Trong bài viết nhỏ này thì chúng ta cùng nhau đi tìm hiểu về cách tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng phương pháp đổi biến số
Để mà nói đầy đủ lý thuyết ra là đổi biến số loại 1, loại 2, đặt thế này thế kia là khá lằng nhằng, điều đó sẽ cực kỳ có ích khi ta đã hiểu cách làm, biết được một số bài toán cơ bản, sau đó đọc kỹ để trau dồi thêm kinh nghiệm cũng như dạng bài tập. Còn trong bài viết này ta sẽ dần hiểu cách làm cũng như ý tưởng phương pháp đổi biến số nguyên hàm thông qua các ví dụ, bài tập có lời giải trực tiếp
Dưới đây là các bài tập có lời giải chi tiết về phương pháp nguyên hàm đổi biến số
1.Nguyên hàm đổi biến số các hàm đa thức
Giải.
Ta đặt $u=2x+1Rightarrow du=2dx$ hay $displaystyle dx=frac{du}{2}$. Khi đó nguyên hàm $I$ được viết lại
$displaystyle I=int{{{u}^{5}}frac{du}{2}}=frac{1}{2}int{{{u}^{5}}du}=frac{1}{2}cdot frac{1}{6}{{u}^{6}}+C=frac{{{u}^{6}}}{12}+C$
$displaystyle I=frac{{{(2x+1)}^{6}}}{12}+C$
Giải.
Ta đặt $u={{x}^{2}}+1Rightarrow du=2xdx$ hay $displaystyle xdx=frac{du}{2}$. Khi đó nguyên hàm $I$ được viết lại
$displaystyle I=int{{{u}^{4}}frac{du}{2}}=frac{1}{2}int{{{u}^{4}}du}=frac{1}{2}cdot frac{1}{5}{{u}^{5}}+C=frac{{{u}^{5}}}{10}+C$
$displaystyle I=frac{{{({{x}^{2}}+1)}^{5}}}{10}+C$
2. Nguyên hàm đổi biến số các hàm có chứa căn
Thêm một ví dụ có chứa căn
Giải.
Ta đặt $u=5-3{{x}^{2}}Rightarrow du=-6xdx$ hay $displaystyle xdx=frac{du}{-6}$. Khi đó nguyên hàm $I$ được viết lại
$displaystyle I=int{sqrt{u}frac{du}{-6}}=-frac{1}{6}int{sqrt{u}du}=-frac{1}{6}int{{{u}^{frac{1}{2}}}du}=-frac{1}{6}frac{{{u}^{frac{3}{2}}}}{frac{3}{2}}+C=-frac{1}{9}{{u}^{frac{3}{2}}}+C$
$displaystyle I=-frac{1}{9}{{(5-3x)}^{frac{3}{2}}}+C$
Đặt $displaystyle x=2sin t,tin left[ -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right]$
$ displaystyle Rightarrow left{ begin{align} & t=arcsin frac{x}{2} & dx=2cos tdt end{align} right.$
Khi đó $int{sqrt{4-{{left( 2sin t right)}^{2}}}}2cos tdt=2int{sqrt{4left( 1-{{sin }^{2}}t right)}}cos tdt$
$displaystyle =2.2int{sqrt{1-{{sin }^{2}}t}}cos tdt=4int{cos t.cos tdt}=4int{{{cos }^{2}}t}dt$
$displaystyle =4int{frac{1+cos 2t}{2}dt=2int{left( 1+cos 2t right)dt}}=2left( t+frac{sin 2t}{2} right)+C$
$displaystyle 2t+sin 2t+C=2arcsin frac{x}{2}+sin left( 2arcsin frac{x}{2} right)+C$
3 Nguyên hàm đổi biến số của các hàm số lượng giác
Thêm một ví dụ về lượng giác
Giải.
Ta đặt $u=3x+1Rightarrow du=3dx$ hay $displaystyle dx=frac{du}{3}$. Khi đó nguyên hàm $I$ được viết lại
$displaystyle I=int{cos u}frac{du}{3}=frac{1}{3}int{cos udu}=frac{1}{3}sin u+C$
$displaystyle I=frac{1}{3}sin (3x+1)+C$
Thêm một ví dụ về lượng giác nữa
Giải.
Ta đặt $u=sin xRightarrow du=cos xdx$. Khi đó nguyên hàm $I$ được viết lại
$displaystyle I=int{{{u}^{3}}du}=frac{{{u}^{4}}}{4}+C$
$displaystyle I=frac{{{sin }^{4}}x}{4}+C$
Giải.
Đặt $u=1+cos xRightarrow du=-sin xdx$ hay $sin xdx=-du$. Khi đó nguyên hàm được viết lại
$displaystyle int{frac{-2text{d}u}{u}=-2int{frac{1}{u}du}=-2ln left| u right|+C=-frac{1}{2}}ln left| 1+cos x right|+C$
4 Nguyên hàm đổi biến số các hàm phân thức hữu tỷ
Ít nhất là phải làm được các dạng bài tập như ở đây nha!
Giải.
Đặt $u=1+{{x}^{2}}Rightarrow du=2xdx$ hay $displaystyle xdx=frac{du}{2}$
Dễ thấy $u=1+{{x}^{2}}Rightarrow {{x}^{2}}=u-1$
Khi đó nguyên hàm đã cho được viết lại thành
$displaystyle int{frac{{{x}^{3}}}{1+{{x}^{2}}}dx}=int{frac{{{x}^{2}}.xdx}{1+{{x}^{2}}}}=int{frac{left( u-1 right)du}{u}}$
$displaystyle =int{left( 1-frac{1}{u} right)du}=u-ln left| u right|+C=left( 1+{{x}^{2}} right)-ln left( 1+{{x}^{2}} right)+C$
Đố. Đố các bạn tại sao lại là $ln left( 1+{{x}^{2}} right)$, đáng lẽ phải là $ln left| 1+{{x}^{2}} right|$ chứ???
Thêm một ví dụ nâng cấp cho dạng nguyên hàm đổi biến số của hàm hữu tỷ
Giải.
Đặt $u={{x}^{2}}+2x-3Rightarrow du=2(x+1)dx$ hay $displaystyle (x+1)dx=frac{du}{2}$
Dễ thấy $u={{x}^{2}}+2x-3=left( {{x}^{2}}+2x+1 right)-4={{(x+1)}^{2}}-4$ hay ${{(x+1)}^{2}}=u+4$
Khi đó nguyên hàm đã cho được viết lại thành
$displaystyle int{frac{{{left( x+1 right)}^{2}}left( x+1 right)}{{{x}^{2}}+2x-3}dx}=int{frac{u+4}{u}cdot frac{du}{2}}=frac{1}{2}int{left( 1+frac{4}{u} right)du}$
$displaystyle =frac{1}{2}left( u+4ln left| u right| right)+C=frac{1}{2}left[ left( {{x}^{2}}+2x-3 right)+4ln left| {{x}^{2}}+2x-3 right| right]+C$
Cũng không khó lắm đúng không nào? Tuy nhiên cũng sẽ lấy đi kha khá chất xám của các bạn đấy kakaka…
