Giải tam giác (tiếng Latinh: solutio triangulorum) là bài toán lượng giác tập trung vào việc tìm ra các yếu tố (nghiệm) của một tam giác (góc và độ dài cạnh), khi chưa biết một số yếu tố của tam giác đó. Tam giác có thể nằm trên một mặt phẳng hoặc một mặt cầu. Giải tam giác được ứng dụng trong trắc địa, thiên văn học, xây dựng và điều hướng.
Một tam giác ở dạng thông thường có sáu đặc tính (xem hình bên): ba cạnh (độ dài a, b, c) và ba góc (α, β, γ). Bài toán lượng giác mặt phẳng cổ điển yêu cầu từ ba đặc tính cho trước, hãy tìm ra ba đặc tính còn lại. Một tam giác có thể được xác định một cách duy nhất theo định nghĩa này khi rơi vào một trong các trường hợp sau:[1][2]
- Ba cạnh (CCC)
- Hai cạnh và một góc xen giữa (CGC, cạnh-góc-cạnh)
- Hai cạnh và một góc không xen giữa (CCG), nếu cạnh kề với góc đó ngắn hơn cạnh kia.
- Một cạnh và hai góc kề cạnh đó (GCG)
- Một cạnh, góc đối và một góc kề cạnh đó (GGC).
Đối với tất cả trường hợp trong mặt phẳng, phải có ít nhất một độ dài cạnh được cho trước. Nếu chỉ có các góc được cho trước, không thể tìm ra các độ dài cạnh được bởi vì khi đó, mọi tam giác đồng dạng đều là nghiệm.
Cách giải tiêu chuẩn cho bài toán này là sử dụng các hệ thức lượng sau:
Định lý cosin a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α {displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha } b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β {displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos beta } c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ {displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma } Định lý sin a sin α = b sin β = c sin γ {displaystyle {frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}} Tổng ba góc của một tam giác α + β + γ = 180 ∘ {displaystyle alpha +beta +gamma =180^{circ }} Định lý tan a − b a + b = tan [ 1 2 ( α − β ) ] tan [ 1 2 ( α + β ) ] . {displaystyle {frac {a-b}{a+b}}={frac {tan[{frac {1}{2}}(alpha -beta )]}{tan[{frac {1}{2}}(alpha +beta )]}}.}
Ngoài các hệ thức trên, còn có những quan hệ phổ quát khác có thể hữu ích, như định lý cotang và công thức Mollweide.
Để tìm một góc chưa biết, định lí cosin an toàn hơn định lý sin. Lí do là vì giá trị sin của góc đó không phải lúc nào cũng giúp xác định được góc. Ví dụ, nếu sin β = 0.5 thì góc β có thể bằng 30° hoặc 150°. Sử dụng định lý cosin sẽ tránh được vấn đề này: trong khoảng từ 0° đến 180° giá trị cos sẽ luôn xác định được góc của nó một cách rõ ràng. Mặt khác, đối với góc nhỏ (hoặc gần bằng 180°) thì xác định góc từ sin của nó sẽ thiết thực hơn về mặt số học so với xác định góc từ cosin bởi vì hàm cos ngược (arccos) có đạo hàm phân kì tại 1 (hoặc −1).
Cho ba cạnh với độ dài lần lượt là a, b, c. Để tim các góc α, β, sử dụng định lý cosin:[3]
α = arccos b 2 + c 2 − a 2 2 b c β = arccos a 2 + c 2 − b 2 2 a c . {displaystyle {begin{aligned}alpha &=arccos {frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}[4pt]beta &=arccos {frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.end{aligned}}}
Khi đó góc γ = 180° − α − β.
Một số tài liệu khuyên rằng nên tìm góc β bằng định lý sin. Tuy nhiên (như đã viết ở Lưu ý 1), sẽ có rủi ro nhầm lẫn giữa giá trị của góc nhọn và góc tù.
Một phương pháp khác để tính các góc từ các cạnh đã biết là áp dụng định lý cotang.
Ở đây, độ dài cạnh a, b và góc γ giữa hai cạnh được biết trước. Cạnh thứ ba có thể được xác định bằng định lý cosin:[4]
c = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ . {displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }}.}
Bây giờ định lý cosin có thể được dùng để tìm góc thứ hai:
α = arccos b 2 + c 2 − a 2 2 b c . {displaystyle alpha =arccos {frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}
Cuối cùng, β = 180° − α − γ.
Trường hợp này chỉ có thể giải được một cách duy nhất khi độ dài của cạnh kề với góc đó ngắn hơn cạnh không kề với góc đó; nếu không sẽ có hai trường hợp có thể xảy ra. Giả sử hai cạnh b, c và góc β được biết trước. Phương trình tìm góc γ có thể được suy ra từ định lý sin:[5]
sin γ = c b sin β . {displaystyle sin gamma ={frac {c}{b}}sin beta .}
Gọi D = c/b sin β (vế phải phương trình). Có bốn trường hợp có thể xảy ra:
- Nếu D > 1, không tồn tại tam giác bởi vì cạnh b không cắt đường BC. Cũng vì thế mà không giải được tam giác nếu góc β ≥ 90° và b ≤ c.
- Nếu D = 1, tồn tại một nghiệm duy nhất: γ = 90°. Tam giác này là tam giác vuông.
- Nếu D < 1, có hai khả năng có thể xảy ra.
- Nếu b ≥ c, thì β ≥ γ (cạnh lớn hơn tương ứng với góc lớn hơn). Vì một tam giác không thể có hai góc tù, γ sẽ là góc nhọn và nghiệm γ = arcsin D là duy nhất.
- If b < c, góc γ có thể nhọn với γ = arcsin D hoặc tù với γ′ = 180° − γ. Hình bên cho thấy điểm C, cạnh b và góc γ là nghiệm thứ nhất; và điểm C′, cạnh b′ và góc γ′ là nghiệm thứ hai.
Một khi tìm được γ, góc còn lại α = 180° − β − γ.
Có thể tìm cạnh thứ ba bằng định lý sin:
a = b sin α sin β {displaystyle a=b {frac {sin alpha }{sin beta }}}
hoặc từ định lý cosin:
a = c cos β ± b 2 − c 2 sin 2 β {displaystyle a=ccos beta pm {sqrt {b^{2}-c^{2}sin ^{2}beta }}}
Các yếu tố được biết trước là cạnh c và các góc α, β. Góc thứ ba γ = 180° − α − β.
Hai cạnh chưa biết có thể được tính bằng định lý sin:[6]
a = c sin α sin γ ; b = c sin β sin γ . {displaystyle a=c {frac {sin alpha }{sin gamma }};quad b=c {frac {sin beta }{sin gamma }}.}
hay
a = c sin α sin α cos β + sin β cos α {displaystyle a=c{frac {sin alpha }{sin alpha cos beta +sin beta cos alpha }}} b = c sin β sin α cos β + sin β cos α {displaystyle b=c{frac {sin beta }{sin alpha cos beta +sin beta cos alpha }}}
Quy trình giải tam giác GGC cũng giống với giải tam giác GCG: Đầu tiên, tìm góc thứ ba bằng cách lấy 180° trừ đi hai góc đã biết; sau đó tìm hai cạnh còn lại bằng định lý sin.
Trong nhiều trường hợp, tam giác có thể được giải nếu có trước ba yếu tố có thể gồm đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác. Posamentier và Lehmann[7] đã liệt kê các kết quả cho câu hỏi về khả năng giải được sử dụng không quá căn bậc hai (v.d. tính dựng hình) cho mỗi trong số 95 trường hợp riêng biệt; 63 trong số đó có thể dựng hình được.
Một tam giác cầu (spherical triangle) hoàn toàn được xác định bằng ba trong số sáu đặc điểm của nó (ba cạnh và ba góc). Độ dài của các cạnh a, b, c của một tam giác cầu là các góc ở tâm tương ứng, nhưng được đo theo đơn vị góc thay vì đơn vị tuyến tính. (Trên một hình cầu đơn vị, góc (theo rađian) và độ dài là như nhau về mặt số học. Trên các hình cầu khác, góc (theo rađian) bằng độ dài trên mặt cầu chia cho bán kính.)
Hình học cầu không giống với hình học Euclid trên mặt phẳng, cho nên việc giải tam giác sẽ dựa trên những công thức khác nhau. Ví dụ, tổng của ba góc α + β + γ của một tam giác phụ thuộc vào kích cỡ của tam giác đó. Thêm vào đó, các tam giác đồng dạng không thể không bằng nhau, cho nên bài toán dựng một tam giác với ba góc cho trước sẽ chỉ có một lời giải duy nhất. Các quan hệ cơ bản dùng để giải bài toán này tương tự với việc giải tam giác phẳng: xem Định luật cos và Định luật sin trên mặt cầu.
Có nhiều công thức hữu ích, bao gồm công thức nửa bên (half-side formula) và đẳng thức Napier (Napier’s analogies):[8]
- tan c 2 cos α − β 2 = tan a + b 2 cos α + β 2 {displaystyle tan {frac {c}{2}}cos {frac {alpha -beta }{2}}=tan {frac {a+b}{2}}cos {frac {alpha +beta }{2}}}
- tan c 2 sin α − β 2 = tan a − b 2 sin α + β 2 {displaystyle tan {frac {c}{2}}sin {frac {alpha -beta }{2}}=tan {frac {a-b}{2}}sin {frac {alpha +beta }{2}}}
- cot γ 2 cos a − b 2 = tan α + β 2 cos a + b 2 {displaystyle cot {frac {gamma }{2}}cos {frac {a-b}{2}}=tan {frac {alpha +beta }{2}}cos {frac {a+b}{2}}}
- cot γ 2 sin a − b 2 = tan α − β 2 sin a + b 2 . {displaystyle cot {frac {gamma }{2}}sin {frac {a-b}{2}}=tan {frac {alpha -beta }{2}}sin {frac {a+b}{2}}.}
Cho trước các cạnh a, b, c (theo đơn vị góc). Các góc của tam giác được tính theo định luật cos trên mặt cầu:
α = arccos ( cos a − cos b cos c sin b sin c ) , {displaystyle alpha =arccos left({frac {cos a-cos b cos c}{sin b sin c}}right),} β = arccos ( cos b − cos c cos a sin c sin a ) , {displaystyle beta =arccos left({frac {cos b-cos c cos a}{sin c sin a}}right),} γ = arccos ( cos c − cos a cos b sin a sin b ) . {displaystyle gamma =arccos left({frac {cos c-cos a cos b}{sin a sin b}}right).}
Cho trước hai cạnh a, b và góc γ nằm giữa. Cạnh c có thể được tính theo công thức cos mặt cầu:
c = arccos ( cos a cos b + sin a sin b cos γ ) . {displaystyle c=arccos left(cos acos b+sin asin bcos gamma right).}
Các góc α, β có thể được tính như trên, hoặc bằng cách sử dụng đẳng thức Napier:
α = arctan 2 sin a tan ( γ 2 ) sin ( b + a ) + cot ( γ 2 ) sin ( b − a ) , {displaystyle alpha =arctan {frac {2sin a}{tan({frac {gamma }{2}})sin(b+a)+cot({frac {gamma }{2}})sin(b-a)}},} β = arctan 2 sin b tan ( γ 2 ) sin ( a + b ) + cot ( γ 2 ) sin ( a − b ) . {displaystyle beta =arctan {frac {2sin b}{tan({frac {gamma }{2}})sin(a+b)+cot({frac {gamma }{2}})sin(a-b)}}.}
Trong hàng hải, có một vấn đề nảy sinh trong bài toán tìm đường tròn lớn giữa hai điểm trên quả địa cầu khi biết trước kinh độ và vĩ độ của chúng. Trong trường hợp này, điều quan trọng là phải sử dụng công thức ít bị ảnh hưởng bởi lỗi làm tròn. Khi này, có thể sử dụng các công thức sau (có thể được suy ra thông qua đại số vectơ):
c = arctan ( sin a cos b − cos a sin b cos γ ) 2 + ( sin b sin γ ) 2 cos a cos b + sin a sin b cos γ , α = arctan sin a sin γ sin b cos a − cos b sin a cos γ , β = arctan sin b sin γ sin a cos b − cos a sin b cos γ , {displaystyle {begin{aligned}c&=arctan {frac {sqrt {(sin acos b-cos asin bcos gamma )^{2}+(sin bsin gamma )^{2}}}{cos acos b+sin asin bcos gamma }},alpha &=arctan {frac {sin asin gamma }{sin bcos a-cos bsin acos gamma }},beta &=arctan {frac {sin bsin gamma }{sin acos b-cos asin bcos gamma }},end{aligned}}}
với dấu của tử số và mẫu số trong các biểu thức trên có thể được dùng để xác định góc phần tư của arctan đó.
Bài toán này không giải được trong mọi trường hợp; một lời giải là duy nhất chỉ khi độ dài của cạnh kề với góc ngắn hơn độ dài cạnh còn lại. Cho trước hai cạnh b, c và góc bên β không nằm xen giữa. Tồn tại một nghiệm nếu thoả mãn những điều kiện sau:
b > arcsin ( sin c sin β ) . {displaystyle b>arcsin(sin c,sin beta ).}
Góc γ có thể được tìm bằng công thức sin mặt cầu:
γ = arcsin ( sin c sin β sin b ) . {displaystyle gamma =arcsin left({frac {sin c,sin beta }{sin b}}right).}
Trong trường hợp mặt phẳng, nếu b < c thì có hai nghiệm: γ and 180° – γ.
Có thể tìm ra các yếu tố còn lại bằng đẳng thức Napier:
a = 2 arctan [ tan ( 1 2 ( b − c ) ) sin ( 1 2 ( β + γ ) ) sin ( 1 2 ( β − γ ) ) ] , α = 2 arccot [ tan ( 1 2 ( β − γ ) ) sin ( 1 2 ( b + c ) ) sin ( 1 2 ( b − c ) ) ] . {displaystyle {begin{aligned}a&=2arctan left[tan left({tfrac {1}{2}}(b-c)right){frac {sin left({tfrac {1}{2}}(beta +gamma )right)}{sin left({tfrac {1}{2}}(beta -gamma )right)}}right],[4pt]alpha &=2operatorname {arccot} left[tan left({tfrac {1}{2}}(beta -gamma )right){frac {sin left({tfrac {1}{2}}(b+c)right)}{sin left({tfrac {1}{2}}(b-c)right)}}right].end{aligned}}}
Cho trước cạnh c và hai góc α, β. Đầu tiên, xác định góc γ bằng công thức cos mặt cầu:
γ = arccos ( sin α sin β cos c − cos α cos β ) . {displaystyle gamma =arccos(sin alpha sin beta cos c-cos alpha cos beta ).,}
Có thể tìm hai cạnh chưa biết từ công thức cos mặt cầu (góc γ đã được tính ở trên):
a = arccos ( cos α + cos β cos γ sin β sin γ ) , {displaystyle a=arccos left({frac {cos alpha +cos beta cos gamma }{sin beta sin gamma }}right),} b = arccos ( cos β + cos α cos γ sin α sin γ ) , {displaystyle b=arccos left({frac {cos beta +cos alpha cos gamma }{sin alpha sin gamma }}right),}
hoặc bằng cách sử dụng đẳng thức Napier:
a = arctan [ 2 sin α cot ( c 2 ) sin ( β + α ) + tan ( c 2 ) sin ( β − α ) ] , b = arctan [ 2 sin β cot ( c 2 ) sin ( α + β ) + tan ( c 2 ) sin ( α − β ) ] . {displaystyle {begin{aligned}a&=arctan left[{frac {2sin alpha }{cot({frac {c}{2}})sin(beta +alpha )+tan({frac {c}{2}})sin(beta -alpha )}}right],[4pt]b&=arctan left[{frac {2sin beta }{cot({frac {c}{2}})sin(alpha +beta )+tan({frac {c}{2}})sin(alpha -beta )}}right].end{aligned}}}
Cho trước cạnh a và hai góc α, β. Cạnh b có thể được tính bằng công thức sin trên mặt cầu:
b = arcsin ( sin a sin β sin α ) . {displaystyle b=arcsin left({frac {sin a,sin beta }{sin alpha }}right).}
Nếu góc của cạnh a là góc nhọn và α > β thì có thể giải theo công thức sau:
b = π − arcsin ( sin a sin β sin α ) . {displaystyle b=pi -arcsin left({frac {sin a,sin beta }{sin alpha }}right).}
Có thể tìm các đặc tính còn lại bằng cách dùng đẳng thức Napier:
c = 2 arctan [ tan ( 1 2 ( a − b ) ) sin ( 1 2 ( α + β ) ) sin ( 1 2 ( α − β ) ) ] , γ = 2 arccot [ tan ( 1 2 ( α − β ) ) sin ( 1 2 ( a + b ) ) sin ( 1 2 ( a − b ) ) ] . {displaystyle {begin{aligned}c&=2arctan left[tan left({tfrac {1}{2}}(a-b)right){frac {sin left({tfrac {1}{2}}(alpha +beta )right)}{sin left({frac {1}{2}}(alpha -beta )right)}}right],[4pt]gamma &=2operatorname {arccot} left[tan left({tfrac {1}{2}}(alpha -beta )right){frac {sin left({tfrac {1}{2}}(a+b)right)}{sin left({frac {1}{2}}(a-b)right)}}right].end{aligned}}}
Cho trước các góc α, β, γ. Từ công thức cos mặt cầu, suy ra:
a = arccos ( cos α + cos β cos γ sin β sin γ ) , {displaystyle a=arccos left({frac {cos alpha +cos beta cos gamma }{sin beta sin gamma }}right),} b = arccos ( cos β + cos γ cos α sin γ sin α ) , {displaystyle b=arccos left({frac {cos beta +cos gamma cos alpha }{sin gamma sin alpha }}right),} c = arccos ( cos γ + cos α cos β sin α sin β ) . {displaystyle c=arccos left({frac {cos gamma +cos alpha cos beta }{sin alpha sin beta }}right).}
Các thuật toán trên trở nên đơn giản hơn nếu một trong số các góc của tam giác (góc C chẳng hạn) là góc vuông. Những tam giác cầu như vậy được định nghĩa hoàn toàn bởi hai yếu tố, và ba yếu tố còn lại có thể được tính toán bằng ngũ giác Napier (Napier’s pentagon) hoặc các công thức sau.
sin a = sin c ⋅ sin A {displaystyle sin a=sin ccdot sin A} (từ định luật sin mặt cầu) tan a = sin b ⋅ tan A {displaystyle tan a=sin bcdot tan A} cos c = cos a ⋅ cos b {displaystyle cos c=cos acdot cos b} (từ định luật cos mặt cầu) tan b = tan c ⋅ cos A {displaystyle tan b=tan ccdot cos A} cos A = cos a ⋅ sin B {displaystyle cos A=cos acdot sin B} (cũng từ định luật cos mặt cầu) cos c = cot A ⋅ cot B {displaystyle cos c=cot Acdot cot B}
Nếu một người muốn đo đạc khoảng cách d từ bờ đến một chiếc thuyền ngoài xa bằng phép đạc tam giác, người đó cần đánh dấu trên bờ hai điểm với khoảng cách l biết trước giữa chúng (đường cơ sở). Gọi α, β là hai góc giữa đường cơ sở và hướng của chiếc thuyền.
Từ công thức bên trên (trường hợp GCG trên hình học phẳng) một người có thể tính toán khoảng cách mà chính là đường cao tam giác:
d = sin α sin β sin ( α + β ) ℓ = tan α tan β tan α + tan β ℓ . {displaystyle d={frac {sin alpha ,sin beta }{sin(alpha +beta )}}ell ={frac {tan alpha ,tan beta }{tan alpha +tan beta }}ell .}
Trong trường hợp mặt cầu, người đó đầu tiên cần tính độ dài cạnh từ điểm tại α đến chiếc thuyền (cạnh đối của góc β) bằng công thức GCG:
tan b = 2 sin β cot ( l / 2 ) sin ( α + β ) + tan ( l / 2 ) sin ( α − β ) , {displaystyle tan b={frac {2sin beta }{cot(l/2)sin(alpha +beta )+tan(l/2)sin(alpha -beta )}},}
và thế nó vào công thức GGC của tam giác vuông nhỏ chứa góc α, cạnh b và d:
sin d = sin b sin α = tan b 1 + tan 2 b sin α . {displaystyle sin d=sin bsin alpha ={frac {tan b}{sqrt {1+tan ^{2}b}}}sin alpha .}
(Công thức mặt phẳng thực ra là số hạng đầu tiên của phép khai triển Taylor của d của nghiệm mặt cầu với luỹ thừa cơ số l.)
Phương pháp này được sử dụng trong chạy tàu ven biển (cabotage). Các góc α, β được xác định bằng việc quan sát các điểm mốc quen thuộc từ chiếc thuyền.
Một ví dụ khác: Nếu một ai đó muốn đo chiều cao h của một ngọn núi hay một toà nhà, các góc α, β từ hai điểm dưới đất lên đến đỉnh phải được chỉ rõ. Cho ℓ là khoảng các giữa hai điểm trên. Từ cùng công thức GCG, ta có:
h = sin α sin β sin ( β − α ) ℓ = tan α tan β tan β − tan α ℓ . {displaystyle h={frac {sin alpha ,sin beta }{sin(beta -alpha )}}ell ={frac {tan alpha ,tan beta }{tan beta -tan alpha }}ell .}
Để tính khoảng cách giữa hai điểm trên quả địa cầu,
Điểm A: vĩ độ λA, kinh độ LA, và Điểm B: vĩ độ λB, kinh độ LB
Xét tam giác cầu ABC, với C là Cực Bắc, có các đặc tính như sau:
a = 90 o − λ B , {displaystyle a=90^{mathrm {o} }-lambda _{mathrm {B} },,} b = 90 o − λ A , {displaystyle b=90^{mathrm {o} }-lambda _{mathrm {A} },,} γ = L A − L B . {displaystyle gamma =L_{mathrm {A} }-L_{mathrm {B} }.,}
Nếu biết trước hai cạnh và góc nằm trong, ta có công thức:
A B = R arccos [ sin λ A sin λ B + cos λ A cos λ B cos ( L A − L B ) ] . {displaystyle mathrm {AB} =Rarccos left[sin lambda _{mathrm {A} },sin lambda _{mathrm {B} }+cos lambda _{mathrm {A} },cos lambda _{mathrm {B} },cos left(L_{mathrm {A} }-L_{mathrm {B} }right)right].}
Với R là bán kính Trái Đất.
- Tương đẳng
- Hansen’s problem
- Hinge theorem
- Lénárt sphere
- Snellius-Pothenot problem
- Euclid (1956) [1925]. Sir Thomas Heath (biên tập). The Thirteen Books of the Elements. Volume I. Translated with introduction and commentary. Dover. ISBN 0-486-60088-2.
- Trigonometric Delights, by Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented.
- Trigonometry by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented. Google book.
- Spherical trigonometry on Math World.
- Intro to Spherical Trig. Includes discussion of The Napier circle and Napier’s rules
- Spherical Trigonometry — for the use of colleges and schools by I. Todhunter, M.A., F.R.S. Historical Math Monograph posted by Cornell University Library.
- Triangulator – Trình giải tam giác. Solve any plane triangle problem with the minimum of input data. Drawing of the solved triangle.
- TriSph – Free software to solve the spherical triangles, configurable to different practical applications and configured for gnomonic.
- Spherical Triangle Calculator – Giải tam giác cầu.
- TrianCal – Triangles solver by Jesus S.
