Với Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải môn Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.
Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
I. LÝ THUYẾT
a. Lũy thừa
+ Lũy thừa với số mũ nguyên
an = a.a….a, (n thừa số)
Ở đây n ∈ Z+, n > 1. Quy ước a1 = a .
(a ≠ 0): a0 = 1, a-n = với n ∈ Z+
+ Số căn bậc n
Với n lẻ và b ∈ R : Có một căn bậc n của b là n√b .
Với n chẵn
b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.
b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.
b > 0: Có hai bậc n của b là ± n√b .
+ Tính chất căn bậc n
Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:
+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ
+ Lũy thừa số thực
(α là số vô tỉ, rn là số hữu tỉ và lim rn = α )
+ Tính chất
Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:
Nếu a > 1 thì aα > aβ khi và chỉ khi α > β
Nếu a < 1 thì aα > aβ khi và chỉ khi α < β
b. Logarit
+ Định nghĩa:
Cho 0 < a ≠ 1, b > 0.
Ta có: α = logab ⇔ aα > b
– Lôgarit thập phân: log10b = log b = lg b .
– Lôgarit tự nhiên: logeb = ln b .
+ Các công thức:
Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:
logaa = 1, loga1 = 0
alogab = b, loga(aα) = α
loga(b1.b2) = logab1 + logab2
Đặc biệt : với a,b > 0, a ≠ 1
logabα = αlogab
Đặc biệt: logan√b =
Đặc biệt:
II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức
A. Phương pháp
Cách 1. Sử dụng định nghĩa và tính chất của lũy thừa và lôgarit
* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của lũy thừa.
+ Lũy thừa với số mũ nguyên
an = a.a….a, (n thừa số)
Ở đây n ∈ Z+, n > 1. Quy ước a1 = a .
(a ≠ 0): a0 = 1, a-n = với n ∈ Z+
+ Số căn bậc n
Với n lẻ và b ∈ R : Có một căn bậc n của b là n√b .
Với n chẵn
b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.
b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.
b > 0: Có hai bậc n của b là ± n√b .
+ Tính chất căn bậc n
Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:
+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ
+ Lũy thừa số thực
(α là số vô tỉ, rn là số hữu tỉ và lim rn = α )
+ Tính chất
Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:
* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của logarit.
+ Định nghĩa:
Cho 0 < a ≠ 1, b > 0.
Ta có: α = logab ⇔ aα > b
– Lôgarit thập phân: log10b = log b = lg b .
– Lôgarit tự nhiên: logeb = ln b .
+ Các công thức:
Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:
logaa = 1, loga1 = 0
alogab = b, loga(aα) = α
loga(b1.b2) = logab1 + logab2
Đặc biệt : với a,b > 0, a ≠ 1
logabα = αlogab
Đặc biệt: logan√b =
Đặc biệt:
Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay.
B. Ví dụ minh họa
Câu 1. Cho là số thực dương. Giá trị của biểu thức bằng
Lời giải
Chọn D
Với a > 0, ta có
Câu 2. Rút gọn biểu thức
A. P = 2 . B. P = a2 . C. P = 1 . D. P = a .
Lời giải
Chọn C
Ta có:
Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay
Nhập vào máy tính:
Sau đó bấm CALC thay một giá trị bất kì thỏa mãn a > 0 và a ≠ 1 và các đáp án phải khác nhau. Ta chọn A = 3. Khi đó ta có kết quả.
Câu 3. Với α là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?
Lời giải
Chọn D
+) Có với mọi α, nên A đúng.
+) Có (10α)2 = (100)αvới mọi α , nên B đúng.
+) Có √10α = (√10)α với mọi α , nên C đúng.
+) Ta có (10α)2 = 102α ≠ . Do đó D sai.
Câu 4. Biểu thức (x > 0) viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Câu 5. Tính giá trị biểu thức
A. 14.
B. 12.
C. 11.
D. 10.
Lời giải
Chọn B
Ta có
Câu 6. Cho a là số thực dương và a ≠ 1. Giá trị của biểu thức bằng
Lời giải
Chọn D
Ta có:
Câu 7. Cho a > 0, a ≠ 1 biểu thức có giá trị bằng bao nhiêu?
Lời giải
Chọn C
Ta có:
Câu 8. Với a và b là hai số thực dương, a ≠ 1. Giá trị của bằng
Lời giải
Chọn D
Áp dụng công thức: alogab = b
Ta có:
Câu 9. Tính giá trị của với a > 0, a ≠ 1.
A. 16. B. 8 . C. 4 . D. 2 .
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Câu 10. Cho a là số thực dương khác 4. Tính
Lời giải
Chọn C
Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. ln(2e2) = 2 + ln2.
B. ln = ln 2 – 1.
C. ln √4e = 1 + ln 2 .
D. ln(e) = 1 .
Lời giải
Chọn C
ln √4e = ln√4 + ln √e = ln 2 +
Câu 12. Tính giá trị của biểu thức:
A. √3 . B. 1 . C. √2 . D. 2 .
Lời giải
Chọn B
Ta có:
Dạng 2. So sánh các lũy thừa, logarit
A. Phương pháp giải.
Cách 1. Sử dụng tính chất của lũy thừa, lôgarit
a. So sánh các lũy thừa
Nếu a > 1 thì aα > aβ khi và chỉ khi α > β
Nếu a < 1 thì aα > aβ khi và chỉ khi α < β
b. So sánh các logarit
Cách 2. Sử dụng máy tính casio
B. Ví dụ minh họa
Câu 1. Cho a > 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Lời giải
Chọn B
Vì cơ số a > 1 nên ta có am > an ⇔ m > n.
Xét phương án A: => phương án A sai.
Xét phương án B: => hay phương án B đúng.
Xét phương án C: => phương án C sai.
Xét phương án C: 2016 < 2017 ⇔ a2016 < a2017 ⇔ => phương án D sai.
Vậy phương án đúng là phương án B
Câu 2. Cho πα > πβ với α,β ∈ R. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. α > β. B.α < β . C. α = β . D. α ≤ β .
Lời giải
Chọn A
Do π > 1 nên πα > πβ ⇔ α > β .
Câu 3. Cho số thực a thỏa mãn a3 > aπ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 0 < a < 1 . B. a < 0 . C. a > 1 . D. a = 1 .
Lời giải
Chọn A
Ta có a3 > aπ mà 3 < π nên 0 < a < 1.
Câu 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Lời giải
Chọn C
Vì cơ số là
Do đó 5 < 6 nên là mệnh đề đúng.
Câu 5. Nếu thì
A. 0 < a < 1, 0 < b < 1 B. 0 < a < 1, b > 1
C. a > 1, b > 1 D. a > 1, 0 < b < 1
Lời giải
Chọn B
Ta có khi 0 < a < 1
Ta lại có khi b > 1
Vậy 0 < a < 1, b > 1
Câu 6. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Lời giải
Chọn C
Ta có log x ≥ 0 ⇔ x ≤ 100 nên x ≤ 1 là khẳng định đúng.
log3x ≤ 0 ⇔ 0 < x ≤ 30 nên 0 < x ≤ 1 là khẳng định đúng.
⇔ b > a > 0 nên khẳng định C sai.
D đúng do tính đơn điệu của hàm số
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Tính giá trị biểu thức
A. 15. B. 28. C. –11. D. 10.
Câu 2. Cho biểu thức . Khi đó giá trị của f(2,7) bằng:
A. 0,027 . B. 27 . C. 2,7 . D. 0,27 .
Câu 3. Tính giá trị của biểu thức
Câu 4. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa?
Câu 5. Với các số thực bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 6. Cho số thực x và số thực y ≠ 0 tuỳ ý. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. 3x.3y = 3x+y.
B. (5x)y = (5y)x .
C.
D. (2.7)x = 2x.7x .
Câu 7. Cho a là số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. A = √7 . B. A = 1 . C. A = 2 . D.
Câu 8. Cho a > 0 ; b > 0. Viết biểu thức về dạng am và biểu thức về dạng bn. Ta có m – n = ?
C. 1 . D. -1 .
Câu 9. Cho số thực a dương và m,n ∈ R. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. am+n = (am)n .
B. am+n = .
C. am+n = am.an
D. am+n = am + n
Câu 10. Cho số dương a và m,n ∈ R. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. am.an = am-n.
B. am.an =(am)n
C. am.an = am+n.
D. am.an = am.n.
Câu 11. Cho a là số dương tuỳ ý, 4√a3 bằng
Câu 12. Tính giá trị của biểu thức 2log2a + loga(ab) (a > 0, a ≠ 1).
A. P = a – b B. P = 2a + b . C. P = a + b . D. P = 2a + b .
Câu 13. Cho a là số thực dương khác 1. Tính P = loga√a .
A. P = . B. P = -2 . C. P = 2 . D. P = 0 .
Câu 14. Cho a,b > 0. Nếu lnx = 5lna + 2ln√b thì x bằng
A. a5 + b . B. a5b . C. 10a√b. D. .
Câu 15. Với a là số thực dương tùy ý, log(8a) – log(3a) bằng
A. . B. log38 . C. log . D. log(5a) .
Câu 16. Cho (√2 – 1)m < (√2 – 1)n. Khi đó:
A. m > n. B. m < n. . C. m = n. . D. m ≤ n. .
Câu 17. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
A. log35 > 0 .
B. log 2+ x2 2016 < log 2+ x2 2017.
C. log0,30,8 < 0 .
D.
Câu 18. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. logx < 1 ⇔ 0 < x < 10.
B. lnx ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.
C.
D.
Bài 19. Rút gọn biểu thức P = x13.x6 với x > 0.
Bài 20. Cho biểu thức Q = x3.x4.x59. Tính giá trị Q khi x = 9 (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).
Bài 21. Cho u > 1, hãy so sánh u715 và u25.
Bài 22. Cho a, b là những số thực dương. Viết biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: b2.b13.a2:a43.
Bài 23. Chứng minh rằng: 1325<1332.
Đáp án:
1. B
2. C
3. D
4. B
5. A
6. C
7. B
8. C
9. C
10. C
11. C
12. C
13. A
14. B
15. C
16. A
17. C
18. C
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:
- Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit
- Phương trình mũ
- Phương trình lôgarit
- Bất phương trình mũ
- Bất phương trình lôgarit
