Bạn đang tìm cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm một cách nhanh chóng và chính xác? Trong hình học giải tích, việc xác định phương trình đường thẳng từ hai điểm đã biết tọa độ là kỹ năng cơ bản nhưng vô cùng quan trọng, giúp bạn giải quyết hiệu quả nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá chi tiết công thức tổng quát, ví dụ minh họa dễ hiểu và những mẹo áp dụng nhanh phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, giúp bạn học tốt hơn và tiết kiệm thời gian ôn luyện.
Bản quyền thuộc về VnDoc.Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là: (ax + by + c = 0;left( {{a^2} + {b^2} ne 0} right)) nhận (overrightarrow n = left( {a;b} right)) làm vectơ pháp tuyến.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
– Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm 
(Aleft( {{x_0},{y_0}} right)) nhận (overrightarrow u (a,b)) làm vecto chỉ phương, Ta có:
(Bleft( {x,y} right) in d Leftrightarrow overrightarrow {AB} = toverrightarrow u Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x – {x_0} = at} {y – {y_0} = bt} end{array}} right.)
(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x = {x_0} + at} {y = {y_0} + bt} end{array}} right.;left( {{a^2} + {b^2} ne 0,t in mathbb{R}} right))
– Đường thẳng d đi qua điểm (Aleft( {{x_0},{y_0}} right)), nhận (overrightarrow u (a,b)) là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng là (frac{{x – {x_0}}}{a} = frac{{y – {y_0}}}{b}) với ((a,b ne 0))
3. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
a. Sử dụng định nghĩa
Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
Phương pháp:
Bước 1: Tính: (overrightarrow {AB} = left( {c – a;d – b} right)) (vectơ chỉ phương của đường thẳng d)
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d: (overrightarrow n = left( {b – d;c – a} right))
Bước 3: Phương trình đường thẳng d:
(left( {b – d} right)left( {x – a} right) + left( {c – a} right)left( {y – b} right) = 0)
b. Sử dụng phương trình tổng quát
Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
Phương pháp:
Bước 1: Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng d là y = mx + n (*)
Bước 2: Thay tọa độ A, B vào phương trình tổng quát ta thu được hệ phương trình ẩn m, n
(left{ {begin{array}{*{20}{c}} {b = am + n} {d = cm + n} end{array}} right. Rightarrow left( {m;n} right) = left( {?;?} right))
Thay m, n vừa tìm được vào phương trình (*) ta suy ra phương trình cần tìm.
4. Bài tập viết phương trình đường thẳng
Hướng dẫn giải
Cách 1: Sử dụng định nghĩa Cách 2: Sử dụng phương trình tổng quát
(overrightarrow {AB} = left( {1,1} right))
Phương trình tham số: (frac{{x – 1}}{1} = frac{{y – 2}}{1})
(overrightarrow n = left( { – 1,1} right))
Phương trình tổng quát:
(begin{matrix} – 1.left( {x – 1} right) + 1.left( {y – 2} right) = 0 hfill Rightarrow y = x + 1 hfill end{matrix})
(overrightarrow {AB} = left( {1,1} right))
Phương trình tham số: (frac{{x – 1}}{1} = frac{{y – 2}}{1})
Gọi phương trình tổng quát là:
y = ax + b
Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:(left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2 = a.1 + b} {3 = a.2 + b} end{array}} right. Rightarrow left( {a;b} right) = left( {1;1} right))
Vậy PT tổng quát cần tìm là: (y = x + 1)
Hướng dẫn giải
a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
(left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2 = – 3a + b} { – 4 = 5a + b} end{array}} right. Rightarrow left( {a;b} right) = left( { – frac{3}{4}; – frac{1}{4}} right))
Vậy PT tổng quát cần tìm là: (y = – frac{3}{4}x – frac{1}{4})
Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là: (y = 0 Rightarrow x = – frac{1}{3} Rightarrow Aleft( { – frac{1}{3};0} right))
(Rightarrow overrightarrow {OA} = left( { – frac{1}{3};0} right) Rightarrow left| {overrightarrow {OA} } right| = frac{1}{3})
Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là: (x = 0 Rightarrow y = – frac{1}{4} Rightarrow Bleft( {0; – frac{1}{4}} right))
(Rightarrow overrightarrow {OB} = left( {0; – frac{1}{4}} right) Rightarrow left| {overrightarrow {OB} } right| = frac{1}{4})
(Rightarrow {S_{OAB}} = frac{1}{2}.OA.OB = frac{1}{2}.frac{1}{3}.frac{1}{4} = frac{1}{{24}})
b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1
⇒ a = -2
Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b
Mà đường thẳng qua điểm A(3; 1)
⇒ 1 = 3.(-2) + b⇒ b = 7
Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7
Lời giải
Ta có y’ = 6×2 + 6(m – 1)x + 6(m – 2)
Hàm số có cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ Δ’ > 0 ⇔ 9(m – 1)2 – 36(m – 2) > 0 ⇔ 9(m – 3)2 > 0 ⇔ m ≠ 3
Thực hiện phép chia y cho y’ ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
d: y = (-m2 + 6m – 9)x – m2 + 3m – 3
Khi đó d song song với đường thẳng y = -4x + 1.(Leftrightarrow left{ begin{gathered} – {m^2} + 6m – 9 = – 4 hfill – {m^2} + 3m – 3 ne 1 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} left[ begin{gathered} m = 1 hfill m = 5 hfill end{gathered} right. hfill {m^2} – 3m + 4 ne 0 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} m = 1 hfill m = 5 hfill end{gathered} right.)
Kết hợp với điều kiện ta có m = 1 hoặc m = 5 thỏa mãn
Vậy m = 1 hoặc m = 5 là các giá trị cần tìm.
Hướng dẫn giải
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
(left{ begin{matrix} x – y – 2 = 0 x + 2y – 5 = 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} x = 3 y = 1 end{matrix} right. Leftrightarrow A(3;1))
Ta có (Bleft( x_{B};x_{B} – 2 right);Cleft( x_{C};frac{- x_{C} + 5}{2} right))
Gọi (Mleft( x_{0};y_{0} right)) là trung điểm của BC thì (2overrightarrow{GM} = overrightarrow{AG}) nên
(left{ begin{matrix} 2left( x_{0} – 3 right) = 0 2left( y_{0} – 2 right) = 1 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} x_{0} = 3 y_{0} = dfrac{5}{2} end{matrix} right.)
Mặt khác (left{ begin{matrix} x_{B} + x_{C} = 2x_{0} x_{B} – 2 + dfrac{- x_{C} + 5}{2} = 2y_{0} end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} x_{B} + x_{C} = 6 2x_{B} – x_{C} = 9 end{matrix} right.)
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} x_{B} = 5 x_{C} = 1 end{matrix} right. Rightarrow B(5;3),C(1;2))
(Rightarrow overrightarrow{BC} = ( – 4; – 1))
Suy ra một vectơ pháp tuyến của BC là (overrightarrow{n} = (1; – 4))
Suy ra phương trình đường thẳng BC là
(1(x – 5) – 4(y – 3) = 0)
(Leftrightarrow x – 4y + 7 = 0)
Suy ra (m = – 4;n = 7 Rightarrow S = 3)
Hướng dẫn giải
Gọi đường thẳng cần tìm là đường thẳng d.
Khi đó đường thẳng d cách đều hai điểm C và D khi:
TH1: Đường thẳng đó song song hoặc trùng với đường thẳng CD,
Ta có: (overrightarrow{CD} = ( – 1;1)) nên một vectơ pháp tuyến của CD là (overrightarrow{n} = (1;1))
Vậy trong các đường thẳng đã cho chỉ có đường thẳng (x + y – 1 = 0).
TH2: d là đường trung trực của CD.
Khi đó d đi qua trung điểm (Ileft( frac{3}{2};frac{7}{2} right)) của CD và nhận (overrightarrow{CD} = ( – 1;1)) làm VTPT.
Suy ra phương trình đường thẳng d là:
(- 1left( x – frac{3}{2} right) + 1left( y – frac{7}{2} right) = 0)
(Leftrightarrow – x + y – 2 = 0)
Vậy đáp án là (x + y – 1 = 0).
5. Bài tập rèn luyện viết phương trình đường thẳng
Câu 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (A( – 2;4) ;B( – 6;1)) là:
A. (3x + 4y – 10 = 0.) B. (3x – 4y + 22 = 0.)
C. (3x – 4y + 8 = 0.) D. (3x – 4y – 22 = 0).
Câu 2: Cho tam giác (ABC) có (A( – 1; – 2);B(0;2);C( – 2;1)). Đường trung tuyến (BM) có phương trình là:
A. (5x – 3y + 6 = 0) B. (3x – 5y + 10 = 0)
C. (x – 3y + 6 = 0). D. (3x – y – 2 = 0)
Câu 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm (A( – 2;4),B(1;0)) là
A. (4x + 3y + 4 = 0.) B. (4x + 3y – 4 = 0.)
C. (4x – 3y + 4 = 0.) D.(4x – 3y – 4 = 0.)
Câu 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (A(2; – 1)) và (B(2;5)).
A. (left{ begin{matrix} x = 2 y = – 1 + 6t end{matrix} right. .) B. (left{ begin{matrix} x = 2t y = – 6t end{matrix} right. .) C. (left{ begin{matrix} x = 2 + t y = 5 + 6t end{matrix} right. .) D. (left{ begin{matrix} x = 1 y = 2 + 6t end{matrix} right. .)
Câu 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm (A(0; – 5)) và (B(3;0)).
A. (frac{x}{5} + frac{y}{3} = 1). B. (- frac{x}{5} + frac{y}{3} = 1). C. (frac{x}{3} – frac{y}{5} = 1). D. (frac{x}{3} – frac{y}{5} = 0).
Câu 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (A(2; – 1)) và (B(2;5)).
A. (left{ begin{matrix} x = 2 y = – 1 + 6t end{matrix} right. .) B. (left{ begin{matrix} x = 2t y = – 6t end{matrix} right. .) C. (left{ begin{matrix} x = 2 + t y = 5 + 6t end{matrix} right. .) D. (left{ begin{matrix} x = 1 y = 2 + 6t end{matrix} right. .)
Câu 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (A( – 1 ; 3)) và (B(3 ; 1)).
A. (left{ begin{matrix} x = – 1 + 2t y = 3 + t end{matrix} right.). B. (left{ begin{matrix} x = – 1 – 2t y = 3 – t end{matrix} right.). C. (left{ begin{matrix} x = 3 + 2t y = – 1 + t end{matrix} right.). D. (left{ begin{matrix} x = – 1 – 2t y = 3 + t end{matrix} right.).
Câu 8. Đường thẳng đi qua hai điểm (A(1;1)) và (B(2;2)) có phương trình tham số là:
A. (left{ begin{matrix} x = 1 + t y = 2 + 2t end{matrix} right. .) B. (left{ begin{matrix} x = 1 + t y = 1 + 2t end{matrix} right. .) C. (left{ begin{matrix} x = 2 + 2t y = 1 + t end{matrix} right. .) D. (left{ begin{matrix} x = t y = t end{matrix} right. .)
Câu 9. Đường thẳng đi qua hai điểm (A(3;-7)) và (B(1; – 7)) có phương trình tham số là:
A. (left{ begin{matrix} x = t y = – 7 end{matrix} right.). B. (left{ begin{matrix} x = t y = – 7 – t end{matrix} right.). C. (left{ begin{matrix} x = 3 – t y = 1 – 7t end{matrix} right.). D. (left{ begin{matrix} x = t y = 7 end{matrix} right.).
Câu 10. Phương trình nào dưới đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (O(0;0)) và (M(1; – 3))?
A. (left{ begin{matrix} x = 1 – t y = 3t end{matrix} right.). B. (left{ begin{matrix} x = 1 + t y = – 3 – 3t end{matrix} right.). C. (left{ begin{matrix} x = 1 – 2t y = – 3 + 6t end{matrix} right.). D. (left{ begin{matrix} x = – t y = 3t end{matrix} right.).
Câu 11. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm (A(3; – 1)) và (B(1;5)) là:
A. (- x + 3y + 6 = 0.) B. (3x – y + 10 = 0.)
C. (3x – y + 6 = 0.) D. (3x + y – 8 = 0.)
Câu 12. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm (A(2; – 1)) và (B(2;5)) là:
A. (x + y – 1 = 0.) B. (2x – 7y + 9 = 0.) C. (x + 2 = 0.) D. (x – 2 = 0.)
Câu 13. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm (A(3; – 7)) và (B(1; – 7)) là:
A. (y – 7 = 0.) B. (y + 7 = 0.) C. (x + y + 4 = 0.) D. (x + y + 6 = 0.)
–
Trên đây là toàn bộ hướng dẫn chi tiết về cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, kèm theo ví dụ minh họa rõ ràng và công thức dễ nhớ. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ giúp bạn tự tin giải bài tập trong sách giáo khoa mà còn hỗ trợ hiệu quả cho các đề thi nâng cao hoặc đề kiểm tra năng lực. Để học tốt hơn, bạn hãy luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau, thử thay đổi tọa độ hai điểm và viết ra nhiều phương trình đường thẳng khác nhau. Nhờ đó, bạn sẽ rèn luyện khả năng tư duy và phản xạ nhanh với mọi dạng bài.
Hy vọng bài viết “Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm” này đã giúp bạn nắm vững phương pháp và tự tin áp dụng trong học tập. Đừng quên chia sẻ cho bạn bè và theo dõi những bài viết tiếp theo để cập nhật thêm nhiều kiến thức Toán học hữu ích nhé!
