a) Ta có: (angle BFE = {90^0}) (vì (EF bot AB)); (angle BHE = {90^0}) (vì (BH bot AE)).
( Rightarrow ) 4 điểm (B,,,F,,,H,,,E) cùng thuộc một đường tròn đường kính (BE).
( Rightarrow ) Tứ giác (BEHF) nội tiếp (đpcm)
b) Ta có: (M) là trung điểm (BC) nên (OM bot BC) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
( Rightarrow angle OMB = {90^0})
Mà (angle BFE = {90^0}) (vì (EF bot AB))
Suy ra 4 điểm (B,,,M,,,E,,,F) cùng thuộc đường tròn đường kính (BE).
( Rightarrow ) 5 điểm (B,,,M,,,F,,,H,,,E) cùng thuộc đường tròn đường kính (BE).
Ta có: (angle MFB = angle MEB) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung (BM)).
(angle FBH = angle FEH) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung (HF)).
Ta lại có:
(angle MEB + angle BDE = {90^0}) (tam giác (BDE) vuông tại (B) do có (angle DBE = {90^0}) – góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
(angle FEH + angle BAE = {90^0}) (do tam giác (AEF) vuông tại (F))
Mà (angle BAE = angle BDE) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung (BE)) nên (angle MEB = angle FEH).
( Rightarrow angle MFB = angle FBH).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên (MF//BH). Lại có (BH bot AE,,left( {gt} right)).
Vậy (MF bot AE,,left( {dpcm} right)).
c) Do (OD) là bán kính đi qua trung điểm dây cung (BC) nên (D) là điểm chính giữa cung nhỏ (BC).
( Rightarrow )sđ (cung,BD = )sđ (cung,DC = dfrac{1}{2})sđ (cung,BC)
( Rightarrow angle BAD = angle CAD) (Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
Suy ra (AD) là phân giác trong góc (BAC).
Mà (angle EAD = {90^0})(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ( Rightarrow AE bot AD).
Suy ra (AE) là phân giác góc ngoài của góc (BAC) nên (AE) là phân giác (angle FAQ) (do (angle FAQ) và (angle BAC) kề bù) (1)
Mà (AE) cũng là đường cao của (Delta FAQ) (do(AE bot MF) tại (G)) ( chứng minh ý b)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (Delta FAQ) cân tại A ( Rightarrow AQ, = AF) (tính chất tam giác cân).
Xét (Delta AQE) và (Delta AFE)ta có:
(AE) là cạnh chung
(angle EAQ = angle EAF) (trong tam giác cân, đường cao đồng thời là phân giác).
(AQ, = AF,,left( {cmt} right))
Do đó (Delta AEQ)( = ,Delta AEF)(c.g.c)
Suy ra (angle EQA = angle EFA = {90^0}) (2 góc tương ứng) (đpcm).
Xét tam giác (KAC) có (AI,,,AE) lần lượt là phân giác trong, phân giác ngoài của góc ở đỉnh (A).
Theo tính chất đường phân giác ta có: (dfrac{{EC}}{{EK}} = dfrac{{IC}}{{IK}})(cùng bằng (dfrac{{AC}}{{AK}}))
Vậy (dfrac{{EC}}{{IC}} = dfrac{{EK}}{{IK}},,left( {dpcm} right)).
