Chứng minh (phổ biến nhất) thì khó hiểu lắm, khó hơn hẳn kiểu giải thích đơn giản cho người mới bắt đầu. Nó chiếm gần nửa học kỳ đại số trừu tượng ở trình độ cao học ở trường tôi, và cách thức chứng minh không hề dễ hiểu, ít nhất là với tôi (mà tôi khá giỏi mấy thứ này đấy nhé). Đó là một phần toán học phi thường, càng phi thường hơn khi được một anh chàng 18 tuổi làm ra.
Nhưng tôi sẽ phác thảo nó một cách khái quát.
Vậy. Chúng ta cần một cách nào đó để mô tả một đối tượng toán học cho biết liệu một đa thức có nghiệm hay không. Ngay cả việc bắt đầu ở đâu cũng không rõ ràng. Nhưng đây là một ý tưởng: nếu chúng ta nghĩ về điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta có các số hữu tỉ và “gắn” các nghiệm của đa thức vào đó thì sao?
Ví dụ, nếu chúng ta có đa thức x2 + 1 = 0, ta có thể “gắn” +i và -i (hai nghiệm của đa thức này) vào các số hữu tỉ. Điều này dẫn đến tất cả các số có dạng a + bi, trong đó a và b đều là các số hữu tỉ (chú ý rằng đây là một tập con của số phức, không phải tất cả). Chúng ta gọi thao tác này là phép mở rộng trường, bởi vì cả hai đối tượng đều là trường, một loại đối tượng toán học “hoạt động giống như” các số hữu tỉ theo một nghĩa nào đó. (Cụ thể, một trường là một tập hợp mà trên đó bạn có thể cộng, trừ, nhân và chia cho các giá trị khác không, và hóa ra “lấy các số hữu tỉ và gắn các nghiệm của một đa thức vào chúng” luôn dẫn đến một đối tượng như vậy.)
Trừu tượng hơn, chúng ta lấy trường Q của các số hữu tỉ (Q là ký hiệu thông thường của chúng), và đối với bất kỳ đa thức P nào có các nghiệm x1, x2, x3, …, xn, chúng ta có thể tạo ra một trường mới mà chúng ta viết là Q[x1, x2, x3…, xn] của các số hữu tỉ với các nghiệm bổ sung này. Chúng ta gọi trường mới, lớn hơn này là trường phân rã của đa thức P của chúng ta.
Điều này hữu ích vì nó đưa chúng ta ra khỏi phạm vi đa thức của chúng ta và vào phạm vi nói về các đối tượng đại số trừu tượng (thường là nơi các nhà toán học thích sống). Nhưng điều này giúp ích chúng ta như thế nào?
À, hóa ra – và một lần nữa điều này không hề rõ ràng và cần rất nhiều công sức để chứng minh – mối quan hệ giữa Q và trường phân rã Q[x1, x2, …, xn] mã hóa thông tin chúng ta muốn.
Quay lại ví dụ trước đây của chúng ta: chúng ta đã lấy các số hữu tỉ và thêm +i và -i vào chúng. Nhưng các tính chất của các số “phức hữu tỉ” này sẽ không thay đổi nếu chúng ta hoán đổi +i và -i, và chúng ta sẽ không làm rối các số hữu tỉ không có phần ảo bằng cách làm như vậy. Nói cách khác, chúng ta có một phép toán:
-
Giữ nguyên các tính chất của trường lớn hơn (trường phân rã) và
-
Không thay đổi trường nhỏ hơn, trong trường hợp của chúng ta là Q, chút nào cả.
Nếu chúng ta lấy tất cả các phép toán làm điều này – và có thể có khá nhiều phép toán như vậy – chúng tạo thành một loại cấu trúc toán học khác được gọi là nhóm. Nhóm là một loại đối tượng toán học rất phổ biến, bởi vì theo một nghĩa nào đó, chúng mô tả các đối xứng và phép biến đổi một cách rất tổng quát, và việc nghiên cứu các đối xứng của một đối tượng thường là một cách để hiểu các tính chất của nó.
Nhóm cụ thể này, mà chúng ta gọi là nhóm Galois, mã hóa thông tin về cách các nghiệm của đa thức của chúng ta mở rộng các số hữu tỉ. Trong một số trường hợp, khi các nghiệm của đa thức đều là số hữu tỉ, nó không mở rộng các số hữu tỉ chút nào (bởi vì bạn đã có thể “đến được” các số đó). Trong các trường hợp khác, nó mở rộng các số hữu tỉ theo nhiều cách khác nhau.
Được rồi, nhưng điều đó giúp chúng ta như thế nào?
À, hóa ra các tính chất của nhóm Galois cho chúng ta biết điều gì đó về các nghiệm của đa thức ban đầu – cụ thể là, nếu chúng có thể được mô tả chỉ bằng các phép toán số học và phép khai căn bậc n.
Hóa ra các nghiệm có thể được mô tả theo cách này mở rộng các số hữu tỉ theo một cách rất cụ thể. Các phần mở rộng kết quả – và các nhóm Galois tương ứng từ phần trước – chỉ có thể có một loại cấu trúc cụ thể.
Vì chúng ta có thể xây dựng phần mở rộng đầy đủ của mình bằng tất cả các nghiệm bằng cách mở rộng từng nghiệm một, chúng ta nhận được một chuỗi các nhóm Galois cho mỗi phần mở rộng đó. Và hóa ra nếu chuỗi đó có các tính chất cụ thể – hóa ra là tương đương với nhóm Galois đầy đủ là một cái gọi là nhóm khả giải [, thì đa thức ban đầu có một nghiệm có thể được viết chỉ bằng số học và căn thức.
Cuối cùng, chúng ta chỉ ra rằng có ít nhất một đa thức bậc 5 – hóa ra x5 – x – 1 hoạt động – có nhóm Galois không khả giải. Sau đó, chúng ta làm việc ngược lại:
-
Đa thức này có nhóm Galois không khả giải.
-
Do đó, chuỗi mở rộng của nó không có tính chất mà nó sẽ có nếu mọi nghiệm đều có thể được viết chỉ bằng số học và căn thức.
-
Do đó, đa thức này không có nghiệm chỉ bằng số học và căn thức.
-
Do đó, không có công thức tổng quát nào có thể giải mọi đa thức theo cách đó.
Hóa ra nhóm Galois không khả giải nhỏ nhất cần ít nhất năm nghiệm, và do đó là một đa thức có bậc ít nhất là 5, điều này giải thích tại sao bậc năm không thể được giải bằng công thức chỉ sử dụng số học và căn thức (và 2, 3 và 4 thì có thể).
