Chỉnh sửa cuối: Đây là một bài toán khá mở, người ta phải chỉ định xác suất chuyển đổi. Nếu bạn giả định rằng lá bài có 0,05% cơ hội di chuyển xuống trong bộ bài, 0,05% cơ hội ở lại vị trí cũ trong bộ bài và 99,9% cơ hội di chuyển lên trong bộ bài, thì xác suất giới hạn để di chuyển từ trạng thái 1 đến trạng thái 52 là 0,667 (giả sử xác suất chuyển đổi từ 51 đến 52 và ngược lại là 50%). Đây chỉ là một bài toán thú vị. Tôi chưa xem xét trường hợp lá bài PHẢI di chuyển đến một trạng thái khác, điều này có thể tạo ra các kết quả khác nhau. Ngoài ra, tôi không xem xét khả năng lá bài có thể di chuyển hai trạng thái lên hoặc xuống, có lẽ tôi sẽ xem xét vấn đề này sau.
Tôi không chắc chắn về những giả định bạn sẽ phải đưa ra về việc xáo trộn của người đó.
https://fredhohman.com/card-shuffling/
Trang web này dường như đưa ra một câu trả lời, nhưng vấn đề chính của tôi với nó là cách nó nói rằng việc xáo trộn là lấy lá bài trên cùng và đặt nó ngẫu nhiên trong bộ bài. Ngoài ra, dường như lá bài không bao giờ đi đến vị trí thấp hơn trong bộ bài, điều này có ý nghĩa với cách trang web thiết lập lập luận, nhưng với việc xáo trộn thực tế, chẳng phải nó có thể rơi xuống trong bộ bài sao?
Tôi hình dung đây là một phiên bản nào đó của một bước đi ngẫu nhiên có trọng số? Giống như một không gian trạng thái 52 với x% cơ hội lá bài di chuyển lên và 100-x % cơ hội lá bài di chuyển xuống, và tính toán kỳ vọng?
Chỉnh sửa: Cách tiếp cận này sẽ không đưa ra câu trả lời: nếu tất cả các xác suất đều bằng nhau, thì giá trị kỳ vọng hội tụ đến 26,5, hay nói đúng hơn, lá bài sẽ “mắc kẹt” ở giữa bộ bài gần như chắc chắn, với ít cơ hội hơn nó có thể đến trạng thái 52. Tôi tin rằng không gian trạng thái đầu tiên nên có 50% xác suất di chuyển đến trạng thái thứ hai và 50% xác suất ở lại vị trí cũ và không gian trạng thái thứ hai đến thứ 51 nên có 33% cơ hội di chuyển xuống một, ở lại cùng một trạng thái hoặc di chuyển lên một trạng thái? Trạng thái thứ 52 là kết thúc. Tôi chỉ không nhớ chính xác cách tính số lần xáo trộn dự kiến.
Chỉnh sửa 2: Tôi tin rằng sau khi mày mò với bài toán một chút, xác suất di chuyển lên trong bộ bài phải cao hơn xác suất di chuyển xuống trong bộ bài, nếu không kỳ vọng của kết quả sẽ không bao giờ đạt 52. Vì vậy, tôi thậm chí sẽ tò mò về bài toán nếu nó có 1/6 cơ hội di chuyển xuống một vị trí trong bộ bài, 1/3 cơ hội ở lại cùng một vị trí, 1/2 cơ hội di chuyển lên một vị trí.
