Bài tập Góc giữa cạnh bên và mặt đáy – có đáp án chi tiết
Phương pháp tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy
Tìm góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC).
Như vậy HA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).
Vậy $left( widehat{SA;left( ABC right)} right)=widehat{left( SA;HA right)}=widehat{SAH}.$
Bài tập tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy có Lời giải chi tiết
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, có $AB=a;BC=asqrt{3}$. Biết $SAbot left( ABC right)$, SB tạo với đáy một góc $60{}^circ $ và M là trung điểm của BC.
a) Tính cosin góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).
b) Tính cosin góc giữa SM và mặt phẳng (ABC).
Lời giải chi tiết
a) Do $SAbot left( ABC right)Rightarrow left( widehat{SB;left( ABC right)} right)=widehat{SBA}=60{}^circ .$
Do đó $SA=ABtan widehat{SBA}=atan 60{}^circ =asqrt{3}.$
Ta có: $AC=sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a;widehat{left( SC;left( ABC right) right)}=widehat{SCA}.$
Khi đó: $cos widehat{SCA}=frac{AC}{SC}=frac{AC}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{3{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}=frac{2}{sqrt{7}}.$
b) Do $SAbot left( ABC right)Rightarrow widehat{left( SM;left( ABC right) right)}=widehat{SMA}=varphi .$
Ta có: $AM=sqrt{A{{B}^{2}}+B{{M}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+{{left( frac{asqrt{3}}{2} right)}^{2}}}=frac{asqrt{7}}{2}.$
Khi đó $cos varphi =frac{AM}{SM}=frac{AM}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=frac{sqrt{133}}{19}.$
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có $AB=2a;AD=a$. Tam giác (SAB) đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) Tính góc giữa SB, SC và mặt phẳng (ABCD).
b) Gọi I là trung điểm của BC. Tính tan góc giữa SI và mặt phẳng (ABCD).
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là trung điểm của AB ta có: $SHbot AB$
Mặt khác $left{ begin{array} {} left( SAB right)bot left( ABCD right) {} AB=left( SAB right)cap left( ABCD right) end{array} right.Rightarrow SHbot left( ABCD right).$
Tam giác SAB đều cạnh 2a nên $SH=asqrt{3},$
$HC=sqrt{H{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=asqrt{2}.$
Do $SHbot left( ABCD right)Rightarrow left( widehat{SB;left( ABCD right)} right)=widehat{SBH}=60{}^circ $
$left( widehat{SC;left( ABCD right)} right)=widehat{SCH}$ và $tan widehat{SCH}=frac{SH}{HC}=sqrt{frac{3}{2}}.$
b) Ta có: $HI=sqrt{H{{B}^{2}}+B{{I}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}}=frac{asqrt{5}}{2}.$
Mặt khác $left( widehat{SI;left( ABCD right)} right)=widehat{SIH}$ và $widehat{SIH}=frac{SH}{SI}=asqrt{3}:frac{asqrt{5}}{2}=frac{2sqrt{15}}{5}.$
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, $AD=2a$. Biết $SAbot left( ABCD right)$ và đường thẳng SB tạo với đáy một góc $45{}^circ .$
a) Tính cosin góc tạo bởi các cạnh SC, SD và mặt đáy (ABCD).
b) Gọi I là trung điểm của CD, tính tan góc tạo bởi SI và mặt phẳng (ABCD).
Lời giải chi tiết
a) Gọi O là trung điểm của AD $Rightarrow $ OABC là hình thoi cạnh a $Rightarrow CO=a=frac{1}{2}ADRightarrow Delta ACD$ vuông tại C.
Do $SAbot left( ABCD right)Rightarrow widehat{left( SB;left( ABCD right) right)}=widehat{SBA}=45{}^circ .$
Do đó $SA=ABtan 45{}^circ =a.$
$AC=sqrt{A{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}=asqrt{3}Rightarrow cos widehat{left( SC;left( ABC right) right)}=cos widehat{SCA}$
$=frac{AC}{SC}=frac{AC}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{asqrt{3}}{sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}}=frac{sqrt{3}}{2}.$
$cos left( widehat{SD;left( ABCD right)} right)=cos widehat{SDA}=frac{AD}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=frac{2}{sqrt{5}}.$
b) Ta có: $AI=sqrt{A{{C}^{2}}+C{{I}^{2}}}=sqrt{3{{a}^{2}}+{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}}=frac{asqrt{13}}{2}.$
Do đó $tan widehat{left( SI;left( ABCD right) right)}=tan widehat{SIA}=frac{SA}{AI}=frac{2}{sqrt{13}}.$
