ĐS-Chuyên đề 8. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ.html

Đánh giá bài viết

Chuyên đề 8. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ

A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng công thức dạng , trong đó a, b là những hằng số với .

Hàm số bậc nhất có tập xác định là .

2. Tính chất

Tính đồng biến, nghịch biến:

Với , hàm số đồng biến trên .

Với , hàm số nghịch biến trên .

Đồ thị

– Đồ thị của hàm số là một đường thẳng gọi là đường thẳng . Nó có hệ số góc bằng a và có đặc điểm:

– Không song song và không trùng với các trục tọa độ;

– Cắt trục hoành tại điểm và cắt trục tung tại điểm .

Quan hệ giữa 2 đường thẳng

Cho hai đường thẳng , ta có:

+ song song với và

+ trùng với và

+ vuông góc với

+ cắt

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho hàm số (m là tham số).

a) Xác định các giá trị của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất.

b) Tìm các giá trị của m để hàm số trên là hàm số đồng biến.

Giải

a) Hàm số là hàm số bậc nhất .

b) Hàm số là hàm số đồng biến .

Nhận xét:

Để nhận dạng hàm số bậc nhất chúng ta cần lưu ý rằng: Công thức có dạng . Chẳng hạn, hàm số có hệ số nhưng không phải là hàm bậc nhất vì nó không có dạng .

Ví dụ 2: Cho hai hàm số và (với m là tham số).

Tìm giá trị của m để hai hàm số trên là hàm bậc nhất và đồ thị của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.

Giải

Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi:

Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi:

Vậy các giá trị của m thoả mãn đồng thời các điều kiện và là giá trị cần tìm.

Nhận xét :

+ Với , hai hàm số đã cho trở thành và . Khi đó không phải là hàm số bậc nhất nhưng đồ thị của nó cũng là một đường thẳng và nó song song với trục hoành, còn hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng cắt trục hoành. Từ đó ta có đồ thị của hai hàm số và cắt nhau.

+ Tương tự với , hai hàm số đã cho trở thành : và . Lập luận tương tự ta cũng có đồ thị của hai hàm số này cắt nhau.

+ Các đường thẳng và học ở chương III.

Ví dụ 3:Cho hai đường thẳng và .

Tìm m và n để trùng .
Tìm m và n để song song .

Giải

trùng khi và chỉ khi
song song khi và chỉ khi

Nhận xét :

Đối với bài toán trên, chúng ta cần xác định rõ yêu cầu của đề là tìm điều kiện để 2 đường trùng nhau hoặc song song chứ không yêu cầu chúng phải là hàm bậc nhất. Vì vậy, nếu đặt điều kiện hoặc thì lời giải sẽ không đúng.

Ví dụ 4. Cho ba hàm số : có đồ thị là

có đồ thị là

Vẽ đồ thị của ba hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ.
Cho biết cắt tại A, cắt tại B, cắt tại C. Tính diện tích tam giác ABC.

Giải

Xem hình 1.

Từ câu a, ta có: .

có phương trình .

Cho thì do đó cắt Oy tại .

Gọi H là hình chiếu của điểm C lên Oy thì . Ta có :

Nhận xét :

Với phần b) chúng ta có thể giải theo một số cách khác. Chẳng hạn:

Cách 2: Ta kiểm tra thấy . Lại có:

(K là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành). Khi đó .

Cách 3: Gọi E là giao của BC và trục hoành. Tìm được . Khi đó:

Ví dụ 5.

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng .
Xác định hàm số biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng .

Giải

Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng có dạng :

Vì đi qua điểm nên (thoã mãn điều kiện ).

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là .

Vì đồ thị của hàm số luôn đi qua điểm nên ta có : (1).

Vì đồ thị của hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng nên ta có : (2).

Từ (1) và (2) suy ra : .

Nhận xét :

Ngoài cách giải như trên, chúng ta có cũng thể viết phương trình đường thẳng bằng cách đi tìm 2 yếu tố, đó là: Một điểm thuộc đường thẳng và hệ số góc k của nó. Khi đó phương trình của đường thẳng là: .

Áp dụng vào phần a, đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng nên từ đó suy ra đường thẳng cần tìm có hệ số góc đồng thời đi qua .

Như vậy ta có: Phương trình cần tìm là: .

Với phần c, ta cũng có thể giải bằng cách đi tìm 2 điểm trên đường thẳng. Sau đó làm tương tự phần a.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng và hai điểm và (với k,n là các tham số).

Tìm các giá trị của k và n để :

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
Đường thẳng d song song với đường thẳng

Cho . Tìm k để đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.

Giải

Đường thẳng đi qua điểm .

Đường thẳng đi qua điểm .

Vậy với thì đi qua hai điểm A và B.

Đường thẳng song song với đường thẳng .

Vậy với và thì đường thẳng song song với đường thẳng .

Với , đường thẳng cắt Ox (thỏa mãn).

Giao điểm của với Ox là ,

Các và vuông tại O nên .

Ta có

(thoả mãn).

Vậy với hoặc thì .

Nhận xét :

Với phần 1b, chúng ta thường hay bỏ qua bước kiểm tra hằng số tự do của hai đường thẳng khác nhau. Nhắc lại, hai đường thẳng và song song với nhau khi và chỉ khi và .

Với phần 2, nếu quá lệ thuộc vào hình vẽ học sinh có thể thiếu mất một trường hợp.

Ví dụ 7. Cho đường thẳng d là đồ thị của hàm số bậc nhất: (m là tham số)

Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d bằng .
Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d lớn nhất.

Giải

Đ ường thẳng d luôn đi qua điểm cố định khi và chỉ khi với mọi m

đúng với mọi m

Vậy đường thăng d luôn đi qua điểm cố định .

Điều kiện để là hàm số bậc nhất là .

Gọi A là giao điểm của d và trục Oy:

Với

Gọi B là giao điểm của d và trục Ox:

Với .

Do điểm O cách đường thẳng d một đoạn bằng nên đường thẳng d không đi qua O hay .

Kẻ . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Mà theo giả thiết có .

(thoả mãn).

Vì (OM không đổi do O và M cố định).

Dấu xảy ra khi .

Gọi là đường thẳng đi qua hai điểm O, M suy ra và .

Từ đó ta có . Như vậy ta được là đường thẳng đi qua hai điểm O và M, đường thẳng này có hệ số góc .

Mà d nên hệ số góc của đường thẳng d là .

Do d vuông góc với OM suy ra (thoả mãn).

Nhận xét :

Với phần a, chúng ta có thể tóm tắt y tưởng giải như sau:

Bài toán: Tìm điểm cố định của đường thẳng có phương trình: (trong đó a,b là các biểu thức phụ thuộc vào tham số m).

Cách giải:

Bước 1: Gọi điểm cố định cần tìm là (1) đúng với mọi m.

Bước 2: Biến đổi (1) về phương trình ẩn m:

đúng với mọi m (với P, Q là biểu thức không phụ thuộc vào m).

Bước 3: Sử dụng tính chất:

Phương trình ẩn m là: đúng với mọi m

Từ đó tìm được là toạ độ của điểm cố định.

Với phần c, ngoài cách giải đã trình bày ta cũng có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức. Cụ thể như sau:

với mọi m.

Đẳng thức xảy ra khi hay

Ví dụ 8.Trong hệ trục toạ đọ Oxy, cho hàm số (1) . Cho điểm A có hoành độ bằng 1 thuộc đồ thị của hàm số (1). Xác định m để điểm A nằm trong góc vuông thứ IV.

Giải

Do điểm A thuộc đồ thị của hàm số (1) và có hoành độ bằng 1 nên với

Điểm A nằm trong góc vuông thứ IV của hệ trục toạ độ Oxy

Vậy thoã mãn yêu cầu của đề bài.

Nhận xét:

Hai trục toạ độ chia mặt phẳng thành 4 phần: Góc phần tư thứ I,II,III,IV.

Điểm nằm trong góc phần tư thứ I khi và chỉ khi
Điểm nằm trong góc phần tư thứ II khi và chỉ khi
Điểm nằm trong góc phần tư thứ III khi và chỉ khi
Điểm nằm trong góc phần tư thứ IV khi và chỉ khi

Ví dụ 9. Cho hàm số

Chứng minh khi m thay đổi thì đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định.

Giải

Gọi điểm M (x;y) là một điểm của đồ thị, khi đó:

M cố định khi và chỉ khi đúng với mọi m

đúng với mọi m

Vậy là điểm cố định cần tìm.

Nhân xét:

Cách giải trên dựa vào tính chất:

Phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a=b=c=0.

Ví dụ 10. Cho ba điểm . Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Giải

Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Phương trình của d có dạng là (1).

Do toạ độ của A, B thoả mãn (1) nên ta có hệ:

Lại có:Điểm thoả mãn phương trình .Từ đó suy ra A, B, C thẳng hàng.

III. Bài tập vận dụng

8.1.Cho 2 đường thẳng và .

a) Tìm m để

b) Tìm m để d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho .

Hướng dẫn giải – đáp số

Do nên tan .

8.2.Cho đường thẳng d có phương trình ( với ), d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B. Tìm m sao cho:

a) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng ;

b) Diện tích tam giác AOB bằng .

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Hàm số có đồ thị là đường thẳng d, điều kiện: .

Do d cắt trục Ox tại điểm A nên với:

Do d cắt trục Oy tại điểm B nên với

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O lên AB suy ra OH là khoảng cách từ gốc O tới đường thẳng d.

Suy ra . Mặt khác, do tam giác OAB vuông tại O và OH là đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông nên ta có:

hoặc (thỏa mãn điều kiện). Vậy hoặc .

b) Theo a, ta có

hoặc

8.3.Xác định phương trình đường thẳng biết rằng nó song song với đường thẳng d có phương trình và đi qua điểm .

Hướng dẫn giải – đáp số

Do đường thẳng song song với đường thẳng d và đường thẳng d có hệ số góc bằng -1 nên ta có đường thẳng cũng có hệ số góc là -1.

Từ đó suy ra đường thẳng có phương trình dạng: . Do điểm thuộc đường thẳng nên ta có: . Vậy đường thẳng có phương trình là .

8.4.Cho hai đường thẳng cắt Ox tại A, cắt Oy tại B; cắt Ox tại C, cắt Oy tại D; và cắt nhau tại M.

a) Chứng minh tam giác MAC vuông tại M.

b) Tính diện tích tam giác MAC.

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Hệ số góc của hai đường lần lượt là .

Mà tích của chúng là nên ta có .

T ừ đó ta có tam giác MAC vuông tại M.

b) Tìm được .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên trục hoành.

Từ đó có

8.5.Cho ba đường thẳng:

a) Tìm giá trị của m để

b) Tính các giá trị của m để ba đường thẳng trên cắt nhau tại một điểm.

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Đường thẳng và đường thẳng song song khi và chỉ khi

Vậy thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

b) Tìm được là giao điểm của và .

Khi đó 3 đường và đồng quy khi và chỉ khi:

hoặc .

8.6.Cho hàm số

a) Tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến trên tập số thực.

b) Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

c) Tìm m để đồ thị của các hàm số và đồng quy.

d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2.

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Hàm số nghịch biến .

b) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 tức là điểm thuộc đồ thị của hàm số:

c) Tìm được điểm là giao điểm của hai đường thẳng và . Khi đó:

Đồ thị của các hàm số đồng quy.

Điểm thuộc đồ thị của hàm số:

d) Giả sử hàm số có đồ thị là đường thẳng d, điều kiện:

Giả sử d cắt trục Ox tại điểm A, khi đó với:

Giả sử d cắt trục Oy tại điểm B

Khi đó với

Mà tam giác OAB vuông tại O nên ta có:

hoặc ( thỏa mãn)

Vậy hoặc

8.7.Cho hàm số .

a) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.

b) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn nhất.

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Gọi là một điểm thuộc đồ thị của hàm số

Điểm M cố định đúng với mọi m.

đúng với mọi m.

Như vậy ta có điểm cố định cần tìm là .

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d:

Khi đó độ dài đoạn thẳng OH là khoảng cách từ O tới đường thẳng d. Ta có:

(với OM không đổi do O và M cố định).

Dấu xảy ra khi .

Gọi là đường thẳng đi qua hai điểm O, M suy ra và . Từ đó ta có . Như vậy ta được là đường thẳng đi qua hai điểm O và M, đường thẳng này có hệ số góc .