Khi nói về không gian vector, có một đối tượng tổng quát hơn gọi là form, và trong N chiều thì có N+1 loại form (0-form, 1-form, 2-form, cho đến N-form). Các dạng vi phân hoá ra lại đặc biệt hữu ích để tổng quát hoá phép tính vi tích phân lên đa tạp, giống như làm phép tính vi tích phân đa biến trong bất kỳ số chiều nào.
Trong mọi chiều, một số dạng vi phân có một cách hiểu tự nhiên:
-
0-form có thể được coi là các hàm vô hướng (scalar function)
-
1-form có thể được coi là các trường vector (vector fields)
-
(N-1)-form có thể được coi là các trường vector (vector fields)
-
N-form có thể được coi là các hàm vô hướng (scalar functions)
(Nói chính xác thì, (N-1)-form không phải là vector. Nhưng có một đồng cấu tự nhiên giữa chúng và các trường vector vì hai không gian này đều là không gian vector hữu hạn chiều trên cùng trường vô hướng với cùng số chiều.) Có một phép toán trên các form, gọi là tích ngoài (wedge product), lấy đầu vào là một k-form và một m-form, và xuất ra một (k+m)-form. Tích có hướng (cross product) thực chất chỉ là tích ngoài trên hai 1-form; do đó nó lấy hai “vector” làm đầu vào và xuất ra một 2-form. Nhưng vì 2 = N – 1 khi N = 3, nên 2-form này có thể được coi là một vector khác. Điều này chỉ xảy ra trong 3 chiều, và đó là lý do tại sao tích có hướng được xử lý đặc biệt như vậy.
Bạn cũng có thể muốn xem xét đạo hàm ngoài (exterior derivative), là một cách để tính đạo hàm của các form. Đạo hàm ngoài, ký hiệu là “d”, biến đổi k-form ω thành (k+1)-form dω. Một lần nữa, điều gì đó đặc biệt xảy ra ở 3 chiều. Đạo hàm ngoài biến đổi một 0-form (vô hướng) thành 1-form (vector) thành 2-form (vector) thành 3-form (vô hướng). Đây là lý do tại sao grad-curl-div được xử lý đặc biệt trong 3 chiều. Chúng thực sự chỉ là biểu hiện của đạo hàm ngoài. (Việc curl(grad(f)) = 0 và div(curl(F)) = 0 luôn luôn đúng là một hệ quả tầm thường của đẳng thức d2 = 0, hay d(dω) = 0.)
Nếu bạn quan tâm đến thêm chi tiết, tôi khuyên bạn nên tham khảo một khóa học và/hoặc sách giáo khoa về “vi tích phân trên đa tạp” hoặc “dạng vi phân”. Tensor cũng tổng quát hoá tất cả những điều này, nhưng nếu bạn chỉ mới được giới thiệu về chủ đề này, thì toàn bộ lý thuyết về tensor có thể hơi quá nhiều. Nếu bạn đã học vi tích phân đa biến, thì vi tích phân trên đa tạp là một sự tiếp nối tốt. Spivak có một cuốn sách giáo khoa kinh điển về chủ đề này.
