Xem thêm các bài viết:
>>Khai triển Taylor và ứng dụng
>>Ứng dụng của đạo hàm trong phân tích kinh tế
Một số công thức đạo hàm cấp cao của hàm số thường gặp
$begin{array}{l} y = sin (ax + b) Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}sin left( {ax + b + dfrac{{npi }}{2}} right) y = cos (ax + b) Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}cos left( {ax + b + dfrac{{npi }}{2}} right) y = dfrac{1}{{ax + b}} Rightarrow {y^{(n)}}(x) = dfrac{{{{( – 1)}^n}{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}} y = {e^{ax + b}} Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}{e^{ax + b}}. y = {(ax + b)^alpha } Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}alpha (alpha – 1)…(alpha – n + 1){(ax + b)^{alpha – n}} end{array}$
Công thức Lepnit tính đạo hàm cấp cao của hàm số tích
Cho các hàm số $y=u(x),y=v(x)$ có đạo hàm đến cấp $n$ khi đó ${{left[ u(x).v(x) right]}^{(n)}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{u}^{(k)}}(x){{v}^{(n-k)}}(x)}.$
Chứng minh. Ta dùng phương pháp quy nạp:
Với $n=1Rightarrow (uv{)}’=u{v}’+{u}’v=C_{1}^{0}u{v}’+C_{1}^{1}{u}’v$ công thức đúng.
Giả sử công thức đúng đến $n-1$ tức ${{left[ u(x).v(x) right]}^{(n-1)}}=sumlimits_{k=0}^{n-1}{C_{n-1}^{k}{{u}^{(k)}}(x){{v}^{(n-1-k)}}(x)}.$
Khi đó:
[begin{gathered} {left[ {u(x).v(x)} right]^{(n)}} = {left( {{{left[ {u(x).v(x)} right]}^{(n – 1)}}} right)^prime } = {left( {sumlimits_{k = 0}^{n – 1} {C_{n – 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n – 1 – k)}}(x)} } right)^prime } = sumlimits_{k = 0}^{n – 1} {C_{n – 1}^k} left( {{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n – 1 – k)}}(x) + {u^{(k)}}(x){v^{(n – k)}}(x)} right) = sumlimits_{k = 0}^{n – 1} {C_{n – 1}^k{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n – 1 – k)}}(x)} + sumlimits_{k = 0}^{n – 1} {C_{n – 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n – k)}}(x)} = sumlimits_{k = 0}^{n – 1} {C_{n – 1}^{(k + 1) – 1}{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n – (k + 1))}}(x)} + sumlimits_{k = 0}^{n – 1} {C_{n – 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n – k)}}(x)} = sumlimits_{k = 1}^n {C_{n – 1}^{k – 1}{u^{(k)}}(x){v^{(n – k)}}(x)} + sumlimits_{k = 0}^{n – 1} {C_{n – 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n – k)}}(x)} = C_{n – 1}^0{u^{(0)}}(x){v^{(n)}}(x) + C_{n – 1}^{n – 1}{u^{(n)}}(x){v^{(0)}}(x) + sumlimits_{k = 1}^{n – 1} {left( {C_{n – 1}^{k – 1} + C_{n – 1}^k} right){u^{(k)}}(x){v^{(n – k)}}(x)} = C_n^0{u^{(0)}}(x){v^{(n)}}(x) + C_n^n{u^{(n)}}(x){v^{(0)}}(x) + sumlimits_{k = 1}^{n – 1} {C_n^k{u^{(k)}}(x){v^{(n – k)}}(x)} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k{u^{(k)}}(x){v^{(n – k)}}(x)} . end{gathered} ]
Ta có điều phải chứng minh.
Xem thêm các bài viết:
>>Khai triển Taylor và ứng dụng
>>Ứng dụng của đạo hàm trong phân tích kinh tế
Các ví dụ minh hoạ
Câu 1. Tính đạo hàm ${{f}^{(50)}}(x)$ với $f(x)=(2{{x}^{2}}+x+1){{e}^{5x+2}}.$
Giải. Ta có:
$begin{array}{c} {f^{(50)}}(x) = sumlimits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k{{(2{x^2} + x + 1)}^{(k)}}{{({e^{5x + 2}})}^{(50 – k)}}} . = {5^{50}}(2{x^2} + x + 1){e^{5x + 2}} + 50(4x + 1){5^{49}}{e^{5x + 2}} + {1225.4.5^{48}}{e^{5x + 2}}. end{array}$
Câu 2. Cho hàm số $f(x)=dfrac{1+x}{sqrt{1-x}}.$ Tính ${{f}^{(100)}}(0).$
Giải. Ta có
$begin{array}{l} f(x) = dfrac{{1 + x}}{{sqrt {1 – x} }} = dfrac{{2 – (1 – x)}}{{sqrt {1 – x} }} = 2{(1 – x)^{ – dfrac{1}{2}}} – {(1 – x)^{dfrac{1}{2}}}. {f^{(100)}}(x) = 2left[ {{{( – 1)}^{100}}left( { – dfrac{1}{2}} right)left( { – dfrac{1}{2} – 1} right)…left( { – dfrac{1}{2} – 99} right){{(1 – x)}^{ – dfrac{1}{2} – 100}}} right] – left[ {{{( – 1)}^{100}}left( {dfrac{1}{2}} right)left( {dfrac{1}{2} – 1} right)…left( {dfrac{1}{2} – 99} right){{(1 – x)}^{dfrac{1}{2} – 100}}} right] = dfrac{{3.5…199}}{{{2^{99}}}}{(1 – x)^{ – dfrac{{201}}{2}}} + dfrac{{3.5….197}}{{{2^{100}}}}{(1 – x)^{dfrac{{197}}{2}}}. end{array}$
Do đó ${{f}^{(100)}}(0)=dfrac{3.5…197}{{{2}^{100}}}(199.2+1)=399dfrac{(197)!!}{{{2}^{100}}},$ trong đó $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)…5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)…6.4.2.$
Câu 3. Tính ${{f}^{(100)}}(x)$ biết $f(x)={{x}^{2}}cos x.$
Giải. Ta có:
$begin{array}{c} {f^{(100)}}(x) = sumlimits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k{{({x^2})}^{(k)}}{{(cos x)}^{(100 – k)}}} = {x^2}cos left( {x + dfrac{{100pi }}{2}} right) + 100.2x.cos left( {x + dfrac{{99pi }}{2}} right) + 4950.2.cos left( {x + dfrac{{98pi }}{2}} right) = {x^2}cos x + 200xsin x – 9900cos x. end{array}$
Câu 4. Tính đạo hàm cấp cao ${{y}^{(5)}}(x)$ của hàm số $y=ln (2{{x}^{2}}-x).$
Giải. Ta có: ${y}’=dfrac{4x-1}{2{{x}^{2}}-x}=dfrac{4x-1}{x(2x-1)}=dfrac{4}{2x-1}-dfrac{1}{x(2x-1)}=dfrac{4}{2x-1}-left( dfrac{2}{2x-1}-dfrac{1}{x} right)=dfrac{2}{2x-1}+dfrac{1}{x}.$
Vậy ${{y}^{(5)}}(x)={{left( dfrac{2}{2x-1}+dfrac{1}{x} right)}^{(4)}}=2dfrac{{{2}^{4}}{{(-1)}^{4}}4!}{{{(2x-1)}^{5}}}+dfrac{{{(-1)}^{4}}4!}{{{x}^{5}}}=24left( dfrac{32}{{{(2x-1)}^{5}}}+dfrac{1}{{{x}^{5}}} right).$
Câu 5. Tính đạo hàm cấp cao ${{f}^{(100)}}(0)$ của hàm số $f(x)=dfrac{1}{{{x}^{2}}-x+1}.$
Giải. Ta có:
$begin{array}{l} f(x) = dfrac{1}{{{{left( {x – dfrac{1}{2}} right)}^2} + dfrac{3}{4}}} = dfrac{1}{{{{left( {x – dfrac{1}{2}} right)}^2} – {{left( {dfrac{{sqrt 3 }}{2}i} right)}^2}}} = dfrac{1}{{sqrt 3 i}}left( {dfrac{1}{{x – dfrac{1}{2} – dfrac{{sqrt 3 }}{2}i}} – dfrac{1}{{x – dfrac{1}{2} + dfrac{{sqrt 3 }}{2}i}}} right). {f^{(100)}}(x) = dfrac{1}{{sqrt 3 i}}left( {dfrac{{{{( – 1)}^{100}}100!}}{{{{left( {x – dfrac{1}{2} – dfrac{{sqrt 3 }}{2}i} right)}^{101}}}} – dfrac{{{{( – 1)}^{100}}100!}}{{{{left( {x – dfrac{1}{2} + dfrac{{sqrt 3 }}{2}i} right)}^{101}}}}} right) {f^{(100)}}(0) = dfrac{{100!}}{{sqrt 3 i}}left( {dfrac{1}{{{{left( { – dfrac{1}{2} – dfrac{{sqrt 3 }}{2}i} right)}^{101}}}} – dfrac{1}{{{{left( { – dfrac{1}{2} + dfrac{{sqrt 3 }}{2}i} right)}^{101}}}}} right) = dfrac{{100!}}{{sqrt 3 i}}( – sqrt 3 i) = – 100! end{array}$
Bước cuối bạn đọc thay dạng lượng giác số phức vào để rút gọn.
Cách 2:Ta có $({{x}^{2}}-x+1)y=1,$ đạo hàm cấp n hai vế có:
$begin{array}{l} ({x^2} – x + 1){y^{(n)}}(x) + n(2x – 1){y^{(n – 1)}}(x) + n(n – 1){y^{(n – 2)}}(x) = 0 {y^{(n)}}(0) – n{y^{(n – 1)}}(0) + n(n – 1){y^{(n – 2)}}(0) = 0 Leftrightarrow dfrac{{{y^{(n)}}(0)}}{{n!}} – dfrac{{{y^{(n – 1)}}(0)}}{{(n – 1)!}} + dfrac{{{y^{(n – 2)}}(0)}}{{(n – 2)!}} = 0 {u_n} = dfrac{{{y^{(n)}}(0)}}{{n!}} Rightarrow {u_n} – {u_{n – 1}} + {u_{n – 2}} = 0…. end{array}$
Câu 6. Tính đạo hàm cấp cao ${{y}^{(99)}}(0)$ của hàm số $y=arcsin x.$
Giải. Ta có:
$begin{array}{l} y’ = dfrac{1}{{sqrt {1 – {x^2}} }} Rightarrow (1 – {x^2})y’ = sqrt {1 – {x^2}} Rightarrow – 2xy’ + (1 – {x^2})y” = – dfrac{x}{{sqrt {1 – {x^2}} }} = – xy’ Leftrightarrow (1 – {x^2})y” – xy’ = 0. end{array}$
Do đó ${{left( (1-{{x}^{2}}){y}”-x{y}’ right)}^{(n)}}=0$ và
$begin{array}{l} (1 – {x^2}){y^{(n + 2)}}(x) – n.2x.{y^{(n + 1)}}(x) – n(n – 1){y^{(n)}}(x) – x{y^{(n + 1)}}(x) – n{y^{(n)}}(x) = 0. Rightarrow {y^{(n + 2)}}(0) = {n^2}{y^{(n)}}(0) Rightarrow {y^{(99)}}(0) = {97^2}{y^{(97)}}(0) = … = {(97.95…3.1)^2}y'(0) = {(97!!)^2}. end{array}$
Câu 7. Tính đạo hàm cấp 100 của hàm số $f(x)=dfrac{{{x}^{3}}}{sqrt[3]{{{x}^{3}}-5{{x}^{4}}}}.$
Giải. Có [f(x)=dfrac{{{x}^{3}}}{sqrt[3]{{{x}^{3}}-5{{x}^{4}}}}=dfrac{{{x}^{3}}}{xsqrt[3]{1-5x}}=dfrac{{{x}^{2}}}{sqrt[3]{1-5x}}={{x}^{2}}{{left( 1-5x right)}^{-dfrac{1}{3}}}.]
Vì vậy áp dụng công thức Lepnit có
[begin{gathered} {f^{(100)}}(x) = sumlimits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k{{left( {{x^2}} right)}^{(k)}}{{left( {{{left( {1 – 5x} right)}^{ – dfrac{1}{3}}}} right)}^{(100 – k)}}} = C_{100}^0{x^2}left( { – dfrac{1}{3}left( { – dfrac{1}{3} – 1} right)…left( { – dfrac{1}{3} – 99} right){{left( {1 – 5x} right)}^{ – dfrac{1}{3} – 100}}{{( – 5)}^{100}}} right) + C_{100}^12xleft( { – dfrac{1}{3}left( { – dfrac{1}{3} – 1} right)…left( { – dfrac{1}{3} – 98} right){{left( {1 – 5x} right)}^{ – dfrac{1}{3} – 99}}{{( – 5)}^{99}}} right) + C_{100}^22left( { – dfrac{1}{3}left( { – dfrac{1}{3} – 1} right)…left( { – dfrac{1}{3} – 97} right){{left( {1 – 5x} right)}^{ – dfrac{1}{3} – 98}}{{( – 5)}^{98}}} right) = {( – 5)^{98}}left( { – dfrac{1}{3}left( { – dfrac{1}{3} – 1} right)…left( { – dfrac{1}{3} – 97} right)} right){left( {1 – 5x} right)^{ – dfrac{1}{3} – 100}} times left( {{{( – 5)}^2}left( { – dfrac{1}{3} – 98} right)left( { – dfrac{1}{3} – 99} right){x^2} + {{( – 5)}^1}2C_{100}^1left( { – dfrac{1}{3} – 98} right)(1 – 5x)x + 2C_{100}^2{{(1 – 5x)}^2}} right) = {( – 5)^{98}}prodlimits_{k = 0}^{97} {left( { – dfrac{1}{3} – k} right)} {left( {1 – 5x} right)^{ – dfrac{1}{3} – 100}}left( {dfrac{{250}}{9}{x^2} – dfrac{{2000}}{3}x + 9900} right). end{gathered} ]
Câu 8. Tính đạo hàm cấp cao ${{y}^{(10)}}(0)$ cuả hàm số $y={{e}^{-{{x}^{2}}}}.$
Giải. Có ${y}’=-2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}=-2xyLeftrightarrow {y}’+2xy=0Rightarrow {{left( {y}’+2xy right)}^{(n)}}=0.$
Khai triển công thức Lepnit có: ${{y}^{(n+1)}}+2x{{y}^{(n)}}+C_{n}^{1}2{{y}^{(n-1)}}=0Rightarrow {{y}^{(n+1)}}(0)=-2n{{y}^{(n-1)}}(0).$
Do đó ${{y}^{(10)}}(0)=-18{{y}^{(8)}}(0)=…=left( -18 right)left( -14 right){{y}^{(6)}}(0)=…=left( -18 right)left( -14 right)…left( -2 right){{y}^{(0)}}(0)=-30240.$
Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:
- Khoá: PRO S1 – MÔN TOÁN CAO CẤP 1 – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
- Khoá: PRO S2 – MÔN TOÁN CAO CẤP 2 – GIẢI TÍCH
Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
– ĐH Kinh Tế Quốc Dân
– ĐH Ngoại Thương
– ĐH Thương Mại
– Học viện Tài Chính
– Học viện ngân hàng
– ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước…
