Bài viết hướng dẫn nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 cùng các bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 1.
I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM 1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng $left{ begin{array}{l} fleft( {x;y} right) = a gleft( {x;y} right) = b end{array} right.$ $left( I right)$ trong đó $fleft( {x;y} right)$, $gleft( {x;y} right)$ là các biểu thức đối xứng, tức là $fleft( {x;y} right) = fleft( {y;x} right)$, $gleft( {x;y} right) = gleft( {y;x} right).$ 2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1: + Đặt $S=x+y$, $P=xy.$ + Biểu diễn $f(x;y)$, $g(x;y)$ qua $S$ và $P$, ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l} Fleft( {S;P} right) = 0 Gleft( {S;P} right) = 0 end{array} right.$, giải hệ phương trình này ta tìm được $S$, $P.$ + Khi đó $x$, $y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} – SX + P = 0$ $(1).$ 3. Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua $S$ và $P$: ${x^2} + {y^2}$ $ = {left( {x + y} right)^2} – 2xy$ $ = {S^2} – 2P.$ ${x^3} + {y^3}$ $ = left( {x + y} right)left( {{x^2} + {y^2} – xy} right)$ $ = {S^3} – 3SP.$ ${x^2}y + {y^2}x$ $ = xyleft( {x + y} right) = SP.$ ${x^4} + {y^4}$ $ = {left( {{x^2} + {y^2}} right)^2} – 2{x^2}{y^2}$ $ = {left( {{S^2} – 2P} right)^2} – 2{P^2}.$ 4. Chú ý: + Nếu $(x;y)$ là nghiệm của hệ $(I)$ thì $(y;x)$ cũng là nghiệm của hệ $(I).$ + Hệ $(I)$ có nghiệm khi $(1)$ có nghiệm hay ${S^2} – 4P ge 0.$
II. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau: 1. $left{ begin{array}{l} x + y + 2xy = 2 {x^3} + {y^3} = 8 end{array} right.$ 2. $left{ begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 19 left( {x + y} right)left( {8 + xy} right) = 2 end{array} right.$
1. Đặt $S = x + y$, $P = xy$. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: $left{ begin{array}{l} S + 2P = 2 Sleft( {{S^2} – 3P} right) = 8 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} P = frac{{2 – S}}{2} Sleft( {{S^2} – frac{{6 – 3S}}{2}} right) = 8 end{array} right.$ $ Rightarrow 2{S^3} + 3{S^2} – 6S – 16 = 0$ $ Leftrightarrow left( {S – 2} right)left( {2{S^2} + 7S + 8} right) = 0$ $ Leftrightarrow S = 2 Rightarrow P = 0.$ Suy ra $x$, $y$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} – 2X = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} X = 0 X = 2 end{array} right.$ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $left{ begin{array}{l} x = 0 y = 2 end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l} x = 2 y = 0 end{array} right.$ 2. Đặt $S=x+y$, $P=xy$. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: $left{ begin{array}{l} Sleft( {{S^2} – 3P} right) = 19 Sleft( {8 + P} right) = 2 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} SP = – 8S {S^3} – 3left( {2 – 8S} right) = 19 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} SP = 2 – 8S {S^3} + 24S – 25 = 0 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S = 1 P = – 6 end{array} right.$ Suy ra $x$, $y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} – X – 6 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} X = 3 X = – 2 end{array} right.$ Vậy hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm: $(x;y)=(-2;3),(3;-2).$
Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau: 1. $left{ begin{array}{l} 2left( {x + y} right) = 3left( {sqrt[3]{{{x^2}y}} + sqrt[3]{{x{y^2}}}} right) sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y} = 6 end{array} right.$ 2. $left{ begin{array}{l} x + y + frac{1}{x} + frac{1}{y} = 4 {x^2} + {y^2} + frac{1}{{{x^2}}} + frac{1}{{{y^2}}} = 4 end{array} right.$
1. Đặt $a = sqrt[3]{x}$, $b = sqrt[3]{y}$. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: $left{ begin{array}{l} 2left( {{a^3} + {b^3}} right) = 3left( {{a^2}b + {b^2}a} right) a + b = 6 end{array} right.$ Đặt $S=a+b$, $P=ab$, ta được: $left{ begin{array}{l} 2left( {{S^3} – 3SP} right) = 3SP S = 6 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 2left( {36 – 3P} right) = 3P S = 6 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S = 6 P = 8 end{array} right.$ Suy ra $a$, $b$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} – 6X + 8 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} X = 2 X = 4 end{array} right.$ Suy ra: $left{ begin{array}{l} a = 2 Rightarrow x = 8 b = 4 Rightarrow y = 64 end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l} a = 4 Rightarrow x = 64 b = 2 Rightarrow y = 8 end{array} right.$ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $left( {x;y} right) = left( {8;64} right),left( {64;8} right).$ 2. Đặt $a = x + frac{1}{x}$ $b = y + frac{1}{y}$, ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l} a + b = 4 {a^2} + {b^2} – 4 = 4 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a + b = 4 {left( {a + b} right)^2} – 2ab = 8 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a + b = 4 ab = 4 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = 2 b = 2 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x + frac{1}{x} = 2 y + frac{1}{y} = 2 end{array} right.$ $ Leftrightarrow x = y = 1.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x=y=1.$
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau: 1. $left{ begin{array}{l} sqrt {{x^2} + {y^2}} + sqrt {2xy} = 8sqrt 2 sqrt x + sqrt y = 4 end{array} right.$ 2. $left{ begin{array}{l} x + y – sqrt {xy} = 3 sqrt {x + 1} + sqrt {y + 1} = 4 end{array} right.$
1. Điều kiện: $x,y ge 0.$ Đặt $t = sqrt {xy} ge 0$, ta có: $xy = {t^2}$ và từ $sqrt x + sqrt y = 4$ $ Rightarrow x + y = 16 – 2t.$ Thế vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình, ta được: $sqrt {{t^2} – 32t + 128} = 8 – t$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} t le 8 {t^2} – 32t + 128 = {left( {t – 8} right)^2} end{array} right.$ $ Leftrightarrow t = 4.$ Suy ra: $left{ begin{array}{l} xy = 16 x + y = 8 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = 4 y = 4 end{array} right.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $x=y=4.$ 2. Điều kiện: $left{ begin{array}{l} xy ge 0 x,y ge – 1 end{array} right.$ Đặt $S=x+y$, $P=xy$ ta có: $left{ begin{array}{l} S – sqrt P = 3 S + 2 + 2sqrt {S + P + 1} = 16 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S ge 3;P = {left( {S – 3} right)^2} 2sqrt {S + {{left( {S – 3} right)}^2} + 1} = 14 – S end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 3 le S le 14;P = {left( {S – 3} right)^2} 4left( {{S^2} + 8S + 10} right) = 196 – 28S + {S^2} end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 3 le S le 14;P = {left( {S – 3} right)^2} {S^2} + 30S – 52 = 0 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S = 6 P = 9 end{array} right.$ $ Rightarrow x = y = 3.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $(x;y)=(3;3).$
Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau: 1. $left{ begin{array}{l} sqrt[4]{{{y^3} – 1}} + sqrt x = 3 {x^2} + {y^3} = 82 end{array} right.$ 2. $left{ begin{array}{l} sqrt {frac{x}{y}} + sqrt {frac{y}{x}} = frac{7}{{sqrt {xy} }} + 1 sqrt {{x^3}y} + sqrt {{y^3}x} = 78 end{array} right.$
1. Đặt $u = sqrt x $ và $v = sqrt[4]{{{y^3} – 1}}$. Khi đó, hệ phương trình đã cho trở thành: $left{ begin{array}{l} u + v = 3 {u^4} + left( {{v^4} + 1} right) = 82 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} u + v = 3 {u^4} + {v^4} = 81 end{array} right.$ $left( * right)$ Đặt $S=u+v$, $P=uv$. Với điều kiện ${S^2} – 4P ge 0$ thì hệ $(*)$ được viết lại: $left{ begin{array}{l} S = 3 {S^4} – 4{S^2}P + 2{S^2} = 81 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S = 3 {P^2} – 18P = 0 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} P = 0 S = 3 end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l} P = 18 S = 3 end{array} right.$ + Trường hợp 1: Với $S=3$, $P=0$, suy ra $u$, $v$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} – 3X = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} X = 0 X = 3 end{array} right.$ Khi đó: $left{ begin{array}{l} u = 0 v = 3 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} x = 0 y = sqrt[3]{{82}} end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l} u = 3 v = 0 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} x = 9 y = 1 end{array} right.$ + Trường hợp 2: $P=18$, $S=3$ không thỏa mãn điều kiện vì ${S^2} – 4P < 0.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $left( {x;y} right) = left( {0;sqrt[3]{{82}}} right)$, $left( {9;1} right).$ 2. Điều kiện: $xy>0.$ + Trường hợp 1: $x>0$, $y>0$, ta đặt: $u = sqrt x ,v = sqrt y .$ + Trường hợp 2: $x<0$, $y<0$, ta đặt: $u = sqrt { – x} ,v = sqrt { – y} .$ Cả 2 trường hợp đều đưa về hệ phương trình: $left{ begin{array}{l} frac{u}{v} + frac{v}{u} = frac{7}{{uv}} + 1 {u^3}v + {v^3}u = 78 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {u^2} + {v^2} = uv + 7 uvleft( {{u^2} + {v^2}} right) = 78 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {S^2} – 3P = 7 Pleft( {{S^2} – 2P} right) = 78 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {S^2} = 3P + 7 Pleft( {P + 7} right) = 78 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {S^2} = 3P + 7 {P^2} + 7P – 78 = 0 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} P = 6 S = pm 5 end{array} right.$ Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $(x;y)=(-9;-4),(-4;-9),(4;9)(9;4).$ [ads] Ví dụ 5. Tìm $m$ để các hệ phương trình sau đây có nghiệm: 1. $left{ begin{array}{l} x + y = m {x^2} + {y^2} = 2m + 1 end{array} right.$ 2. $left{ begin{array}{l} x + frac{1}{x} + y + frac{1}{y} = 5 {x^3} + frac{1}{{{x^3}}} + {y^3} + frac{1}{{{y^3}}} = 15m – 10 end{array} right.$
1. Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có: $left{ begin{array}{l} S = m {S^2} – 2P = 2m + 1 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S = m P = frac{1}{2}left( {{m^2} – 2m – 1} right) end{array} right.$ Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: ${S^2} – 4P ge 0$ $ Leftrightarrow {m^2} – 2left( {{m^2} – 2m – 1} right)$ $ = – {m^2} + 4m + 2 ge 0$ $ Leftrightarrow 2 – sqrt 6 le m le 2 + sqrt 6 .$ 2. Đặt $a = x + frac{1}{x}$, $b = y + frac{1}{y}$ $ Rightarrow left| a right| ge 2;left| b right| ge 2.$ Hệ phương trình đã cho trở thành: $left{ begin{array}{l} a + b = 5 {a^3} + {b^3} – 3left( {a + b} right) = 15m – 10 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a + b = 5 ab = 8 – m end{array} right.$ Suy ra $a$, $b$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} – 5X + 8 – m = 0$ $ Leftrightarrow {X^2} – 5X + 8 = m$ $(1).$ Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $(1)$ có hai nghiệm phân biệt thỏa: $left| X right| ge 2.$ Xét tam thức $fleft( X right) = {X^2} – 5X + 8$ với $left| X right| ge 2$, ta có bảng biến thiên sau:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $(1)$ có hai nghiệm thỏa $left| X right| ge 2$ khi và chỉ khi $left[ begin{array}{l} m ge 22 frac{7}{4} le m le 2 end{array} right.$
Ví dụ 6. Tìm $m$ để hệ phương trình $left{ begin{array}{l} x + y + xy = m {x^2} + {y^2} = m end{array} right.$ $(*)$ có nghiệm.
Ta có: $left( * right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x + y + xy = m {left( {x + y} right)^2} – 2xy = m end{array} right.$ Đặt $left{ begin{array}{l} S = x + y P = xy end{array} right.$, điều kiện ${S^2} ge 4P$, ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l} S + P = m {S^2} – 2P = m end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S + P = m {S^2} + 2S – 3m = 0 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} S = – 1 + sqrt {1 + 3m} P = m + 1 – sqrt {1 + 3m} end{array} right. left{ begin{array}{l} S = – 1 – sqrt {1 + 3m} P = m + 1 + sqrt {1 + 3m} end{array} right. end{array} right.$ Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: ${S^2} ge 4P.$ + Trường hợp 1. Với $left{ begin{array}{l} S = – 1 + sqrt {1 + 3m} P = m + 1 – sqrt {1 + 3m} end{array} right.$, ta có: ${left( { – 1 + sqrt {1 + 3m} } right)^2}$ $ ge 4left( {m + 1 – sqrt {1 + 3m} } right)$ $ Leftrightarrow 2sqrt {1 + 3m} ge m + 2$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} m + 2 le 0 1 + 3m ge 0 end{array} right. left{ begin{array}{l} m + 2 ge 0 4left( {1 + 3m} right) ge {left( {m + 2} right)^2} end{array} right. end{array} right.$ $ Leftrightarrow 0 le m le 8.$ + Trường hợp 2. Với $left{ begin{array}{l} S = – 1 – sqrt {1 + 3m} P = m + 1 + sqrt {1 + 3m} end{array} right.$, ta có: ${left( { – 1 – sqrt {1 + 3m} } right)^2}$ $ ge 4left( {m + 1 + sqrt {1 + 3m} } right)$ $ Leftrightarrow 3sqrt {1 + 3m} le – m – 2$, dễ thấy bất phương trình này vô nghiệm vì $-m-2<0.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $0 le m le 8.$
Ví dụ 7. Cho $x$, $y$, $z$ là nghiệm của hệ phương trình $left{ begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} = 8 xy + yz + zx = 4 end{array} right.$. Chứng minh: $ – frac{8}{3} le x,y,z le frac{8}{3}.$
Ta có: $left{ begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} = 8 xy + yz + zx = 4 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 8 – {z^2} xy + zleft( {x + y} right) = 4 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {left( {x + y} right)^2} – 2xy = 8 – {z^2} xy + zleft( {x + y} right) = 4 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {left( {x + y} right)^2} – 2left[ {4 – zleft( {x + y} right)} right] = 8 – {z^2} xy + zleft( {x + y} right) = 4 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {left( {x + y} right)^2} + 2zleft( {x + y} right) + left( {{z^2} – 16} right) = 0 xy + zleft( {x + y} right) = 4 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x + y = 4 – z xy = {left( {z – 2} right)^2} end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l} x + y = – 4 – z xy = {left( {z + 2} right)^2} end{array} right.$ Do $x$, $y$, $z$ là nghiệm của hệ phương trình $left{ begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} = 8 xy + yz + zx = 4 end{array} right.$ nên: ${left( {x + y} right)^2} ge 4xy$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} {left( {4 – z} right)^2} ge 4{left( {z – 2} right)^2} {left( { – 4 – z} right)^2} ge 4{left( {z + 2} right)^2} end{array} right.$ $ Leftrightarrow – frac{8}{3} le z le frac{8}{3}.$ Đổi vai trò $x$, $y$, $z$ ta được: $ – frac{8}{3} le x,y,z le frac{8}{3}.$
Ví dụ 8. Cho hai số thực $x$, $y$ thỏa $x + y = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = {x^3} + {y^3}.$
Xét hệ phương trình: $left{ begin{array}{l} x + y = 1 {x^3} + {y^3} = A end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S = 1 Sleft( {{S^2} – 3P} right) = A end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S = 1 P = frac{{1 – A}}{3} end{array} right.$ Ta có: $x$, $y$ tồn tại $ Leftrightarrow $ hệ có nghiệm $ Leftrightarrow {S^2} – 4P ge 0$ $ Leftrightarrow 1 – 4frac{{1 – A}}{3} ge 0$ $ Leftrightarrow A ge frac{1}{4}.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $min A = frac{1}{4}$ $ Leftrightarrow x = y = frac{1}{2}.$
Ví dụ 9. Cho các số thực $x ne 0,y ne 0$ thỏa mãn: $left( {x + y} right)xy = {x^2} + {y^2} – xy.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A = frac{1}{{{x^3}}} + frac{1}{{{y^3}}}.$
Xét hệ phương trình: $left{ begin{array}{l} left( {x + y} right)xy = {x^2} + {y^2} – xy frac{1}{{{x^3}}} + frac{1}{{{y^3}}} = A end{array} right.$ Đặt $a = frac{1}{x}$, $b = frac{1}{y}$ $left( {a,b ne 0} right)$, hệ phương trình trên trở thành: $left{ begin{array}{l} a + b = {a^2} + {b^2} – ab {a^3} + {b^3} = A end{array} right.$ Đặt $S=a+b$, $P=ab$, ta có: $left{ begin{array}{l} S = {S^2} – 3P Sleft( {{S^2} – 3P} right) = A end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {S^2} = A 3P = {S^2} – S end{array} right.$ Từ $a + b = {a^2} + {b^2} – ab > 0$, suy ra $S > 0.$ Hệ phương trình này có nghiệm $ Leftrightarrow {S^2} ge 4P$ $ Leftrightarrow 3{S^2} ge 4left( {{S^2} – S} right)$ $ Leftrightarrow S le 4$ $ Leftrightarrow A = {S^2} le 16.$ Đẳng thức xảy ra $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S = 4 P = frac{{{S^2} – S}}{3} = 4 end{array} right.$ $ Leftrightarrow a = b = 2$ $ Leftrightarrow x = y = frac{1}{2}.$ Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $max A = 16$ $ Leftrightarrow x = y = frac{1}{2}.$
Ví dụ 10. Cho $x$, $y$ thỏa mãn $x – 3sqrt {y + 2} = 3sqrt {x + 1} – y.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $A=x+y.$
Xét hệ phương trình: $left{ begin{array}{l} x – 3sqrt {y + 2} = 3sqrt {x + 1} – y x + y = A end{array} right.$ Đặt $a = sqrt {x + 1} $, $b = sqrt {y + 2} $ $ Rightarrow a,b ge 0.$ Hệ phương trình trên trở thành: $left{ begin{array}{l} {a^2} + {b^2} – 3left( {a + b} right) – 3 = 0 {a^2} + {b^2} = A + 3 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a + b = frac{A}{3} = S ab = frac{{{A^2} – 9A – 27}}{{18}} = P end{array} right.$ Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S ge 0 P ge 0 {S^2} ge 4P end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} A ge 0 {A^2} – 9A – 27 ge 0 {A^2} – 18A – 54 le 0 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} A ge 0 A le frac{{9 – 3sqrt {21} }}{2} : hoặc : A ge frac{{9 + 3sqrt {21} }}{2} 9 – 3sqrt {15} le A le 9 + 3sqrt {15} end{array} right.$ Vậy $min A = frac{{9 + 3sqrt {21} }}{2}$ và $max A = 9 + 3sqrt {15} .$
