Bài viết Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian.
Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
Bài giảng: Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian – Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack)
A. Tóm tắt lý thuyết
I. Phương trình đường thẳng:
• Cho đường thẳng Δ đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và nhận vectơ a→ = (a1; a2; a3) với a12 + a22 + a32 ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình tham số là :
• Cho đường thẳng Δ đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và nhận vectơ a→ = (a1; a2; a3) sao cho a1a2a3 ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình chính tắc là :
II. Góc:
1. Góc giữa hai đường thẳng:
Δ1 có vectơ chỉ phương a1→
Δ2 có vectơ chỉ phương a2→
Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2. Ta có:
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Δ có vectơ chỉ phương aΔ→
(α) có vectơ chỉ phương nα→
Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng Δ và α. Ta có:
III. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ:
Δ đi qua điểm Mo và có vectơ chỉ phương aΔ→
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Δ1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phươnga1→
Δ2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương a2→
B. Kĩ năng giải bài tập
Các dạng toán thường gặp
1. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua hai điểm phân biệt A, B.
Cách giải:
Xác định vectơ chỉ phương của Δ là AB→.
2. Đường thẳng Δ đi qua điểm M và song song với d.
Cách giải:
Trong trường hợp đặc biệt:
• Nếu Δ song song hoặc trùng bới trục Ox thì Δ có vectơ chỉ phương là aΔ→ = i→ = (1; 0; 0)
• Nếu Δ song song hoặc trùng bới trục Oy thì Δ có vectơ chỉ phương là aΔ→ = j→ = (0; 1; 0)
• Nếu Δ song song hoặc trùng bới trục Oz thì Δ có vectơ chỉ phương là aΔ→ = k→ = (0; 1; 0)
Các trường hợp khác thì Δ có vectơ chỉ phương là aΔ→ = ad→, với ad→ là vectơ chỉ phương của d
3. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α).
Cách giải:
Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = nα→, với nα→ là vectơ pháp tuyến của (α).
4. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 (hai đường thẳng không cùng phương).
Cách giải:
Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = [a1→, a2], với a1→, a2→ lần lượt là vectơ chỉ phương của d1, d2.
5. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α).
Cách giải:
Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aα→ = [ad→, nα→], với ad→ là vectơ chỉ phương của d, nα→ là vectơ pháp tuyến của (α).
6. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng (α), (β); ((α), (β) là hai mặt phẳng cắt nhau)
Cách giải:
Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = [nα→, nβ→], với nα→, nβ→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α), (β).
7. Viết phương trình đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β).
Cách giải:
• Lấy một điểm bất kì trên Δ, bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý.
• Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = [nα→, nβ→], với nα→, nβ→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α), (β).
8. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2 (A ∉ d1, A ∉ d2).
Cách giải:
Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = [n1→, n2→], với n1→, n2→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mp(A, d1), mp(A, d2).
9. Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α) và cắt hai đường thẳng d1, d2.
Cách giải:
Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = AB→, với A = d1 ∩ (α), B = d2 ∩ (α)
10. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, vuông góc và cắt d.
Cách giải:
• Xác định B = Δ ∩ d.
• Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, B.
11. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, vuông góc với d1 và cắt d2, với A ∉ d2.
Cách giải:
• Xác định B = Δ ∩ d2.
• Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, B.
12. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α).
Cách giải:
• Xác định B = Δ ∩ d.
• Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, B.
13. Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α) cắt và vuông góc đường thẳng d.
Cách giải:
• Xác định A = d ∩ (α).
• Đường thẳng Δ đi qua A và có vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = [ad→, nα→], với ad→ là vectơ chỉ phương của d, nα→ là vectơ pháp tuyến của (α).
14. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (α), nằm trong (α) và vuông góc đường thẳng d (ở đây d không vuông góc với (α)) .
Cách giải:
• Xác định A = d ∩ (α).
• Đường thẳng Δ đi qua A và có vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = [ad→, nα→], với ad→ là vectơ chỉ phương của d, nα→ là vectơ pháp tuyến của (α).
15. Viết phương trình đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1, d2.
Cách giải:
• Xác định A = Δ ∩ d1, B = Δ ∩ d2 sao cho
• Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua hai điểm A, B.
16. Viết phương trình đường thẳng Δ song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng d1, d2.
Cách giải:
• Xác định A = Δ ∩ d1, B = Δ ∩ d2 sao cho AB→, ad→ cùng phương, với ad→ là vectơ chỉ phương của d.
• Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương ad→ = aα→.
17. Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (α) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2.
Cách giải:
• Xác định A = Δ ∩ d1, B = Δ ∩ d2 sao cho AB→, nα→ cùng phương, với nα→ là vectơ pháp tuyến của (α).
• Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương ad→ = nα→.
18. Viết phương trình Δ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (α).
Cách giải :
Xác định H ∈ Δ sao cho AH→ ⊥ ad→,với ad là vectơ chỉ phương của d.
• Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (α).
• Viết phương trình đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β)
19. Viết phương trình Δ là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (α) theo phương d’.
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa d và có thêm một véc tơ chỉ phương ud’→.
• Viết phương trình đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β).
Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết Toán lớp 12 khác:
- Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian
- Lý thuyết Phương trình mặt phẳng
- Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian
- Lý thuyết tổng hợp chương Phương pháp tọa độ trong không gian
