a, Ta có:
Hai hàm sóng trực giao nhau khi (I=intpsi_{1s}.psi_{2s}dpsi=0) (Leftrightarrow I=iiintpsi_{1s}.psi_{2s}dxdydz=0)
Chuyển sang tọa độ cầu ta có: (begin{cases}x=r.cosvarphi.sinthetay=r.sinvarphi.sinthetaz=r.costhetaend{cases})
(Rightarrow)(I=frac{a^3_o}{4.sqrt{2.pi}}intlimits^{infty}_0left(2-frac{r}{a_o}right).e^{-frac{3.r}{2.a_o}}.r^2.sintheta drintlimits^{2pi}_0dvarphiintlimits^{pi}_0dtheta)
(=a^3_o.sqrt{frac{pi}{2}})(.(2.intlimits^{infty}_0r^2.e^{-frac{3.r}{2.a_o}}dr-frac{1}{a_o}.intlimits^{infty}_0r^3.e^{-frac{3.r}{2.a_o}}dr))
(=a_o.sqrt{frac{pi}{2}}.left(2.I_1-frac{1}{a_o}.I_2right))
Tính (I_1):
Đặt (r^2=u); (e^{-frac{3r}{2a_o}}dr=dV)
(Rightarrowbegin{cases}2.r.dr=du-frac{2a_o}{3}.e^{-frac{3r}{2a_o}}=Vend{cases}) (Rightarrow I_1=-r^2.frac{2a_o}{3}.e^{-frac{3r}{2a_o}}+frac{4.a_o}{3}.intlimits^{infty}_0r.e^{-frac{3r}{2a_o}}dr)(=0+frac{4a_o}{3}.I_{11})
Tính (I_{11}):
Đặt r=u; (e^{-frac{3r}{2a_o}}dr=dV)(Rightarrowbegin{cases}dr=du-frac{2a_o}{3}.e^{-frac{3r}{2a_o}}=Vend{cases})(Rightarrow I_{11}=0+frac{2a_0}{3}.intlimits^{infty}_0e^{-frac{3r}{2a_o}}dr=frac{4a^2_o}{9})
(Rightarrow2.I_1=2.frac{4a_o}{3}.frac{4a_o^2}{9}=frac{32a^3_o}{27})
Tính (I_2):
Đặt (r^2=u;e^{-frac{3r}{2a_o}}dr=dV) (Rightarrow)(3r^2dr=du;-frac{2a_o}{3}.e^{-frac{3r}{2a_o}}=V)
(Rightarrow I_2=0+2.a_o.intlimits^{infty}_0r^2.e^{-frac{3r}{2a_o}}dr)(Rightarrowfrac{1}{a_o}.I_2=2a_o.frac{16a^3_o}{27}.frac{1}{a_o}=frac{32a^3_o}{27})
(Rightarrow I=a^3_o.sqrt{frac{pi}{2}}.left(frac{32a^3_o}{27}-frac{32a^3_o}{27}right)=0)
Vậy hai hàm sóng này trực giao với nhau.
b,
Xét hàm (Psi_{1s}):
Hàm mật độ sác xuất là: (Dleft(rright)=Psi^2_{1s}=frac{1}{pi}.a^3_o.e^{-frac{2r}{a_o}})
(Rightarrow D’left(rright)=-frac{2.a_o^2}{pi}.e^{-frac{2r}{a_o}}=0)
(Rightarrow)Hàm đạt cực đại khi (rrightarrow o) nên hàm sóng có dạng hình cầu.
Xét hàm (Psi_{2s}):
Hàm mật độ sác xuất: (Dleft(rright)=Psi_{2s}^2=frac{a^3_o}{32}.left(2-frac{r}{a_o}right)^2.e^{-frac{r}{a_0}})(Rightarrow D’left(rright)=left(2-frac{r}{a_o}right).e^{-frac{r}{a_o}}.left(-4+frac{r}{a_o}right)=0)
(Rightarrow r=2a_oRightarrow Dleft(rright)=0); (r=4a_oRightarrow Dleft(rright)=frac{a^3_o}{8}.e^{-4})
Vậy hàm đạt cực đại khi (r=4a_o), tại (Dleft(rright)=frac{a^3_o}{8}.e^{-4})
