Lý thuyết chính được áp dụng ở đây là Bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là Bất đẳng thức AM-GM – Trung bình cộng – Trung bình nhân). Đối với hai số thực không âm $a$ và $b$, bất đẳng thức Cauchy được phát biểu như sau: $a + b ge 2sqrt{ab}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b$.
Từ bất đẳng thức này, ta có thể suy ra một dạng hữu ích để tìm giá trị lớn nhất của tích: $ab le left(frac{a+b}{2}right)^2$. Điều này có nghĩa là, nếu tổng của hai số không đổi, thì tích của chúng sẽ đạt giá trị lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
Trong bài toán khách sạn, các bước áp dụng lý thuyết được thể hiện rõ ràng:
Xác định biến và biểu diễn các đại lượng: Đầu tiên, chúng ta gọi số lần tăng giá thuê là $x$, với $x$ là số tự nhiên ($x in mathbb{N}$).
Giá phòng sau $x$ lần tăng giá được biểu diễn là $400 + 20x$ (nghìn đồng).
Số phòng cho thuê sau $x$ lần tăng giá được biểu diễn là $50 – 2x$ (phòng). Lưu ý rằng số phòng phải không âm, tức là $50 – 2x ge 0 implies x le 25$.
Viết biểu thức doanh thu: Doanh thu trong mỗi ngày của khách sạn là tích của giá phòng và số phòng cho thuê.
Doanh thu $= (50 – 2x)(400 + 20x)$.
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy: Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta cần biến đổi biểu thức doanh thu để có dạng tích của hai số có tổng không đổi.
Doanh thu $= (50 – 2x) cdot 20(20 + x) = 10(50 – 2x)(40 + 2x)$.
Bây giờ, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai biểu thức $A = 50 – 2x$ và $B = 40 + 2x$.
Tổng của hai biểu thức này là $A + B = (50 – 2x) + (40 + 2x) = 90$. Tổng này là một hằng số.
Theo bất đẳng thức Cauchy, tích $AB$ sẽ đạt giá trị lớn nhất khi $A=B$.
$10(50 – 2x)(40 + 2x) le 10 cdot frac{{{{left( {(50 – 2x) + (40 + 2x)} right)}^2}}}{4} = 10 cdot frac{{{{90}^2}}}{4} = 10 cdot frac{{8100}}{4} = 20250.$
Tìm giá trị của $x$ để doanh thu lớn nhất: Dấu bằng xảy ra khi $50 – 2x = 40 + 2x$.
Giải phương trình này: $4x = 10 $ suy ra $x = 2,5$.
Xử lý điều kiện số nguyên: Vì $x$ phải là số lần tăng giá, nên $x$ phải là một số tự nhiên. Khi giá trị $x = 2,5$ không phải là số tự nhiên, chúng ta cần xét các giá trị nguyên gần nhất là $x = 2$ và $x = 3$.
Với $x=2$, doanh thu là $20240$ nghìn đồng.
Với $x=3$, doanh thu là $20240$ nghìn đồng.
Trong trường hợp này, cả hai giá trị $x=2$ và $x=3$ đều cho cùng một doanh thu lớn nhất là $20240$ nghìn đồng.
Từ đó tính được giá phòng tương ứng.
