1, Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a, Vecto pháp tuyến của mặt phẳng
: là VTPT của (P) khi giá của nó vuông góc với (P)
b, Phương trình tổng quát (PTTQ) của mặt phẳng
PTTQ của (P) đi qua điểm và có VTPT là:
( với )
Đặc biệt:
VD: Viết phương trình mặt phẳng (P), biết
a, (P) đi qua điểm A(2;-1;3) có VTPT
b, (P) đi qua điểm B(0;0;3) có VTPT
VD: Tìm VTPT và 3 điểm thuộc (Q), với (Q) có PTTQ là:
a,
b,
2, Mặt phẳng đi qua một điểm và có cặp vecto chỉ phương
a, Vecto chỉ phương (VTCP) của mặt phẳng
: đgl VTCP của (P) khi giá của nó song song hoặc nằm trên (P)
Đặc biệt: Trục Ox có VTCP:
Trục Oy có VTCP:
Trục Oz có VTCP:
b, Mặt phẳng (P) có cặp VTCP và
(P) có cặp VTCP thì khi đó VTPT của (P) là:
VD: Cho A (-1;0;1), B (-2;1;3), C (2;1;0), D (0;1;-2).
a, Viết phương trình mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD)
b, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và song song với CD
c, Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm B, D và vuông góc với (Oxy)
VD: Viết phương trình mặt phẳng (P), biết
a, (P) đi qua M (1;1;-1), N (0;2;1) và song song với trục Ox
b, (P) đi qua M (-7 ;4 ;1), N (2 ;-4 ;0) và có VTCP
c, (P) đi qua M (2 ;1 ;0), N (-1 ;2 ;-1) và vuông góc với (Q) : x + y – z – 3 = 0
3, Hai mặt phẳng song song. Hai mặt phẳng vuông góc
Cho (P) : có VTPT:
(Q): có VTPT:
Nếu: + (P) // (Q)
+
+ ít nhất một trong các tỉ số: không bằng nhau
+
NX: (P) : . Khi đó mọi mặt phẳng (R) // (P) đều có dạng:
VD: Xác định giá trị của m và n để (P) // (Q), với phương trình của chúng lần lượt là :
3x + my – 6z – 7 = 0 ; nx + 7y – 3z + 4 = 0
VD: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau :
a, đi qua M (2 ;1 ;2) và song song với mặt phẳng: 2x + y – 3z + 1 = 0
b, đi qua điểm A (1 ;-2 ;-4) và song song với (Oxy)
VD: Viết phương trình (P), biết (P) đi qua điểm A (-3 ;2 ;-1) và vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là : x – 2y + 3z +4 = 0 và y +2z -3 = 0
VD: Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng có phương trình lần lượt sau :
a, 3x + 2y – 2z + 5 = 0 ; 2x – 3y + z – 6 = 0
b, 2x – 2y + z – 1 = 0 ; – 2x + 2y – z + 4 = 0
4, Chùm mặt phẳng
* Chùm mặt phẳng là tập tất cả các mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng
Cho : Cho (P) :
(Q):
* Mọi mặt phẳng của chùm xác định bởi (P) và (Q) đều có phương trình dạng:
( chỉ trừ (Q) )
VD: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau
a, đi qua điểm A (0;1;1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình lần lượt: 2x + 2y – z + 1= 0, x – 3 y + 2z + 10 = 0
b, đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng: x +2 y – 5z – 1 = 0, 3x – y – z + 1 = 0 và đồng thời vuông góc với mặt phẳng : x + y -z = 0
c, đi qua trục Oy và điểm A (2 ;0 ;-1)
d, đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng : 3x – y + z – 6 = 0, x – 2y + 3z – 1= 0 và đồng thời song song với mặt phẳng : 2x – z + 7 = 0
