Trong phần đại số của lớp 11 chúng ta gặp phương trình lượng giác, chủ yếu là phương trình lượng giác cơ bản. Trong bài thi HSG MTCT, bài toán yêu cầu tìm tất các nghiệm của một phương trình lượng giác trên một đoạn khá rộng. Ví dụ 1:
$cos 2x+2sin 3x=1 ⇔ -2sin^2x+2(3sin x-4sin^3x)=0$
$ ⇔ 4sin^3x+sin^2x-3sin x=0⇔ left[begin{array}{l}sin x=0 sin x=-1 sin x=dfrac34end{array}right.⇔ left[begin{array}{l}x=kpi x=-dfrac{pi}{2}+k2pi x=arcsindfrac34+k2pi x=pi-arcsindfrac34+k2piend{array}right.$
Với $x=kpi$, vì $0 leqslant xleqslant 100$ nên $0leqslant k leqslant dfrac{100}{pi}=31,830dots $. Vậy $0 leqslant kleqslant 31$. Với $x=-dfrac{pi}{2}+k2pi$, vì $0 leqslant xleqslant 100$ nên $dfrac{0+dfrac{pi}{2}}{2pi}leqslant k leqslant dfrac{100+dfrac{pi}{2}}{2pi}$ . Vậy $1 leqslant kleqslant 16$ . Đối với phương trình $sin x=dfrac34$ ta dùng bảng giá trị để xác định $k$ như sau:
Ta thấy cả hai tập hợp nghiệm đều cho $1leqslant kleqslant 16$. Ta tính các tổng tương ứng:
lần lượt lưu vào A, B, C và tổng của tất cả các nghiệm là:
Ví dụ 2:
$2sin^2x-cos 3x=1 ⇔ 4cos^3x+2cos^2x-3cos x-1=0 ⇔ left[begin{array}{l}cos x=A cos x=B cos x=-1end{array} right.$
$$⇔ left[begin{array}{ll} x=pm arccos A+k2pi &(1) x=pm arccos B+k2pi&(2) x=pi+k2pi&(3)end{array} right.$$
lưu $x_1, x_2$ lần lượt vào A và B.
Với tập hợp nghiệm (1) phạm vi của $k$ là: Với tập hợp nghiệm (2) phạm vi của $k$ là: Với tập hợp nghiệm (3), phạm vi của $k$ là
Tóm lại tổng tất cả các nghiệm là
Giải thích: Trong tập hợp nghiệm (2) không có giá trị $k=32$ nên ta trừ cho nghiệm $-arccos B +32.2pi$ và có thêm nghiệm ứng với $k=48$ nên phải cộng thêm nghiệm $-arccos B +48.2pi$. Kết quả của phép “cộng thêm trừ ra” là $(48-32)times 2pi$. Ví dụ 3:
Vì $x=dfrac{1-11sin x}{2}$ và $-1leqslant sin x leqslant 1$ nên $-5leqslant x leqslant 6$.
Xét hàm số $f(x)=11sin x-1+2x$, $x in [-5;6]$.
Lập bảng giá trị cho $f(x)$ với $x$ chạy từ $-5$ đến $6$, bước là $dfrac{11}{44}$, ta quan sát tại các chỗ đổi dấu, nghiệm sẽ xấp xỉ tại đó:
ta thấy phương trình $f(x)=0$ có 5 nghiệm và biết khoảng chứa nghiệm. Ta dùng Solver để tìm 5 nghiệm đó (khi dùng Solver, chọn giá trị nhập vào là trung bình cộng của hai mút): lưu vào E.
lưu vào F.
tự động lưu vào x.
lưu vào y. lưu vào z.
Cuối cùng:
