Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp lớp 10 (Lý thuyết Toán 10 Kết nối tri thức)
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTT
Bài giảng: Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp – Cô Trần Oanh (Giáo viên VietJack)
Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
1. Hoán vị
Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).
Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là Pn, được tính bằng công thức
Pn = n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.
Chú ý :
+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : Pn = n!.
Chẳng hạn với n = 3 ta có P3 = 3! = 3.2.1 = 6.
+ Quy ước 0! = 1.
Ví dụ : Từ 3 chữ số 1, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau ?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách sắp xếp ba chữ số đã cho để lập thành một số có ba chữ số khác nhau là một hoán vị của ba chữ số đó.
Do đó ta có số các số thỏa mãn là: P3 = 3! = 3.2.1 = 6 (số).
Vậy có 6 số có ba chữ số khác nhau lập từ ba chữ số 1, 6, 9.
2. Chỉnh hợp
Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).
Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là Ank, được tính bằng công thức:
Ank = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay Ank=n!(n−k)!(1 ≤ k ≤ n).
Chú ý :
+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.
+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy Pn = Ann
Ví dụ: Một nhóm có 8 học sinh, giáo viên muốn chọn ra hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách chọn lần lượt 2 bạn trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó là một chỉnh hợp chập 2 của 8 học sinh.
Ta có : A82=8!(8−2)!=56
Vậy có 56 cách chọn ra 2 trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó.
3. Tổ hợp
Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).
Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là Cnk, được tính bằng công thức :
Cnk=n!(n−k)!k!(0≤k≤n)
Chú ý :
+) <Cnk=Ankk!
+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.
Ví dụ : Một tổ có 10 người, bạn tổ trưởng muốn cử ra 5 bạn đi trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách chọn lần lượt 5 bạn trong 10 bạn đi trực nhật là một tổ hợp chập 5 của 10.
Ta có C105=10!(10−5)!5!=252
Vậy có 252 cách chọn 5 trong 10 bạn đi trực nhật.
4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm
Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính Pn, Ank, Cnk sẽ được dùng rất nhiều.
Ví dụ : Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã mở cửa. Gia đình bác An đặt mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi bác An có bao nhiêu cách tạo mật mã ?
Hướng dẫn giải
Các chữ số có một chữ số để tạo mật mã là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
Vì mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau nên mỗi mật mã là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.
Ta có A106=10!(10−6)!=151200
Vậy có 151 200 cách để bác An tạo mật mã cửa.
5. Sử dụng máy tính cầm tay
Ta có thể dùng máy tính cầm tay để tính số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
Hoán vị
Để tính n!, ta ấn phím theo trình tự sau :
Ấn số n, ấn phím , sau đó ấn phím . Khi đó kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.
Ví dụ : Tính 9!
Ta ấn liên tiếp các phím như sau
Dòng kết quả hiện ra 362 880.
Vậy 9! = 362 880.
Chỉnh hợp
Để tính Ank ta ấn theo trình tự sau :
Ấn số n, ấn phím ấn số k, sau đó ấn phím . Khi đó kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.
Ví dụ: Tính A152
Ta ấn các phím theo trình tự sau :
Dòng kết quả hiện ra 210.
Vậy A152 = 210.
Tổ hợp
Để tính <Cnk ta ấn phím theo trình tự sau :
Ấn số n, ấn phím , ấn số k, sau đó ấn phím . Khi đó, kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.
Ví dụ: Tính C205
Ta ấn các phím theo trình tự sau :
Dòng kết quả hiện ra 15 504.
Vậy C205= 15 504.
Bài tập Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Bài 1: Giáo viên muốn xếp 4 học sinh ngồi cùng một bàn có bốn chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp bốn học sinh đó vào vị trí chỗ ngồi?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách xếp bốn học sinh vào bốn vị trí chỗ là một hoán vị của bốn học sinh đó.
Do vậy ta có P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp.
Vậy có 24 cách xếp bốn học sinh vào bốn vị trí chỗ ngồi.
Bài 2: Một nhóm gồm 22 học sinh, giáo viên muốn lấy ra một đội gồm 8 bạn tham gia chơi trò chơi dân gian. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách để chọn?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách lấy 8 học sinh từ 22 học sinh là một tổ hợp chập 8 của 22 học sinh.
Ta có: C228=22!(22−8)!8!=319 770
Vậy có 319 770 cách lấy 8 học sinh từ 22 học sinh để tham gia chơi trò chơi.
Bài 3: Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số sau: 9, 5, 4, 8, 3.
Hướng dẫn giải
Mỗi cách lấy ba trong năm chữ số sau đó sắp xếp chúng thành số có ba chữ số khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số.
Ta có: A53=5!(5−3)!=60
Vậy có 60 số có ba chữ số khác nhau mà các chữ số đó lấy từ năm chữ số : 9, 5, 4, 8, 3.
Bài 4: Sử dụng máy tính cầm tay hãy tính:
a) P7;
b) <A216
c) <C93
Hướng dẫn giải
Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được các kết quả sau:
a) Ta ấn các phím theo trình tự sau:
Dòng kết quả hiện ra là 5 040.
Vậy P7 = 5 040.
b) Ta ấn các phím theo trình tự sau:
Dòng kết quả hiện ra là 39 070 080.
Vậy A216=39070080
c) Ta ấn các phím theo trình tự sau:
Dòng kết quả hiện ra là 84.
Vậy C93=84
Học tốt Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Các bài học để học tốt Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp Toán lớp 10 hay khác:
-
Giải sgk Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTT
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
-
Lý thuyết Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton
-
Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 8
-
Lý thuyết Toán 10 Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất
-
Lý thuyết Toán 10 Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
-
Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 9
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:
- Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
- Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
- Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
- Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
