Công thức 1: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=dfrac{a{{x}^{2}}+bx+c}{mx+n}$ là
$y=dfrac{{{left( a{{x}^{2}}+bx+c right)}^{prime }}}{{{left( mx+n right)}^{prime }}}=dfrac{2ax+b}{m}.$
Chứng minh:
Đặt $u(x)=a{{x}^{2}}+bx+c;v(x)=mx+n$ ta có $y=dfrac{u(x)}{v(x)}Rightarrow {y}’=dfrac{{u}'(x).v(x)-{v}'(x).u(x)}{{{[v(x)]}^{2}}}.$
Toạ độ hai điểm cực trị là $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ thì ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${y}’=0Leftrightarrow {u}'(x).v(x)-{v}'(x).u(x)=0Leftrightarrow dfrac{u(x)}{v(x)}=dfrac{{u}'(x)}{{v}'(x)}.$
Do đó ${{y}_{1}}=dfrac{u({{x}_{1}})}{v({{x}_{1}})}=dfrac{{u}'({{x}_{1}})}{{v}'({{x}_{1}})}=dfrac{2a{{x}_{1}}+b}{m};{{y}_{2}}=dfrac{u({{x}_{2}})}{v({{x}_{2}})}=dfrac{{u}'({{x}_{2}})}{{v}'({{x}_{2}})}=dfrac{2a{{x}_{2}}+b}{m}.$
Điều đó chứng tỏ đường thẳng qua hai điểm cực trị này là $y=dfrac{2ax+b}{m}.$
Note: Vậy để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất các em lấy đạo hàm tử chia cho đạo hàm mẫu.
>>Kinh nghiệm xử lí yêu cầu hai điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba nằm về cùng một phía hoặc hai phía khác nhau đối với trục hoành
Công thức 2: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc hai
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=dfrac{a{{x}^{2}}+bx+c}{m{{x}^{2}}+nx+p}$ là
$y=dfrac{2(an-bm)x+bn-4cm}{{{n}^{2}}-4pm}.$
>>Xem thêm Một cách giải quyết với bài toán Hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba nằm phác phía với trục hoành – Thầy Đặng Thành Nam
>>Xem thêm Điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai/bậc nhất luôn thuộc một parabol cố định
>>Xem thêm Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất và hàm phân thức bậc hai trên bậc hai
>>Xem thêm Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba
Ví dụ 1: Biết rằng hàm số $f(x)=dfrac{{{x}^{2}}-2x+m}{{{x}^{2}}+2}$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}.$ Khi đó $k=dfrac{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}$ bằng
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng thuộc đường cong $y=dfrac{{{left( {{x}^{2}}-2x+m right)}^{prime }}}{{{left( {{x}^{2}}+2 right)}^{prime }}}=dfrac{2x-2}{2x}$ và ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình ${f}'(x)=0Leftrightarrow dfrac{(2x-2)({{x}^{2}}+2)-2x({{x}^{2}}-2x+m)}{{{({{x}^{2}}+2)}^{2}}}=0Leftrightarrow {{x}^{2}}+(2-m)x-2=0.$
Chọn k sao cho $2x-2+k({{x}^{2}}+(2-m)x-2)=0$ có nghiệm $x=0Leftrightarrow -2-2k=0Leftrightarrow k=-1.$
Khi đó $y=dfrac{2x-2-({{x}^{2}}+(2-m)x-2)}{2x}=dfrac{-x+m}{2}$ là đường thẳng qua hai điểm cực trị. Vì vậy $dfrac{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}={{k}_{d}}=-dfrac{1}{2}.$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Gọi$S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=dfrac{{{x}^{2}}+mx+2m}{x+1}$ có hai điểm cực trị $A,B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O.$ Tổng các phần tử của $S$ bằng
A. $9.$
B. $1.$
C. $4.$
D. $5.$
Có ${y}’=0Leftrightarrow dfrac{{{x}^{2}}+2x-m}{{{(x+1)}^{2}}}=0Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-m=0.$
Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}ne -1$ tức là $left{ begin{array}{l} Delta ‘ = 1 + m > 0 {( – 1)^2} + 2( – 1) – m ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m > – 1 m ne – 1 end{array} right. Leftrightarrow m > – 1.$ Vi – ét có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2;{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m.$
Đường thẳng qua hai điểm cực trị là $y=frac{{{left( {{x}^{2}}+mx+2m right)}^{prime }}}{{{left( x+1 right)}^{prime }}}=2x+mRightarrow A({{x}_{1}};2{{x}_{1}}+m),B({{x}_{2}};2{{x}_{2}}+m).$
Vì vậy tam giác $OAB$ vuông tại $O$ nên
$begin{array}{l} overrightarrow {OA} .overrightarrow {OB} = 0 Leftrightarrow {x_1}{x_2} + (2{x_1} + m)(2{x_2} + m) = 0 Leftrightarrow 5{x_1}{x_2} + 2m({x_1} + {x_2}) + {m^2} = 0 Leftrightarrow – 5m – 4m + {m^2} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} m = 0 m = 9 end{array} right.. end{array}$ Chọn đáp án A.
>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết
