Chứng minh tam giác DEF có 3 góc nhọn

Lời giải:

a) Đường tròn $(O)$ tiếp xúc với (AB.BC,CA) tại $D,E,F$, tức là $O$ là giao của ba đường phân giác tam giác $ABC$ và (ODperp AB, OFperp AC, OEperp BC)

Do đó: (widehat{ODA}+widehat{OFA}=90^0+90^0=180^0)

(Rightarrow ODAF) là tứ giác nội tiếp.

Hoàn toàn tương tự: (ODBE, OECF) nội tiếp.

Từ các tứ giác nội tiếp suy ra:

(left{begin{matrix} widehat{ODF}=widehat{OAF}=frac{widehat{A}}{2} widehat{ODE}=widehat{OBE}=frac{widehat{B}}{2}end{matrix}right.) (Rightarrow widehat{ODF}+widehat{ODE}=frac{widehat{A}}{2}+frac{widehat{B}}{2})

hay (widehat{EDF}=frac{widehat{A}+widehat{B}}{2})

Tương tự: (widehat{DEF}=frac{widehat{B}+widehat{C}}{2}) và (widehat{EFD}=frac{widehat{A}+widehat{C}}{2})

Vì $ABC$ là tam giác nhọn nên các góc đều nhỏ hơn $90^0$

(Rightarrow widehat{EDF}, widehat{DEF}, widehat{EFD}< 90^0)

(Rightarrow triangle DEF) có 3 góc nhọn.

b)

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên (widehat{ABC}=widehat{ACB})

(Rightarrow widehat{ABC}=frac{180-widehat{BAC}}{2}=90^0-frac{widehat{A}}{2})

Tứ giác $ODAF$ nội tiếp (Rightarrow widehat{ADF}=widehat{AOF}=90^0-widehat{OAF}=90^0-frac{widehat{A}}{2})

Do đó: (widehat{ABC}=widehat{ADF}), hai góc này ở vị trí đồng vị nên (DFparallel BC)

c)

(left{begin{matrix} widehat{ABC}=widehat{ACB} widehat{ABC}=widehat{ADF}(text{theo phần b})end{matrix}right.) (Rightarrow widehat{ADF}=widehat{ACB}=widehat{FCB})

(Rightarrow BDFC) nội tiếp.

d)

$BD$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên (widehat{BDM}=widehat{DFI}=widehat{DFB}) (cùng chắn cung DI)

Mà do $BDFC$ nội tiếp nên (widehat{DFB}=widehat{DCB})

Từ đây suy ra (widehat{BDM}=widehat{DCB})

Xét tam giác $BDM$ và $BCD$ có:

(left{begin{matrix} angle text{B Chung} widehat{BDM}=widehat{BCD}(cmt)end{matrix}right.Rightarrow triangle BDMsim triangle BCD(g.g))

(Rightarrow frac{BD}{BC}=frac{BM}{BD}(1))

Do (DFparallel BCRightarrow frac{BD}{AB}=frac{CF}{AC}) (theo định lý Ta -let) mà (AB=ACRightarrow BD=CF(2))

Từ ((1); (2)Rightarrow frac{BD}{BC}=frac{BM}{CF}) (đpcm)