LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP
CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP
A. Tóm tắt kiến thức
1. Phương pháp:
Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B ≠0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:
A = B . Q + R, với R = 0 hoặc bậc bé hơn bậc của 1
Nếu R = 0, ta được phép chia hết.
Nếu R ≠0, ta được phép chia có dư.
B. Bài tập:
Bài 1
Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:
a) (x3 – 7x + 3 – x2) : (x – 3);
b) (2×4 – 3×2 – 3×2 – 2 + 6x) : (x2 – 2).
Đáp án và hướng dẫn giải bài:
a) (x3 – 7x + 3 – x2) : (x – 3)
Sắp xếp lại: (x3 – x2 – 7x + 3 ) : (x – 3)
b) (2×4 – 3×2 – 3×2 – 2 + 6x) : (x2 – 2)
Sắp xếp lại: (2×4 – 3×2 – 3×2 + 6x – 2) : (x2 – 2)
Bài 2
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:
a) (x2 + 2xy + y2) : (x + y);
b) (125×3 + 1) : (5x + 1);
c) (x2 – 2xy + y2) : (y – x).
Đáp án và hướng dẫn giải bài:
a) (x2 + 2xy + y2) : (x + y) = (x + y)2 : (x + y) = x + y.
b) (125×3 + 1) : (5x + 1) = [(5x)3 + 1] : (5x + 1)
= (5x)2 – 5x + 1 = 25×2 – 5x + 1.
c) (x2 – 2xy + y2) : (y – x) = (x – y)2 : [-(x – y)] = – (x – y) = y – x
Hoặc (x2 – 2xy + y2) : (y – x) = (y2 – 2xy + x2) : (y – x)
= (y – x)2 : (y – x) = y – x.
Bài 3
Cho hai đa thức A = 3×4 + x3 + 6x – 5 và B = x2+ 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = B.Q + R.
Đáp án và hướng dẫn giải bài:
Vậy 3×4 + x3 + 6x – 5 = (x2+ 1)(3×2 + x – 3) + 5x – 2
Bài 4
Làm tính chia:
a) (25×5 – 5×4 + 10×2) : 5×2;
b) (15x3y2 – 6x2y – 3x2y2) : 6x2y.
Đáp án và hướng dẫn giải bài:
a) (25×5 – 5×4 + 10×2) : 5×2 = (25×5 : 5×2 ) – (5×4 : 5×2 ) + (10×2 : 5×2) = 5×3 – x2 + 2
b) (15x3y2 – 6x2y – 3x2y2) : 6x2y
= (15x3y2 : 6x2y) + (- 6x2y : 6x2y) + (- 3x2y2 : 6x2y)
= 15/6xy – 1 – 3/6y = 5/2xy – 1/2y – 1.
Bài 5
Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không.
a) A = 15×4 – 8×3 + x2
B = 1/2×2
b) A = x2 – 2x + 1
B = 1 – x
Đáp án và hướng dẫn giải bài:
a) Ta có 15×4 ; 8×3 ; x2 chia hết cho 1/2×2 nên đa thức A chia hết cho B.
b) A chia hết cho B, vì x2 – 2x + 1 = (1 – x)2, chia hết cho 1 – x
Bài 6
Làm tính chia:
(2×4 + x3 – 3×2 + 5x – 2) : (x2 – x + 1).
Đáp án và hướng dẫn giải bài
Khi đó :(2×4 + x3 – 3×2 + 5x – 2) = (x2 – x + 1)(2×3 + 3x – 2).
Bài 7
Tính nhanh:
a) (4×2 – 9y2) : (2x – 3y); b) (27×3 – 1) : (3x – 1);
c) (8×3 + 1) : (4×2 – 2x + 1); d) (x2 – 3x + xy -3y) : (x + y)
Đáp án và hướng dẫn giải bài:
a) (4×2 – 9y2) : (2x – 3y) = [(2x)2 – (3y)2] : (2x – 3y) = (2x -3y)(2x +3y) : (2x -3y) = 2x + 3y;
b) (27×3 – 1) : (3x – 1) = [(3x)3 – 1] : (3x – 1) = (3x – 1) [(3x)2 + 3x + 1] : (3x – 1) = 9×2+ 3x + 1
c) (8×3 + 1) : (4×2 – 2x + 1) = [(2x)3 + 1] : (4×2 – 2x + 1)
= (2x + 1)[(2x)2 – 2x + 1] : (4×2 – 2x + 1)
= (2x + 1)(4×2 – 2x + 1) : (4×2 – 2x + 1) = 2x + 1
d) (x2 – 3x + xy -3y) : (x + y)
= [(x2 + xy) – (3x + 3y)] : (x + y)
= [x(x + y) – 3(x + y)] : (x + y)
= (x + y)(x – 3) : (x + y)
= x – 3.
Bài 8
Tìm số a để đa thức 2×3 – 3×2 + x + a chia hết cho đa thức x + 2
Đáp án và hướng dẫn giải bài:
Khi đó 2×3 – 3×2 + x + a = (x + 2) (2×2 – 7x + 15) + a – 30 để đa thức 2×3 – 3×2 + x + a chia hết cho đa thức (x + 2) thì phần dư a – 30 = 0 hay a = 30.
