1) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là điểm nằm trên BD sao cho KD < KB. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK).
Giải:
*) Tìm giao điểm của CD với (MNK).
Để ý CD và NK cùng thuộc mặt phẳng (BCD) và chúng không song song nên hai đường thẳng này sẽ cắt nhau tại một điểm I, nhưng NK lại thuộc mp(MNK) suy ra I thuộc mp(MNK).
Vậy I chính là giao điểm của CD và mp(MNK).
Ta có thể trình bày lời giải như sau:
Trong mặt phẳng (BCD), gọi (I = CD cap NK).
(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{I in CD}{I in NK,NK subset (MNK)}end{array}} right. Rightarrow I = CD cap (MNK)).
*) Tìm giao điểm của AD và (MNK).
Chọn mặt phẳng (ADC) chứa AD. Sau đó tìm giao tuyến của (ACD) và (MNK), ta trình bày như sau:
(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{M in (MNK)}{M in AC,AC subset (ACD)}end{array}} right. Rightarrow M in (MNK) cap (ACD)).
(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{I in NK,NK subset (MNK)}{I in CD,CD subset (ACD)}end{array}} right. Rightarrow I in (MNK) cap (ACD)).
Vậy ((MNK) cap (ACD) = MI). Gọi (H = MI cap AD). Suy ra (H = AD cap (MNK)).
2) Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC, BD lấy lần lượt ba điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC, MP không song song với AD. Xác định giao điểm của các đường thẳng BC, AD, CD với mặt phẳng (MNP).
Giải:
*) Tìm giao điểm của BC và (MNP).
Trong (ABC), gọi (H = MN cap BC).
(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{H in BC}{H in MN,MN subset (MNP)}end{array}} right. Rightarrow H in BC cap (MNP)).
*) Tìm giao điểm của AD và (MNP).
Trong (ACD), gọi (I = MP cap AD).
(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{I in AD}{I in MP,MP subset (MNP)}end{array}} right. Rightarrow I in AD cap (MNP)).
*) Tìm giao điểm của CD và (MNP).
(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{I in AD,AD subset (ACD)}{N in AC,AC subset (ACD)}end{array}} right. Rightarrow IN subset (ACD)).
Trong (ACD), gọi (J = NI cap CD).
(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{J in CD}{I in NI,NI subset (MNP)}end{array}} right. Rightarrow J = CD cap (MNP)).
