Đề bài
Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên cung BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho (widehat {BAD} = widehat {CAM}).
a) Chứng minh (widehat {ADB} = widehat {CDM}).
b) Gọi E là giao điểm của tia OM và cung BC. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE theo R, biết (BC = Rsqrt 2 ).
Lời giải chi tiết
a) Ta có (widehat {BAD} + widehat {DAM} = widehat {BAM},widehat {DAM} + widehat {CAM} = widehat {DAC}), mà (widehat {BAD} = widehat {CAM})suy ra (widehat {BAM} = widehat {DAC}).
Ta lại có (widehat {ABM} = widehat {ADC}) (2 góc nội tiếp chắn cung AC của (O))
Xét tam giác ABM và tam giác ADC có:
(widehat {ABM} = widehat {ADC}), (widehat {BAM} = widehat {DAC})
Suy ra (Delta ABMbacksim Delta ADC)(g.g), do đó (frac{{AB}}{{AD}} = frac{{BM}}{{CD}} = frac{{CM}}{{CD}}).
Xét tam giác ABD và tam giác CMD có:
(widehat {BAD} = widehat {MCD}) (góc nội tiếp cùng chắn cung BD của (O))
(frac{{AB}}{{AD}} = frac{{CM}}{{CD}})
Suy ra (Delta ABDbacksim Delta CMD)(c.g.c), do đó (widehat {ADB} = widehat {CDM}).
b) Xét tam giác OBM và tam giác OCM có:
OM chung
(OB = OC)(bằng bán kính (O))
(MB = MC)(M là trung điểm của BC)
Suy ra (Delta OBM = Delta OCM)(c.c.c), do đó (CM = frac{{BC}}{2} = frac{{Rsqrt 2 }}{2}) và (widehat {OMB} = widehat {OMC})
Mà (widehat {OMB} + widehat {OMC} = 180^circ ), suy ra (widehat {OMB} = widehat {OMC} = frac{{180^circ }}{2} = 90^circ )
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OCM có:
(OM = sqrt {O{C^2} – C{M^2}} = sqrt {{R^2} – {{left( {frac{{Rsqrt 2 }}{2}} right)}^2}} = frac{{Rsqrt 2 }}{2})
Ta thấy (OM = CMleft( { = frac{{Rsqrt 2 }}{2}} right)) nên tam giác OCM vuông cân tại M, suy ra (widehat {COE} = 45^circ ).
Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE là:
(S = frac{{pi {R^2}.45}}{{360}} = frac{{pi {R^2}}}{8}) (đvdt).
