Bài toán về khu vườn hình chữ nhật với lối đi xung quanh, dẫn đến việc tìm kích thước dựa trên chu vi và diện tích còn lại, là một ví dụ điển hình của dạng Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai.
Khái niệm cơ bản:
+ Phương trình bậc hai là phương trình có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, trong đó $x$ là ẩn, $a, b, c$ là các hệ số đã biết, với $a neq 0$.
+ Chu vi hình chữ nhật: $P = 2 times (text{chiều dài} + text{chiều rộng})$.
+ Diện tích hình chữ nhật: $S = text{chiều dài} times text{chiều rộng}$.
Trong bài toán cụ thể về khu vườn hình chữ nhật, lý thuyết về phương trình bậc hai được ứng dụng qua các bước sau:
Chuyển đổi các đại lượng thực tế thành biểu thức toán học:
Từ chu vi của khu vườn (280 m), ta tính được nửa chu vi là $280 : 2 = 140$ (m).
+ Chọn ẩn số: Gọi chiều dài của khu vườn là $x$ (m). Điều kiện cho $x$ được đặt ra là $70 < x < 140$ để đảm bảo chiều dài lớn hơn chiều rộng và cả hai đều dương (vì tổng chiều dài và chiều rộng là 140 m, và nếu chiều dài là $x$, thì chiều rộng là $140 – x$. Chiều dài phải lớn hơn chiều rộng, tức $x > 140 – x$, suy ra $2x > 140$, hay $x > 70$. Đồng thời, chiều rộng phải dương, $140 – x > 0$, suy ra $x < 140$).
+ Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn: Chiều rộng của khu vườn sẽ là $140 – x$ (m).
+ Xử lý thông tin về lối đi: Lối đi rộng 2 m xung quanh vườn ảnh hưởng đến kích thước phần đất trồng rau. Chiều dài phần trồng rau sẽ giảm đi $2 times 2 = 4$ (m) so với chiều dài ban đầu, tức là $x – 4$ (m). Tương tự, chiều rộng phần trồng rau sẽ là $140 – x – 4 = 136 – x$ (m).
+ Lập phương trình từ diện tích: Diện tích phần đất trồng rau là 4256 $m^2$. Ta có phương trình: $(text{chiều dài trồng rau}) times (text{chiều rộng trồng rau}) = text{diện tích trồng rau}$, tức là $(x – 4)(136 – x) = 4256$.
+ Giải phương trình bậc hai:
Phân tích phương trình $(x – 4)(136 – x) = 4256$ để đưa về dạng chuẩn $ax^2 + bx + c = 0$. Khi triển khai và sắp xếp lại, ta được phương trình $x^2 – 140x + 4800 = 0$.
Sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử để tìm giá trị của $x$. Trong trường hợp này, các nghiệm được tìm thấy là $x_1 = 60$ và $x_2 = 80$.
+ Kiểm tra và kết luận:
So sánh các nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn ($70 < x < 140$). Nghiệm $x_1 = 60$ không thỏa mãn điều kiện vì $60 < 70$, nên bị loại (L). Nghiệm $x_2 = 80$ thỏa mãn điều kiện ($70 < 80 < 140$), nên được chấp nhận (TM).
Từ giá trị $x$ hợp lệ, suy ra kích thước của khu vườn: Chiều dài là 80 m và chiều rộng là $140 – 80 = 60$ m.
