1) Vì (Delta ABC) vuông tại (A) và nội tiếp (left( O right)) nên (BC) là đường kính của (left( O right)).
Ta có: (left{ begin{array}{l}AB bot ACCD//ABend{array} right.,,left( {gt} right) Rightarrow AC bot CD) (từ vuông góc đến song song) ( Rightarrow angle ACD = {90^0}).
Xét tứ giác (AECD) có: (angle AED = angle ACD = {90^0}) ( Rightarrow AECD) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
2) Do tứ giác (AECD) nội tiếp (cmt) nên: (angle CAE = angle CDE) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (CE))
Mà (angle CDE = angle ABF) (so le trong)
( Rightarrow angle CAE = angle ABF).
Mặt khác: (angle AOF = 2angle ABF) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung (AF))
( Rightarrow angle AOF = 2angle CAE) (đpcm).
3) Do tứ giác (AECD) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên: (angle ACE = angle ADE) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung (AE)).
Ta có: (angle ADE = angle DBC) (so le trong do (AD//BC)) ( Rightarrow angle ACE = angle DBC).
Mà (angle DBC = angle FBC = angle FAC) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (FC))
( Rightarrow angle ACE = angle FAC). Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên (AF//EC) (dhnb) (1)
Mặt khác: (angle CFE = {90^0}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên (CF bot FE) hay (CF bot BD).
Mà (AE bot BD,,left( {gt} right)) nên (AE//CF) (từ vuông góc đến song song) (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác (AECF) là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối song song).
4) Gọi (left{ T right} = AC cap BD).
Ta có: (left{ begin{array}{l}AB//CDAD//BCend{array} right.,,left( {gt} right) Rightarrow ABCD) là hình bình hành (dhnb) ( Rightarrow TA = TC,,,TB = TD) và (AB = CD) (tính chất).
Xét (Delta DCT) vuông tại (C) có (CF bot BD,,left( {cmt} right) Rightarrow CF bot DT) ( Rightarrow CF) là đường cao nên:
(C{D^2} = DF.DT) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
( Rightarrow 2.C{D^2} = 2.DF.DT = left( {2.DT} right).DF = DB.DF).
Mà (AB = CD) (cmt).
Vậy (DF.DB = 2A{B^2}) (đpcm).
