Số vô tỉ

Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số a b {displaystyle {frac {a}{b}}} ( a {displaystyle a} và b {displaystyle b} là các số nguyên).Tập hợp số vô tỉ ký hiệu là I {displaystyle mathbb {I} }

I = { x | x ≠ m n ∀ m ∈ Z , ∀ n ∈ Z ∗ } {displaystyle mathbb {I} =left{x|xneq {frac {m}{n}}forall min mathbb {Z} ,forall nin mathbb {Z^{*}} right}}

Ví dụ:

1. Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi: 0,1010010001000010000010000001… (Số thập phân vô hạn không tuần hoàn)
2. Số 2 {displaystyle {sqrt {2}}} = 1,414213…
3. Số π = 3 , 141592653589793… {displaystyle pi =3,141592653589793…,}
4. Số logarit tự nhiên e = 2,718281…

Người ta đã chứng minh được rằng, tập hợp các số vô tỉ có lực lượng lớn hơn tập hợp các số hữu tỉ. Xem chứng minh ở bài tập hợp đếm được.

Có thể dùng biểu diễn thập phân (hay sự biểu diễn của một số trong hệ thập phân) của một số để định nghĩa số hữu tỉ và số vô tỉ.

Nếu như mọi số hữu tỉ đều có biểu diễn thập phân hoặc hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví dụ: 1 2 = 0 , 5 {displaystyle {frac {1}{2}}=0,5,} ) hoặc vô hạn tuần hoàn (số thập phân vô hạn tuần hoàn, ví dụ: 1 11 = 0 , 09 ¯ {displaystyle {frac {1}{11}}=0,{overline {09}},} ) thì số vô tỉ có biểu diễn thập phân vô hạn nhưng không tuần hoàn (ví dụ: π = 3 , 141592653589793… {displaystyle pi =3,141592653589793…,} .)

Một số thực là số vô tỷ khi và chỉ khi biểu diễn liên phân số của nó là vô hạn.

1. Giả sử rằng 2 {displaystyle {sqrt {2}}} là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a b {displaystyle {frac {a}{b}}} = 2 {displaystyle {sqrt {2}}} .
2. Như vậy 2 {displaystyle {sqrt {2}}} có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọn được nữa): a b {displaystyle {frac {a}{b}}} với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và ( a b ) 2 = 2 {displaystyle left({frac {a}{b}}right)^{2}=2}
3. Từ (2) suy ra a 2 b 2 = 2 {displaystyle {frac {a^{2}}{b^{2}}}=2} và a 2 = 2 b 2 {displaystyle a^{2}=2b^{2}}
4. Khi đó a 2 {displaystyle a^{2}} là số chẵn vì nó bằng 2 b 2 {displaystyle 2b^{2}} (hiển nhiên là số chẵn)
5. Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a 2 {displaystyle a^{2}} là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).
6. Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2 k ( k ∈ N ) {displaystyle a=2k(kin N)}
7. Thay (6) vào (3) ta có: ( 2 k ) 2 = 2 b 2 ⇔ 4 k 2 = 2 b 2 ⇔ 2 k 2 = b 2 {displaystyle (2k)^{2}=2b^{2}Leftrightarrow 4k^{2}=2b^{2}Leftrightarrow 2k^{2}=b^{2}}
8. Vì 2 k 2 = b 2 {displaystyle 2k^{2}=b^{2}} mà 2 k 2 {displaystyle 2k^{2}} là số chẵn nên b 2 {displaystyle b^{2}} là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn [lý luận tương tự như (5)].
9. Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a b {displaystyle {frac {a}{b}}} là phân số tối giản ở (2).

Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận 2 {displaystyle {sqrt {2}}} là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận 2 {displaystyle {sqrt {2}}} là số vô tỉ.

Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: “căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ.”

Để chứng minh: ” 2 {displaystyle {sqrt {2}}} là một số vô tỉ” người ta còn dùng phương pháp phản chứng theo một cách khác, cách này ít nổi tiếng hơn cách ở trên.

1. Giả sử rằng 2 {displaystyle {sqrt {2}}} là một số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số nguyên dương m và n sao cho m n = 2 {displaystyle {frac {m}{n}}={sqrt {2}}}
2. Biến đổi đẳng thức trên, ta có: m n = 2 n − m m − n {displaystyle {frac {m}{n}}={frac {2n-m}{m-n}}}
3. Vì 2 {displaystyle {sqrt {2}}} > 1, nên từ (1) suy ra m > n ⇔ m > 2 n − m {displaystyle m>nLeftrightarrow m>2n-m}
4. Từ (2) và (3) suy ra 2 n − m m − n {displaystyle {frac {2n-m}{m-n}}} là phân số rút gọn của phân số m n {displaystyle {frac {m}{n}}}

Từ (4) suy ra, m n {displaystyle {frac {m}{n}}} không thể là phân số tối giản hay 2 {displaystyle {sqrt {2}}} không thể là số hữu tỉ – mâu thuẫn với giả thiết 2 {displaystyle {sqrt {2}}} là một số hữu tỉ. Vậy 2 {displaystyle {sqrt {2}}} phải là số vô tỉ.

Cách chứng minh trên tương tự với cách dùng phép dựng hình để chứng minh giả thuyết về số 2 {displaystyle {sqrt {2}}} – một loại phương pháp chứng minh được sử dụng bởi các nhà hình học Hy lạp cổ đại. Xét một tam giác vuông cân mà độ dài tương ứng của các cạnh góc vuông và cạnh huyền là hai số nguyên dương n và m. Áp dụng Định lý Pytago, ta suy ra tỉ số m n {displaystyle {frac {m}{n}}} bằng 2 {displaystyle {sqrt {2}}} . Mặt khác, bằng phương pháp dựng hình cổ điển com-pa và thước thẳng ta dựng được một tam giác vuông cân nhỏ hơn với độ dài của các cạnh góc vuông và cạnh huyền tương ứng bằng m − n {displaystyle m-n} và 2 n − m {displaystyle 2n-m} . Áp dụng Định lý Pytago cho tam giác thứ hai, ta suy ra tỉ số 2 n − m m − n {displaystyle {frac {2n-m}{m-n}}} cũng bằng 2 {displaystyle {sqrt {2}}} . Như vậy, m n = 2 n − m m − n {displaystyle {frac {m}{n}}={frac {2n-m}{m-n}}} , điều này chứng tỏ phân số m n {displaystyle {frac {m}{n}}} không thể là phân số tối giản hay 2 {displaystyle {sqrt {2}}} không phải là số hữu tỉ mà phải là số vô tỉ.

Giả sử 10 {displaystyle {sqrt {10}}} là số hữu tỉ, tức là bằng m n {displaystyle {frac {m}{n}}} , vậy:

m 2 = 10 n 2 {displaystyle m^{2}=10n^{2}} trong đó m, n là số nguyên

Tuy nhiên, trong hệ thập phân, bất kỳ số bình phương nào cũng có số chẵn số 0 ở cuối. (Chứng minh: Bất kỳ số nguyên n nào, trong hệ thập phân, đều có dạng: a × 10 k ; k ≥ 0 {displaystyle atimes 10k;kgeq 0} , trong đó a không kết thúc bằng số 0. Vậy bất kỳ số bình phương n 2 {displaystyle n^{2}} nào cũng có dạng: a 2 × 10 2 k ; k ≥ 0 {displaystyle a^{2}times 10^{2k};kgeq 0} .)

Như vậy, trong đẳng thức ở trên, vế trái có số chẵn số 0 ở cuối, nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết 10 {displaystyle {sqrt {10}}} là số hữu tỉ phải sai.

Giả sử A = 2 3 {displaystyle {sqrt[{3}]{2}}} là một số hữu tỉ.Có nghĩa là tồn tại m,n là số nguyên sao cho A = m n {displaystyle A={frac {m}{n}}} . Suy ra A là nghiệm hữu tỉ của phương trình:

x 3 = 2 {displaystyle x^{3}=2} ;

Suy ra m là ước của 2, n là ước của 1. Tuy nhiên không có m nào là ước của 2 mà lũy thừa 3 bằng 2. Vậy A là vô tỉ.

Dùng cùng phương pháp này, ta có thể chứng minh rằng căn bậc hai của bất kỳ số nguyên nào cũng phải hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ.

Lấy số nguyên bất kỳ r.

• Ví dụ, r = 2.

Trong hệ nhị phân, 2 = 10 2 {displaystyle 2=10_{2}}

Vậy, như ở trên, nếu 10 2 {displaystyle {sqrt {10_{2}}}} = m n {displaystyle {frac {m}{n}}} thì, trong hệ nhị phân:

m 2 = 10 2 n 2 {displaystyle m^{2}=10_{2}n^{2}} trong đó m, n là số nguyên

Trường hợp n = 1 không thể xảy ra, vì ta biết 2 {displaystyle {sqrt {2}}} không phải là số nguyên.

Lập luận như trên, vế trái có số chẵn số 0 (trong hệ nhị phân) ở cuối, nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết 10 2 {displaystyle {sqrt {10_{2}}}} là số hữu tỉ phải sai.

• Với số nguyên r bất kỳ, cũng chứng minh như trên trong hệ r – phân:

m 2 = 10 r n 2 {displaystyle m^{2}=10_{r}n^{2}} trong đó m, n là số nguyên

Nếu n = 1 thì m 2 = 10 r = r {displaystyle m^{2}=10_{r}=r} , vậy r {displaystyle {sqrt {r}}} là số nguyên.

Còn nếu n ≠ 1 thì, như trên, một số bình phương trong hệ r – phân phải có số chẵn số 0 (trong hệ r – phân) ở cuối. Do đó trong đẳng thức này vế trái có số chẵn số 0 ở cuối nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy r {displaystyle {sqrt {r}}} không thể là số hữu tỉ.

Bổ sung của rimusm: trong các phép toán học, nếu chứng minh được “tồn tại một ngoại lệ nào đó”, thì phép định nghĩa “tất cả” được chứng minh là SAI. Ở đây, mình chỉ ra được một tồn tại, đó là căn bậc hai của 4 sẽ bằng “2”, và 4 là một số nguyên, 2 là một số nguyên (không phải là một số vô tỉ). Như vậy, tiêu đề phải sửa là “căn bậc hai của tất cả các số nguyên tố đều là số vô tỉ”.

Điểm I chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ vàng nếu A, I, B thẳng hàng và

A I A B = I B A I = 1 + 5 2 {displaystyle {AI over AB}={IB over AI}={1+{sqrt {5}} over 2}} với Ai > IB

Tỉ số vàng là một số vô tỉ. Thật vậy, giả sử tỉ số này là một số hữu tỉ, thì nó có dạng phân số tối giản là x a {displaystyle {frac {x}{a}}} , với x là chiều dài của cả đoạn và a là chiều dài của phần lớn. Suy ra, chiều dài của phần nhỏ là x − a. Và ta có:

x a = w h o l e l o n g e r p a r t = l o n g e r p a r t s h o r t e r p a r t = a x − a {displaystyle {x over a}={mathrm {whole} over mathrm {longer} mathrm {part} }={mathrm {longer} mathrm {part} over mathrm {shorter} mathrm {part} }={a over x-a}}

Điều này có nghĩa là phân số tối giản x a {displaystyle {frac {x}{a}}} được rút gọn thành a x − a {displaystyle {frac {a}{x-a}}} – một sự vô lý. Sự vô lý này chứng tỏ việc thừa nhận tỉ số φ là số hữu tỉ là sai. Vậy φ là một số vô tỉ.

Có lẽ, các số vô tỉ dễ nhận ra nhất là các lôgarít. Dưới đây ta sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh rằng log23 là một số vô tỉ:

1. Giả sử log23 là một số hữu tỉ. Khi đó tồn tại hai số nguyên dương m và n thỏa mãn: log23 = m/n.
2. Từ (1) suy ra 2m/n = 3.
3. Nâng hai vế của (2) lên lũy thừa bậc n, ta có: 2m = 3n.
4. Mặt khác, 2m – lũy thừa cơ số 2 với số mũ nguyên dương luôn lớn hơn 0 và chẵn (vì là tích với ít nhất một thừa số 2), còn 3n – lũy thừa cơ số 3 với số mũ nguyên dương luôn lớn hơn 0 và lẻ (vì là tích của các thừa số lẻ), nên 2m ≠ 3n.
5. Từ (3) và (4) suy ra mâu thuẫn, chứng tỏ điều giả sử ban đầu: “log23 là một số hữu tỉ” là sai.

Tương tự, bạn có thể chứng minh cho trường hợp: log102.

Xem chứng minh ở bài số e.

Một số vô tỉ hoặc là số siêu việt hoặc là số đại số (hay Không-đa thức với các hệ số nguyên), trong đó hầu hết các số vô tỉ đều là số siêu việt và số siêu việt là số vô tỉ. Ví dụ: 2 {displaystyle {sqrt {2}}} , 3 {displaystyle {sqrt {3}}} là các số vô tỉ đại số; còn e và π là các số vô tỉ siêu việt.

Có thể tạo ra các số vô tỉ đại số, bằng cách xét các phương trình đa thức:

p ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 {displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0}=0}

Trong đó, các hệ số a i {displaystyle a_{i}} là số nguyên và a n ≠ 0 {displaystyle a_{n}neq 0}

Giả sử rằng có ít nhất một số thực x sao cho p ( x ) = 0 {displaystyle p(x)=0} (ví dụ, với n lẻ ta luôn tìm được một số x như vậy) thì x là số vô tỉ khi phương trình đa thức trên không có nghiệm hữu tỉ. Nếu đa thức p có nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó có dạng r s {displaystyle {frac {r}{s}}} , trong đó: r là ước của a 0 {displaystyle a_{0}} và s là ước của a n {displaystyle a_{n}} . Vì thế bằng cách thử trực tiếp các giá trị r s {displaystyle {frac {r}{s}}} trên bạn có thể biết chúng có phải là nghiệm của p không. Nếu tất cả các giá trị đó đều không là nghiệm của p thì x phải là số vô tỉ.

Ví dụ, bằng cách trên bạn có thể chỉ ra rằng x = ( 2 1 / 2 + 1 ) 1 / 3 {displaystyle x=(2^{1/2}+1)^{1/3}} là một số vô tỉ đại số. Thật vậy, ta có ( x 3 − 1 ) 2 = 2 {displaystyle (x^{3}-1)^{2}=2} do đó x 6 − 2 x 3 − 1 = 0 {displaystyle x^{6}-2x^{3}-1=0} , phương trình thứ hai là một phương trình đa thức không có nghiệm hữu tỉ, vì các giá trị r s = ± 1 {displaystyle {frac {r}{s}}=pm 1} đều không phải là nghiệm của nó.

Để tạo ra các số vô tỉ siêu việt, bạn không thể dùng cách kết hợp các số đại số với nhau, vì các số đại số lập thành một trường, hơn nữa, là một trường đóng. Nhưng bạn có thể dùng cách kết hợp các số siêu việt với các số đại số. Ví dụ: 3 π + 2 {displaystyle 3pi +2} , π + 2 {displaystyle pi +{sqrt {2}}} , và e + 3 {displaystyle e+{sqrt {3}}} là các số vô tỉ (cũng là các số siêu việt).

Các số π + e {displaystyle pi +e} và π − e {displaystyle pi -e} là số vô tỉ hay không phải là số vô tỉ? Thực tế, chưa ai tìm ra được một cặp số nguyên khác Không m và n để khẳng định rằng m π + n e {displaystyle mpi +ne} hoặc là số vô tỉ hoặc không phải là số vô tỉ.

Cũng chưa ai khẳng định được các số: 2 e {displaystyle 2^{e}} , π e {displaystyle pi ^{e}} , π 2 {displaystyle pi ^{sqrt {2}}} , hằng số Catalan và hằng số Euler-Mascheroni γ có phải là số vô tỉ hay không.

Mặt khác, theo Công thức Euler thì eiπ + 1 = 0 nên eiπ = -1 lại là một số nguyên, tức là số hữu tỉ

Tập hợp số vô tỉ là tập hợp không đếm được (trong khi tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được và tập hơp số thực là tập hợp cả số vô tỉ và hữu tỉ.. Tập hợp số vô tỉ đại số, hay tập hợp số vô tỉ không siêu việt, là tập hợp đếm được. Tập hợp số vô tỉ dùng giá trị tuyệt đối làm độ đo khoảng cách là một không gian Metric không đầy đủ. Tuy nhiên, không gian Metric này đồng phôi với không gian Metric đầy đủ của tất cả các dãy số nguyên dương; với ánh xạ đồng phôi cho bởi liên phân số mở rộng. Điều đó được chứng minh bằng định lý Baire cho không gian các số vô tỉ. Trong khi, tập hợp các số thực với tính tô-pô thông thường là liên thông, thì không gian Barie, cùng với tính tô-pô như các số thực, được gọi là tô-pô thứ tự, lại hoàn toàn rời rạc: không có một ánh xạ nào đi từ số vô tỉ này đến độ dài của một số vô tỉ khác.

N {displaystyle mathbb {N} } : Tập hợp số tự nhiên Z {displaystyle mathbb {Z} } : Tập hợp số nguyên Q {displaystyle mathbb {Q} } : Tập hợp số hữu tỉ I = R ∖ Q {displaystyle mathbb {I} =mathbb {R} setminus mathbb {Q} } : Tập hợp số vô tỉ R {displaystyle mathbb {R} } : Tập hợp số thực

• số e
• Số hữu tỉ
• Số nguyên
• Số nguyên tố
• Số tự nhiên
• Số đại số
• Số siêu việt
• Số thực
• Số phức
• Số siêu phức

Bản mẫu:Số vô tỷ

• Eric W. Weisstein, Irrational Number tại MathWorld.
• Square root of 2 is irrational