Theo như chúng ta đã biết thì trong chương trình toán học ở bậc phổ thông, hình học không gian là một trong các phần trọng tâm và làm khó khăn cho nhiều bạn học sinh. Trong đó không thể không nhắc đến tứ diện đều nhưng khi ta đi sâu vào trọng tâm, trước tiên ta phải tìm hiểu một chút về đa diện đều là gì?
1. Tổng quan lý thuyết liên quan đến tứ diện đều
1.1. Hình đa diện
Hình đa diện ( hay còn gọi là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thoả mãn hai điều kiện sau :
• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung hoặc có đỉnh chung hoặc có một cạnh chung.
• Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác
1.2. Khối đa diện
Khối đa diện = hình đa diện + phần không gian được giới hạn bởi hình đa diện
» Xem thêm: Những kiến thức cơ bản về khối đa diện và đa diện đều
1.3. Hình đa diện đều
Hình đa diện đều (gọi tắt là đa diện đều) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng đều thỏa mãn hai điều kiện sau:
• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung hoặc có đỉnh chung hoặc có một cạnh chung.
• Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
» Xem thêm: Hình đa diện đều là gì? Cách nhận biết hình đa diện đều loại {3; 5}, {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3}
1.4. Khối đa diện đều
Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
• Các mặt là những đa giác đều n cạnh.
• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh. Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại .
2. Tứ diện đều là gì?
Tứ diện đều là trường hợp đặc biệt của tứ diện trong các khối đa diện đều mà ta đã được học và xem qua ở phía trên. Tứ diện đều là là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều, là một hình chóp tam giác đều.
3. Tính chất tứ diện đều
Tứ diện đều có các tính chất như sau:
• Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau.
• Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.
• Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện là 180.
• Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện có độ dài bằng nhau.
• Tất cả các mặt của tứ diện đều tương đương nhau.
• Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.
• Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau, trùng với tâm của tứ diện.
• Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.
• Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
• Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng đứng vuông góc của cả hai cạnh đó.
• Một tứ diện có ba trục đối xứng.
• Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.
4. Thể tích khối tứ diện đều
– Một tứ diện đều sẽ có 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt tam giác đều sẽ có các công thức tính thể tích như sau:
+ Thể tích tứ diện ABCD: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng:
+ Thể tích tứ diện đều tam giác S.ABC: Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó:
5. Công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều cạnh a
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Từ A kẻ AH là đường cao của hình chóp A.BCD, H thuộc (BCD) thì H sẽ là tâm của tam giác đều BCD. Suy ra:
• Chiều cao của hình chóp A.BCD đều cạnh a là
• Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là
6. Bài tập tứ diện đều
Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD. Khi tăng độ dài cạnh tứ diện đều lên 2 lần, khi đó thể tích của khối tứ diện đều tăng lên bao nhiêu lần?
A. 6
B. 8
C. 4
D. 2
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Dựa vào công thức tính nhanh thể tích của tứ diện đều với 1 cạnh bất kỳ a.
∗ Cách giải
Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là
Khi tăng cạnh tứ diện lên 2 lần, thể tích lúc này là
→ Chọn câu B.
Bài 2: Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng 2.
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Nhớ công thức thể tích tứ diện đều cạnh a:
∗ Cách giải
Thể tích tứ diện đều đã cho là
→ Chọn câu C.
Bài 3: Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là:
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Thể tích khối chóp được tính bởi công thức với S là diện tích đáy và h là chiều cao.
∗ Cách giải
Gọi O là trọng tâm
Kẻ
Vì SABC là tứ diện đều ⇒
Vì đều ⇒
Xét vuông tại O
⇔
⇒
→ Chọn câu C.
Bài 4: Thể tích khối tứ diện đều cạnh bằng
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Thể tích tứ diện ta đưa về thể tích khối chóp: trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao
∗ Cách giải
Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD ta có
Khi đó ta có:
Ta có:
Gọi M là giao điểm của BH với CD ta có:
Khi đó ta có:
Xét tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:
Vậy
→ Chọn câu D.
Bài 5: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V. Tính V?
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Tính thể tích của phần khối đa diện không chứa điểm A theo thể tích của khối tứ diện ABCD sau đó suy ra V.
∗ Cách giải
Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V.
Gọi thể tích của phần đa diện còn lại là V’
Gọi
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác BCD có:
Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác ABD có
Ta có
⇒
⇒
⇒
⇒
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Ta có và
⇒
⇒
⇒
→ Chọn câu D.
Ta có thể thấy các dạng toán liên quan đến tứ diện đều sẽ chắc chắn xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông từ 2-3 câu theo cấp độ từ dễ đến khó, và cũng rất dễ để mất điểm nếu ta không nắm rõ được bản chất. Nhận biết và làm rõ các tính chất của tứ diện đều sẽ giúp chúng ta làm bài cùng với các dữ kiện một cách thuận lợi và chính xác nhất.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
