Điểm cực đại và điểm cực tiểu là những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 12 về khảo sát hàm số. Nhiều học sinh thắc mắc “điểm cực đại là x hay y?” hay “cực đại là gì?”. Bài viết này giải đáp chi tiết các câu hỏi trên, cung cấp định nghĩa, công thức tìm điểm cực đại của hàm số, điểm cực tiểu của hàm số kèm ví dụ minh họa dễ hiểu.
1. Cực đại là gì? Cực tiểu là gì?
Trước tiên, cần hiểu rõ định nghĩa cực đại và cực tiểu:
1.1. Định nghĩa cực đại
Cực đại là gì? Hàm số ( y = f(x) ) đạt cực đại tại ( x = x_0 ) nếu tồn tại một khoảng ( (a; b) ) chứa ( x_0 ) sao cho:
[ f(x) < f(x_0) quad forall x in (a; b), x neq x_0 ]
Giải thích: Tại điểm cực đại, giá trị hàm số lớn hơn tất cả các giá trị lân cận.
1.2. Định nghĩa cực tiểu
Cực tiểu là gì? Hàm số ( y = f(x) ) đạt cực tiểu tại ( x = x_0 ) nếu tồn tại một khoảng ( (a; b) ) chứa ( x_0 ) sao cho:
[ f(x) > f(x_0) quad forall x in (a; b), x neq x_0 ]
Giải thích: Tại điểm cực tiểu, giá trị hàm số nhỏ hơn tất cả các giá trị lân cận.
1.3. Điểm cực trị và giá trị cực trị
Cần phân biệt rõ hai khái niệm:
Khái niệm Ký hiệu Giải thích Điểm cực trị ( x_0 ) Hoành độ của điểm mà hàm số đạt cực trị Giá trị cực trị ( f(x_0) ) hay ( y_0 ) Giá trị của hàm số tại điểm cực trị Điểm cực trị trên đồ thị ( M(x_0; y_0) ) Tọa độ điểm trên đồ thị
2. Điểm cực đại là x hay y?
Đây là thắc mắc phổ biến của nhiều học sinh. Câu trả lời phụ thuộc vào cách hỏi:
2.1. Giải đáp chi tiết
Câu hỏi đề bài Đáp án cần tìm Ví dụ “Tìm điểm cực đại“ Giá trị ( x_0 ) (hoành độ) ( x = 2 ) “Tìm giá trị cực đại“ Giá trị ( y_0 = f(x_0) ) ( y_{CĐ} = 5 ) “Tìm tọa độ điểm cực đại“ Cặp ( (x_0; y_0) ) ( M(2; 5) )
Quy ước thông dụng:
- Điểm cực đại là x → chỉ hoành độ ( x_0 )
- Giá trị cực đại là y → chỉ tung độ ( y_0 = f(x_0) )
2.2. Điểm cực tiểu là x hay y?
Tương tự như trên:
- Điểm cực tiểu: thường chỉ giá trị ( x_0 )
- Giá trị cực tiểu: chỉ giá trị ( y_0 = f(x_0) )
Lưu ý quan trọng: Trong đề thi, cần đọc kỹ câu hỏi để xác định đề yêu cầu tìm x, y hay cả hai.
3. Điều kiện để hàm số đạt cực trị
Để tìm điểm cực đại của hàm số và điểm cực tiểu của hàm số, cần nắm các điều kiện sau:
3.1. Điều kiện cần
Định lý: Nếu hàm số ( f(x) ) đạt cực trị tại ( x_0 ) và có đạo hàm tại ( x_0 ), thì:
[ f'(x_0) = 0 ]
Lưu ý: Điều ngược lại không đúng. Tức là ( f'(x_0) = 0 ) không đảm bảo ( x_0 ) là điểm cực trị.
3.2. Điều kiện đủ – Quy tắc 1 (Dựa vào sự đổi dấu của f’)
Giả sử hàm số ( f(x) ) liên tục trên khoảng ( (a; b) ) chứa ( x_0 ) và có đạo hàm trên ( (a; b) ) (trừ có thể tại ( x_0 )).
Sự đổi dấu của ( f'(x) ) Kết luận ( f'(x) ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua ( x_0 ) ( x_0 ) là điểm cực đại ( f'(x) ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua ( x_0 ) ( x_0 ) là điểm cực tiểu ( f'(x) ) không đổi dấu khi qua ( x_0 ) ( x_0 ) không phải điểm cực trị
3.3. Điều kiện đủ – Quy tắc 2 (Dựa vào đạo hàm cấp hai)
Giả sử ( f'(x_0) = 0 ) và ( f”(x_0) neq 0 ).
Điều kiện Kết luận ( f'(x_0) = 0 ) và ( f”(x_0) < 0 ) ( x_0 ) là điểm cực đại ( f'(x_0) = 0 ) và ( f”(x_0) > 0 ) ( x_0 ) là điểm cực tiểu
Mẹo nhớ:
- ( f”(x_0) < 0 ) → đồ thị “lõm xuống” → cực đại (đỉnh núi)
- ( f”(x_0) > 0 ) → đồ thị “lõm lên” → cực tiểu (đáy thung lũng)
4. Cách tìm điểm cực đại của hàm số
Dưới đây là các bước tìm điểm cực đại của hàm số:
4.1. Phương pháp 1: Sử dụng quy tắc 1 (bảng biến thiên)
- Bước 1: Tính đạo hàm ( f'(x) )
- Bước 2: Giải phương trình ( f'(x) = 0 ), tìm các nghiệm ( x_1, x_2, … )
- Bước 3: Lập bảng xét dấu ( f'(x) )
- Bước 4: Kết luận:
- Nếu ( f'(x) ) đổi dấu từ + sang – tại ( x_0 ) → ( x_0 ) là điểm cực đại
- Nếu ( f'(x) ) đổi dấu từ – sang + tại ( x_0 ) → ( x_0 ) là điểm cực tiểu
- Bước 5: Tính giá trị cực trị ( y_0 = f(x_0) ) (nếu cần)
4.2. Phương pháp 2: Sử dụng quy tắc 2 (đạo hàm cấp hai)
- Bước 1: Tính ( f'(x) ) và ( f”(x) )
- Bước 2: Giải phương trình ( f'(x) = 0 ), tìm các nghiệm ( x_1, x_2, … )
- Bước 3: Tính ( f”(x_i) ) tại mỗi nghiệm
- Bước 4: Kết luận:
- Nếu ( f”(x_i) < 0 ) → ( x_i ) là điểm cực đại
- Nếu ( f”(x_i) > 0 ) → ( x_i ) là điểm cực tiểu
4.3. Bảng so sánh hai phương pháp
Tiêu chí Quy tắc 1 (Bảng biến thiên) Quy tắc 2 (Đạo hàm cấp 2) Ưu điểm Trực quan, luôn áp dụng được Nhanh gọn khi tính ( f” ) dễ Nhược điểm Cần lập bảng xét dấu Không áp dụng khi ( f”(x_0) = 0 ) Nên dùng khi Hàm bậc 3, bậc 4 Hàm có ( f” ) đơn giản
5. Điểm cực đại, cực tiểu của các hàm số thường gặp
Dưới đây là tổng hợp điểm cực đại và điểm cực tiểu của các hàm số phổ biến:
5.1. Hàm số bậc ba ( y = ax^3 + bx^2 + cx + d )
Điều kiện có cực trị: ( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c = 0 ) có hai nghiệm phân biệt, tức ( b^2 – 3ac > 0 )
Hệ số a Điểm cực đại Điểm cực tiểu ( a > 0 ) Nghiệm nhỏ hơn của ( f'(x) = 0 ) Nghiệm lớn hơn của ( f'(x) = 0 ) ( a < 0 ) Nghiệm lớn hơn của ( f'(x) = 0 ) Nghiệm nhỏ hơn của ( f'(x) = 0 )
5.2. Hàm số bậc bốn trùng phương ( y = ax^4 + bx^2 + c )
Điều kiện có ba cực trị: ( ab < 0 )
Hệ số Điểm cực đại Điểm cực tiểu ( a > 0, b < 0 ) ( x = 0 ) ( x = pmsqrt{-frac{b}{2a}} ) ( a < 0, b > 0 ) ( x = pmsqrt{-frac{b}{2a}} ) ( x = 0 )
6. Nhận biết điểm cực đại, cực tiểu trên đồ thị
Cách nhận biết điểm cực đại và điểm cực tiểu trên đồ thị:
Loại điểm Hình dạng đồ thị Đặc điểm Điểm cực đại Đỉnh “núi” (⌒) Đồ thị đi lên rồi đi xuống Điểm cực tiểu Đáy “thung lũng” (⌣) Đồ thị đi xuống rồi đi lên
Mẹo nhớ:
- Cực ĐẠI = Đỉnh cao = “Đi lên ĐẠt đỉnh rồi đi xuống”
- Cực TIỂU = Điểm thấp = “Đi xuống TỚI đáy rồi đi lên”
7. Ví dụ và bài tập minh họa
Dưới đây là các bài tập tìm điểm cực đại của hàm số và điểm cực tiểu của hàm số:
Bài tập 1: Hàm bậc ba – Quy tắc 1
Đề bài: Tìm điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số ( y = x^3 – 3x^2 + 4 )
Lời giải:
Bước 1: Tính đạo hàm:
[ y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2) ]
Bước 2: Giải ( y’ = 0 ):
[ 3x(x – 2) = 0 Leftrightarrow x = 0 text{ hoặc } x = 2 ]
Bước 3: Lập bảng xét dấu:
( x ) ( -infty ) 0 2 ( +infty ) ( y’ ) + 0 − 0 + ( y ) ( -infty ) ↗ 4 ↘ 0 ↗ ( +infty )
Bước 4: Kết luận:
- Tại ( x = 0 ): ( y’ ) đổi dấu từ + sang − → điểm cực đại là ( x = 0 )
- Tại ( x = 2 ): ( y’ ) đổi dấu từ − sang + → điểm cực tiểu là ( x = 2 )
Bước 5: Tính giá trị cực trị:
- Giá trị cực đại: ( y_{CĐ} = f(0) = 4 )
- Giá trị cực tiểu: ( y_{CT} = f(2) = 8 – 12 + 4 = 0 )
Kết luận:
- Điểm cực đại: ( x = 0 ), giá trị cực đại: ( y = 4 )
- Điểm cực tiểu: ( x = 2 ), giá trị cực tiểu: ( y = 0 )
Bài tập 2: Hàm bậc ba – Quy tắc 2
Đề bài: Dùng đạo hàm cấp hai, tìm cực trị của hàm số ( y = x^3 – 6x^2 + 9x + 1 )
Lời giải:
Bước 1: Tính đạo hàm:
[ y’ = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x – 1)(x – 3) ] [ y” = 6x – 12 ]
Bước 2: Giải ( y’ = 0 ):
[ x = 1 text{ hoặc } x = 3 ]
Bước 3: Xét dấu ( y” ) tại các nghiệm:
- ( y”(1) = 6(1) – 12 = -6 < 0 ) → ( x = 1 ) là điểm cực đại
- ( y”(3) = 6(3) – 12 = 6 > 0 ) → ( x = 3 ) là điểm cực tiểu
Bước 4: Tính giá trị cực trị:
- ( y_{CĐ} = f(1) = 1 – 6 + 9 + 1 = 5 )
- ( y_{CT} = f(3) = 27 – 54 + 27 + 1 = 1 )
Kết luận: Hàm số đạt cực đại bằng 5 tại ( x = 1 ), đạt cực tiểu bằng 1 tại ( x = 3 ).
Bài tập 3: Hàm bậc bốn
Đề bài: Tìm điểm cực đại của hàm số ( y = x^4 – 2x^2 + 3 )
Lời giải:
Bước 1: Tính đạo hàm:
[ y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 4x(x – 1)(x + 1) ]
Bước 2: Giải ( y’ = 0 ):
[ x = -1, quad x = 0, quad x = 1 ]
Bước 3: Tính ( y” = 12x^2 – 4 ):
- ( y”(-1) = 12 – 4 = 8 > 0 ) → ( x = -1 ) là điểm cực tiểu
- ( y”(0) = -4 < 0 ) → ( x = 0 ) là điểm cực đại
- ( y”(1) = 12 – 4 = 8 > 0 ) → ( x = 1 ) là điểm cực tiểu
Bước 4: Tính giá trị:
- ( y_{CĐ} = f(0) = 3 )
- ( y_{CT} = f(pm 1) = 1 – 2 + 3 = 2 )
Kết luận:
- Điểm cực đại: ( x = 0 ), giá trị cực đại: ( y = 3 )
- Điểm cực tiểu: ( x = pm 1 ), giá trị cực tiểu: ( y = 2 )
Bài tập 4: Trắc nghiệm – Điểm cực đại là x hay y?
Đề bài: Hàm số ( y = -x^3 + 3x + 2 ) đạt cực đại tại điểm nào?
- ( x = -1 )
- ( x = 1 )
- ( y = 0 )
- ( y = 4 )
Lời giải:
( y’ = -3x^2 + 3 = -3(x^2 – 1) = -3(x – 1)(x + 1) )
Giải ( y’ = 0 ): ( x = pm 1 )
Vì ( a = -1 < 0 ), hàm bậc 3 có:
- Điểm cực tiểu ở nghiệm nhỏ: ( x = -1 )
- Điểm cực đại ở nghiệm lớn: ( x = 1 )
Đáp án: B. ( x = 1 )
(Lưu ý: Đề hỏi “điểm cực đại” nên đáp án là x, không phải y)
Bài tập 5: Tìm giá trị cực đại
Đề bài: Tìm giá trị cực đại của hàm số ( y = x^3 – 3x^2 – 9x + 5 )
Lời giải:
( y’ = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x^2 – 2x – 3) = 3(x – 3)(x + 1) )
Giải ( y’ = 0 ): ( x = -1 ) hoặc ( x = 3 )
Vì ( a = 1 > 0 ):
- Điểm cực đại: ( x = -1 ) (nghiệm nhỏ)
- Điểm cực tiểu: ( x = 3 ) (nghiệm lớn)
Giá trị cực đại:
[ y_{CĐ} = f(-1) = (-1)^3 – 3(-1)^2 – 9(-1) + 5 = -1 – 3 + 9 + 5 = 10 ]
Kết luận: Giá trị cực đại là ( y = 10 )
8. Một số lưu ý quan trọng
Khi tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu, cần lưu ý:
Lưu ý Giải thích Đọc kỹ đề Phân biệt “điểm cực trị” (x) và “giá trị cực trị” (y) Kiểm tra điều kiện ( f'(x) = 0 ) là điều kiện cần, chưa đủ Xét dấu đạo hàm Cần kiểm tra sự đổi dấu của ( f'(x) ) Cực trị địa phương Cực đại/cực tiểu chỉ so sánh với giá trị lân cận, không phải toàn cục
9. Kết luận
Điểm cực đại và điểm cực tiểu là kiến thức quan trọng trong khảo sát hàm số. Để nắm vững chủ đề này, học sinh cần:
- Hiểu rõ định nghĩa cực đại là gì, cực tiểu là gì
- Phân biệt điểm cực đại là x hay y: điểm cực trị là x, giá trị cực trị là y
- Nắm vững hai quy tắc tìm cực trị: dựa vào bảng xét dấu hoặc đạo hàm cấp hai
- Luyện tập tìm điểm cực đại của hàm số và điểm cực tiểu của hàm số với nhiều dạng bài
Hy vọng bài viết này giúp bạn hiểu rõ điểm cực đại, điểm cực tiểu và tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan!
