Bài viết Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải
Cách 1:
– Viết PT mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 – Viết PT mặt phẳng (Q) chứa d1 và vuông góc với (P) – Tìm giao điểm M = d1 ∩ (Q), pt đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P)
Cách 2:
Gọi M = d ∩ d1; N = d ∩ d2 Vì d là đường vuông góc chung nên
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ: 1
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
– Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 có
Chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là (6; 5; -4)
– Mặt phẳng (Q) chứa d1 và vuông góc với (P) có
=>
1 điểm thuộc d1 cũng thuộc (Q) là: (2; -1; 0)
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
– 2.(x – 2) + 24.(y + 1) + 27.(z – 0) = 0 hay – 2x + 24y + 27z + 28 = 0
– Giao điểm M = d2 ∩ (Q) có tọa độ là (t; 2t + 1; 4t – 1) thỏa mãn:
– 2.t + 24(2t + 1) + 27(4t – 1) + 28 = 0 ⇔ t = -25/154
=>
Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của (P) : (6; 5; -4)
Chọn B.
Ví dụ: 2
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho
M = d ∩ d1 => M (t; 5-2t; 14-3t)
N = d ∩ d2 => N (9-4t’; 3+t’; -1+5t’)
=>
Ta có :
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là (1; -1; 1)
Vậy phương trình của d là:
Chọn A.
Ví dụ: 3
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1; d2 là.
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Gọi d là đường thẳng cần tìm
Gọi A = d ∩ d1; B = d ∩ d2
+ Do A thuộc d1 nên A( 2+a; 1- a; 2-a)
+ Do B thuộc d2 nên B( b; 3; – 2+ b)
+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương
+ Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương
+ Ta có:
=> A( 2; 1; 2) và B( 3; 3; 1)
+ Đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của d là :
Chọn C.
Ví dụ: 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A( -1;1;0); B( 1;3;3); C( 1; 2; 1) và D( 1; 1; 1) . Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M?
A. ( -3; 0; -1)
B. ( 1; 0; 1)
C. ( -1; 0; 2)
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Đường thẳng AC : Đi qua A( -1 ; 1 ; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên có phương trình :
+ Đường thẳng BD : đi qua B( 1 ; 3 ; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên có phương trình :
+ M thuộc AC nên M( -1+ 2m;1+ m;m)
+ N thuộc BD nên N( 1; 3- 2n; 3- 2n)
+ Ta có đường thẳng MN vuông góc với AC và BD nên :
=> đường thẳng d cắt AC tại M( – 3; 0;-1)
Chọn A.
Ví dụ: 5
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho ba điểm A(1; 2; 3); B(0;1 4) và C( – 1; -2; 1) . Gọi d là đường vuông góc chung của AB và OC. Tính độ dài đường vuông góc chung?
A. 2
B. 4
C.
D.
Lời giải:
+ Đường thẳng AB: Đi qua A( 1;2; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình AB:
+ Đường thẳng OC: đi qua O( 0; 0 ; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình OC:
+ Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AB và OC. Gọi giao điểm của d với AB và OC lần lượt là M và N
+ Điểm M thuộc AB nên M( 1- m; 2- m; 3+ m)
+ Điểm N thuộc OC nên N(n; 2n; – n)
.
=> Đường thẳng MN vuông góc với hai đường thẳng AB và OC.
Chọn C.
Ví dụ: 6
Trong không gian với hệ trục Oxyz; cho các điểm A( 1; 1; 1) và B( -2; 1; 0). Đường thẳng d là đường thẳng vuông góc và cắt cả hai đường thẳng AB và trục Ox. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?
A. ( 0; 1; 1)
B. ( -2; 0; 1)
C. ( 0;0; 1)
D. ( 0; 1; 0)
Lời giải:
+ Đường thẳng AB có vectoc chỉ phương
+ Trục Ox có vecto chỉ phương là
+ Do đường thẳng d vuông góc với AB và Ox nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:
+ Lại có vecto cùng phương với vecto u→ nên u’→ cũng là một vecto chỉ phương của d.
Chọn D.
Ví dụ: 7
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Đường thẳng Δ cắt và vuông góc với hai đường thẳng d và trục Oz tại A và B. Tìm tọa độ trung điểm của AB?
A. ( 0;1; – 1)
B. ( 2; -1; 2)
C. ( -2; 1; 0)
D. ( 0; 2; 2)
Lời giải:
+ Trục Oz: đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Phương trình Oz:
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương
+ Điểm A thuộc d nên A( 1+ a; 2; a) .
+ Điểm B thuộc Oz nên B( 0; 0; b)
+ Đường thẳng Δ đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương
+ Do đường thẳng Δ vuông góc với cả hai đường thẳng d và Oz nên :
=> Tọa độ hai điểm A(0; 2; – 1) và B( 0; 0; -1)
=>Tọa độ trung điểm của AB là M( 0; 1; – 1)
Chọn A.
Ví dụ: 8
Cho hai đường thẳng . Đường thẳng d cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2. Viết phương trình đường thẳng d?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương lần lượt là: .
+ Gọi giao điểm của d với hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A( 1; a; 1-a) .
+ Điểm B thuộc d2 nên B( 2+ b; 1- b; 2)
+ Ta có đường thẳng AB vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2 nên :
=> Phương trình d:
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Lời giải:
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
+ Hai đường thẳng d1; d2 có vecto chỉ phương lần lượt là :
+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng đã cho lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A( a; – 2a; a)
+ Điểm B thuộc d2 nên B( – 1+ 2b; 1 + 2b; -1+ b)
+ ta có đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng đã cho nên :
=> Phương trình d:
Chọn C.
Câu 2:
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho
Gọi M = d ∩ d1 => M ( m; – 2; 1- m) và N = d ∩ d2 => N ( 2; -1+n; -1+ n)
+ Hai đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương lần lượt là :
Ta có
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là (1; -1; 1)
Vậy phương trình của d là:
Chọn B.
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1; d2 cắt hai đường thẳng d1; d2 lần lượt tại A và B. Biết B( m; n; p). Tính m+ n- p?
A. – 2
B. 4
C. 0
D. – 3
Lời giải:
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Gọi A = d ∩ d1; B = d ∩ d2
+ Do A thuộc d1 nên A( 2a; 1+ a; – a)
+ Do B thuộc d2 nên B( 1- b; – 2; 2- b)
+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương
+ Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương
+ Ta có:
Chọn D.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A(- 2; 1; 3); B( 1;2; 1); C(0; 0; 2) và D(2; 3; 1) . Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Đường thẳng AC : Đi qua A( -2; 1; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên có phương trình :
+ Đường thẳng BD : đi qua B( 1; 2; 1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên có phương trình :
+ M thuộc AC nên M( – 2+ 2m; 1-m; 3- m)
+ N thuộc BD nên N( 1+ n; 2+ n; 1)
+ Ta có đường thẳng d vuông góc với AC và BD nên :
Chọn A.
Câu 5:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho ba điểm A(0; -1; 2); B( -1; 0; 1) và C(1;2 ; -1 ) . Gọi d là đường vuông góc chung của AB và OC. Độ dài đường vuông góc chung gần với số nào nhất?
A. 1
B.2
C. 3
D. 4
Lời giải:
+ Đường thẳng AB: Đi qua A( 0; -1; 2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình AB:
+ Đường thẳng OC: đi qua O( 0; 0 ; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình OC:
+ Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AB và OC. Gọi giao điểm của d với AB và OC lần lượt là M và N
+ Điểm M thuộc AB nên M( – m; – 1+ m; 2- m)
+ Điểm N thuộc OC nên N(n; 2n; – n)
.
=> Đường thẳng MN vuông góc với hai đường thẳng AB và OC.
Chọn A.
Câu 6:
Trong không gian với hệ trục Oxyz; cho các điểm A(-1; 0; 1) và B( 0;1;2). Đường thẳng d là đường thẳng vuông góc và cắt cả hai đường thẳng AB và trục Oy. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?
A. ( 0; 1; 1)
B. ( -1; 0; 1)
C. ( 0;0; 1)
D. ( 0; 1; 0)
Lời giải:
+ Đường thẳng AB có vectoc chỉ phương
+ Trục Oy có vecto chỉ phương là
+ Do đường thẳng d vuông góc với AB và Oy nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:
Chọn B.
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Đường thẳng Δ cắt và vuông góc với hai đường thẳng d và trục Oy tại A và B. Tìm tọa độ trung điểm của AB?
A. ( -1; 1; 0)
B. ( 2; -1; 2)
C. ( -2; 1; 0)
D. ( 0; 2; 2)
Lời giải:
+ Trục Oy: đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Phương trình Oy:
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương
+ Điểm A thuộc d nên A( -2; 1+ a; – a) .
+ Điểm B thuộc Oy nên B( 0;b; 0)
+ Đường thẳng Δ đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương
+ Do đường thẳng Δ vuông góc với cả hai đường thẳng d và Oy nên :
=> Tọa độ hai điểm A( -2; 1; 0) và B( 0; 1; 0)
=>Tọa độ trung điểm của AB là M( -1; 1; 0)
Chọn A.
Câu 8:
Cho hai đường thẳng Đường thẳng d cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d. Viết phương trình đường thẳng d?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương lần lượt là: .
+ Gọi giao điểm của d với hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A( a; – 1- a; 2) .
+ Điểm B thuộc d2 nên B( 2; 1+ b; 0)
+ Ta có đường thẳng AB vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2 nên :
=> Phương trình d:
Chọn C.
D. Bài tập tự luyện
Bài 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của đường thẳng (d): x−11=y2=z−11 và (d’): x=1+2ty=1+tz=t.
Bài 2. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết: (d1): x−2−1=y−1−1=z−2−1 và (d2): x=ty=3z=−2+t.
Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): x−11=y+21=z−3−1 và (d2): x1=y−12=z−63. Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d: x−22=y−33=z+4−5 và d′: x+13=y−4−2=z−4−1.
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A(- 2; 1; 3); B( 1;2; 1); C(0; 0; 2) và D(2; 3; 1) . Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại E và F. Tìm E?
Bài 6. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết: d1: x+12=y+21=z−11 và d2: x+2−4=y−11=z+2−1.
Bài 7. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết d1: x=1+ty=0z=−5+t và d2: x=0y=4−2uz=5+3u.
Bài 8. Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng chéo nhau d1: x=1+2ty=2+tz=−3+3t và d2: x=2+t’y=−3+2t’z=1+3t’. Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với d1 và d2.
Bài 9. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết d1: x−21=y−1−1=z−2−1 và d2: x=ty=3z=−2+t.
Bài 10. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1: x+12=y+21=z−11 và d2: x+2−4=y−11=z+2−1.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:
- Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
- Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
