Hàm đặc trưng (lý thuyết xác suất)

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, hàm đặc trưng (CF) của một biến ngẫu nhiên giá trị thực là một mô tả tổng thể phân phối xác suất của nó. Nếu một biến ngẫu nhiên tồn tại hàm mật độ xác suất, thì hàm đặc trưng là biến đổi Fourier của hàm mật độ xác suất. Do đó cung cấp một cách tiếp cận khác tới kết quả phân tích dữ liệu so với làm việc trực tiếp với hàm mật độ xác suất hay hàm phân phối tích lũy. Một số kết quả đơn giản đặc biệt tồn tại cho các hàm đặc trưng của các phân phối được định nghĩa bởi tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên.

Ngoài các phân phối một biến, hàm đặc trưng cũng có thể được định nghĩa cho các biến ngẫu nhiên giá trị vectơ hoặc ma trận, và còn có thể được mở rộng với các trường hợp tổng quát hơn.

Hàm đặc trưng luôn tồn tại khi áp dụng với một hàm số với đối số thực, không giống như hàm sinh mô men. Có một số quan hệ giữa hành vi của hàm đặc trưng của một phân phối và các tính chất của phân phối, chẳng hạn sự tồn tại của các mô men và sự tồn tại của một hàm mật độ.

Hàm đặc trưng cung cấp một tiếp cận khác để mô tả một biến ngẫu nhiên. Tương tự hàm phân phối tích lũy:

F X ( x ) = E ⁡ [ 1 { X ≤ x } ] {displaystyle F_{X}(x)=operatorname {E} left[mathbf {1} _{{Xleq x}}right]}

(trong đó 1{X ≤ x} là hàm chỉ thị — nó bằng 1 khi X ≤ x, và bằng 0 nếu trái lại), hàm đặc trưng,

φ X ( t ) = E ⁡ [ e i t X ] , {displaystyle varphi _{X}(t)=operatorname {E} left[e^{itX}right],}

cũng xác định hoàn toàn hành vi và tính chất của phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên X. Hai cách tiếp cận này là tương đưong theo cách hiểu là nếu biết một trong hai hàm thì luôn có thể tìm được hàm còn lại, nhưng chúng đưa ra những góc nhìn khác nhau để hiểu các đặc tính của biến ngẫu nhiên. Hơn nữa, trong một số trường hợp nhất định, có thể có sự khác biệt về việc liệu mỗi hàm này có thể được biểu diễn dưới dạng biểu thức với những hàm tiêu chuẩn đơn giản hay không.

Nếu hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên được cung cấp, thì hàm đặc trưng chính là đối ngẫu Fourier của nó, nghĩa là mỗi hàm này là một biến đổi Fourier của hàm kia. Nếu một biến ngẫu nhiên có hàm sinh mô men M X ( t ) {displaystyle M_{X}(t)} , thì miền xác định của hàm đặc trưng có thể được mở rộng ra mặt phẳng phức, và ta có

φ X ( − i t ) = M X ( t ) . {displaystyle varphi _{X}(-it)=M_{X}(t).} [1]

Chú ý rằng hàm đặc trưng của một phân phối xác suất luôn tồn tại, ngay cả khi hàm mật độ xác suất và hàm sinh mô men không tồn tại.

Cách tiếp cận với hàm đặc trưng đặc biệt hữu ích trong phân tích các tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên độc lập: một chứng minh cổ điển của Định lý giới hạn trung tâm (CLT) sử dụng hàm đặc trưng và định lý liên tục Lévy. Một ứng dụng quan trong khác là trong lý thuyết về tính khai triển được của các biến ngẫu nhiên.

Đối với một biến ngẫu nhiên vô hướng X hàm đặc trưng được định nghĩa là giá trị kỳ vọng của eitX, trong đó i là đơn vị ảo, và t ∈ R là đối số của hàm đặc trưng:

{ φ X : R → C φ X ( t ) = E ⁡ [ e i t X ] = ∫ R e i t x d F X ( x ) = ∫ R e i t x f X ( x ) d x = ∫ 0 1 e i t Q X ( p ) d p {displaystyle {begin{cases}displaystyle varphi _{X}!:mathbb {R} to mathbb {C} displaystyle varphi _{X}(t)=operatorname {E} left[e^{itX}right]=int _{mathbb {R} }e^{itx},dF_{X}(x)=int _{mathbb {R} }e^{itx}f_{X}(x),dx=int _{0}^{1}e^{itQ_{X}(p)},dpend{cases}}}

Ở đây FX là hàm phân phối tích lũy của X, và tích phân là loại Riemann-Stieltjes. Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất fX, thì hàm đặc trưng là biến đổi Fourier của nó với đổi dấu ở số mũ phức,[2][3]. QX(p) là hàm ngược của hàm phân phối tích lũy của X hay được gọi là hàm phân vị (quantile function) của X.[4] Quy ước cho các hằng số xuất hiện trong định nghĩa này của hàm đặc trưng khác với quy ước thông thường cho biến đổi Fourier.[5] Ví dụ, một số tác giả[6] định nghĩa φX(t) = E[e−2πitX], về bản chất tức là đổi tham số. Một ký hiệu khác có thể gặp trong các tài liệu: p ^ {displaystyle scriptstyle {hat {p}}} là hàm đặc trưng đối với một độ đo xác suất p, hay f ^ {displaystyle scriptstyle {hat {f}}} là hàm đặc trưng đối với một mật độ f.

• Nếu X là một vectơ ngẫu nhiên k-chiều, thì đối với t ∈ Rk

φ X ( t ) = E ⁡ [ exp ⁡ ( i t T X ) ] , {displaystyle varphi _{X}(t)=operatorname {E} left[exp(it^{T}!X)right],} trong đó t T {textstyle t^{T}} là chuyển vị của vectơ t {textstyle t} ,

• Nếu X là một ma trận ngẫu nhiên k × p, thì đối với t ∈ Rk×p

φ X ( t ) = E ⁡ [ exp ⁡ ( i tr ⁡ ( t T X ) ) ] , {displaystyle varphi _{X}(t)=operatorname {E} left[exp left(ioperatorname {tr} (t^{T}!X)right)right],} trong đó tr ⁡ ( ⋅ ) {textstyle operatorname {tr} (cdot )} là toán tử vết,

• Nếu X là một biến ngẫu nhiên phức, thì đối với t ∈ C [7]

φ X ( t ) = E ⁡ [ exp ⁡ ( i Re ⁡ ( t ¯ X ) ) ] , {displaystyle varphi _{X}(t)=operatorname {E} left[exp left(ioperatorname {Re} left({overline {t}}Xright)right)right],} trong đó t ¯ {textstyle {overline {t}}} là liên hợp phức của t {textstyle t} và Re ⁡ ( z ) {textstyle operatorname {Re} (z)} là phần thực của số phức z {textstyle z} . Phân phối Hàm đặc trưng φ(t) suy biến δa e i t a {displaystyle e^{ita}} Bernoulli Bern(p) 1 − p + p e i t {displaystyle 1-p+pe^{it}} nhị thức B(n, p) ( 1 − p + p e i t ) n {displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}} nhị thức âm NB(r, p) ( p 1 − e i t + p e i t ) r {displaystyle left({frac {p}{1-e^{it}+pe^{it}}}right)^{r}} Poisson Pois(λ) e λ ( e i t − 1 ) {displaystyle e^{lambda (e^{it}-1)}} đều liên tục U(a, b) e i t b − e i t a i t ( b − a ) {displaystyle {frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}} đều rời rạc DU(a, b) e i t a − e i t ( b + 1 ) ( 1 − e i t ) ( b − a + 1 ) {displaystyle {frac {e^{ita}-e^{it(b+1)}}{(1-e^{it})(b-a+1)}}} Laplace L(μ, b) e i t μ 1 + b 2 t 2 {displaystyle {frac {e^{itmu }}{1+b^{2}t^{2}}}} Logistic Logistic(μ,s) e i μ t π s t sinh ⁡ ( π s t ) {displaystyle e^{imu t}{frac {pi st}{sinh(pi st)}}} chuẩn N(μ, σ2) e i t μ − 1 2 σ 2 t 2 {displaystyle e^{itmu -{frac {1}{2}}sigma ^{2}t^{2}}} chi-bình phương χ2k ( 1 − 2 i t ) − k / 2 {displaystyle (1-2it)^{-k/2}} chi-bình phương phi trung tâm χ’2k e i λ t 1 − 2 i t ( 1 − 2 i t ) − k / 2 {displaystyle e^{frac {ilambda t}{1-2it}}(1-2it)^{-k/2}} Cauchy C(μ, θ) e i t μ − θ | t | {displaystyle e^{itmu -theta |t|}} Gamma Γ(k, θ) ( 1 − i t θ ) − k {displaystyle (1-ittheta )^{-k}} mũ Exp(λ) ( 1 − i t λ − 1 ) − 1 {displaystyle (1-itlambda ^{-1})^{-1}} hình học Gf(p)

(số phép thử thành công)

p 1 − e i t ( 1 − p ) {displaystyle {frac {p}{1-e^{it}(1-p)}}} hình học Gt(p)

(số phép thử)

p e − i t − ( 1 − p ) {displaystyle {frac {p}{e^{-it}-(1-p)}}} chuẩn nhiều chiều N(μ, Σ) e i t T μ − 1 2 t T Σ t {displaystyle e^{i{mathbf {t} ^{mathrm {T} }{boldsymbol {mu }}}-{frac {1}{2}}mathbf {t} ^{mathrm {T} }{boldsymbol {Sigma }}mathbf {t} }} Cauchy nhiều chiều MultiCauchy(μ, Σ)[8] e i t T μ − t T Σ t {displaystyle e^{imathbf {t} ^{mathrm {T} }{boldsymbol {mu }}-{sqrt {mathbf {t} ^{mathrm {T} }{boldsymbol {Sigma }}mathbf {t} }}}}

• Hazewinkel, Michiel, biên tập (2001), “Characteristic function”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4