{{x}_{n}}={{left( -1 right)}^{n}}dfrac{{{a}_{0}}}{{{a}_{n}}}.$
Chứng minh các định lí này thông qua phân tích một đa thức thành nhân tử khi biết các nghiệm của nó
Xét đa thức ${{P}_{n}}left( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+…+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}},left( {{a}_{n}}ne 0 right)$ có n nghiệm là ${{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}$ khi đó ${{P}_{n}}left( x right)={{a}_{n}}left( x-{{x}_{1}} right)left( x-{{x}_{2}} right)…left( x-{{x}_{n}} right).$
Đối với đa thức bậc hai: ${{P}_{2}}left( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c=aleft( x-{{x}_{1}} right)left( x-{{x}_{2}} right),forall x$
$Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+c=aleft[ {{x}^{2}}-left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)x+{{x}_{1}}{{x}_{2}} right],forall x$
$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} – aleft( {{x_1} + {x_2}} right) = b hfill a{x_1}{x_2} = c hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} {x_1} + {x_2} = – dfrac{b}{a} hfill {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a} hfill end{gathered} right.$
Đối với đa thức bậc ba: ${{P}_{3}}left( x right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=aleft( x-{{x}_{1}} right)left( x-{{x}_{2}} right)left( x-{{x}_{3}} right),forall x$
$Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=aleft[ {{x}^{3}}-left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} right){{x}^{2}}+left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} right)x-{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}} right],forall x$
$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} – aleft( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} right) = b hfill aleft( {{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1}} right) = c hfill – a{x_1}{x_2}{x_3} = d hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} {x_1} + {x_2} + {x_3} = – dfrac{b}{a} hfill {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = dfrac{c}{a} hfill {x_1}{x_2}{x_3} = – dfrac{d}{a} hfill end{gathered} right..$
Ví dụ 1: Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ là ba nghiệm phân biệt của phương trình [{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+2=0.]
Tính giá trị biểu thức $T=dfrac{1}{x_{1}^{2}-5{{x}_{1}}+4}+dfrac{1}{x_{2}^{2}-5{{x}_{2}}+4}+dfrac{1}{x_{3}^{2}-5{{x}_{3}}+4}.$
Giải. Trước tiên cần dùng: $fleft( x right)=aleft( x-{{x}_{1}} right)left( x-{{x}_{2}} right)…left( x-{{x}_{n}} right)Rightarrow {f}’left( x right)=fleft( x right)sumlimits_{k=1}^{n}{dfrac{1}{x-{{x}_{k}}}}Rightarrow sumlimits_{k=1}^{n}{dfrac{1}{x-{{x}_{k}}}}=dfrac{{f}’left( x right)}{fleft( x right)}$
Vậy khi phương trình [{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+2=0] có ba nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$
Dùng phép chia đa thức ta có [{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+2=left( x+3 right)left( {{x}^{2}}-5x+4 right)+6x-10]
[Rightarrow dfrac{left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+2 right)-2left( 3x-5 right)}{x+3}={{x}^{2}}-5x+4]
[Rightarrow dfrac{1}{{{x}^{2}}-5x+4}=dfrac{x+3}{left( underbrace{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+2}_{0} right)-2left( 3x-5 right)}=-dfrac{x+3}{2left( 3x-5 right)}=-dfrac{dfrac{1}{3}left( 3x-5 right)+dfrac{14}{3}}{2left( 3x-5 right)}=-dfrac{1}{6}-dfrac{7}{3left( 3x-5 right)}]
[Rightarrow T=-dfrac{1}{2}-dfrac{7}{3}left( dfrac{1}{3{{x}_{1}}-5}+dfrac{1}{3{{x}_{2}}-5}+dfrac{1}{3{{x}_{3}}-5} right)=-dfrac{1}{2}-dfrac{7}{9}left( dfrac{1}{{{x}_{1}}-5/3}+dfrac{1}{{{x}_{2}}-5/3}+dfrac{1}{{{x}_{3}}-5/3} right)]
[=-dfrac{1}{2}+dfrac{7}{9}.dfrac{{f}’left( 5/3 right)}{fleft( 5/3 right)}=-dfrac{1}{2}+dfrac{7}{9}.dfrac{-10/3}{-196/27}=-dfrac{1}{7}.]
