Bài 2: Phương trình mặt phẳng
Bài 15 (trang 89 sgk Hình Học 12 nâng cao): Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua ba điểm M(2, 0, -1), N(1, -2, 3), P(0, 1, 2).
b) Đi qua hai điểm A(1, 1, -1), B(5, 2, 1) và song song với trục Oz.
c) Đi qua điểm (3, 2, -1) và song song với mặt phẳng có phương trình: x – 5y + z=0
d) Đi qua hai điểm A(0; 1; 1), B(-1; 0; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z + 1 = 0
e) Đi qua điểm M(a, b, c) (abc ≠ 0) và song song với một mặt phẳng tọa đố.
f) Đi qua điểm G(1, 2, 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC
g) Đi qua điểm H(2, 1, 1) và cắt trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trung trực tâm tam giác ABC.
Lời giải:
a) Mặt phẳng (MNP) nhận vectơ [MN→,MP→ ] là vectơ pháp tuyến. Ta có MN→=(-1,-2,4),MP→=(-2,1,3) nên [ MN→,MP→ ]=(-10,-5,-5). Vậy mp(MNP) đi qua M(2, 0, -1) và vectơ pháp tuyến là (-10, -5, -5) nên ta có phương trình: -10(x-2)-5y-5(z+1)=0 <=> 2x + y + z – 3 = 0
b) Vì mặt phẳng đi qua AB và song song với Oz nên nó có vectơ pháp tuyến là n→=[AB→,k→], với AB→=(4,1,2),k→=(0,0,1) nên n→=(1,-4,0)
Vậy mặt phẳng cần tìm đi qua A(1, 1, -1) và có vectơ pháp tuyến là n→=(1,-4,0) nên ta có Phương trình là: 1(x-1)-4(y-1)+0(z+1)=0
<=> x – 4y + 3 = 0
Cách khác:
Vì mặt phẳng cần tìm song song với Oz nếu có phương trình dạng Ax + By + D = 0, với A2 + B2 ≠ 0
Vì mặt phẳng này đi qua A(1, 1, -1) và B(5, 2, 1) nên ta có:
⇒ 4A + B = 0, nếu A = 0 thì B = 0 (loại)
Vậy A ≠ 0,ta chọn A = 1 ⇒ B = -4, và D = 3
Vậy phương trình mặt phẳng là: x – 4y + 3 = 0
c) Vì mặt phẳng cần tìm song song với mp: x – 5y + z = 0, nên nó có phương trình dạng: x – 5y + z + D = 0, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm (3, 2, -1) nên ta có:
3 – 5.2 + (-1) + D = 0 ⇔ D = 8
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là : x – 5y + z + 8 = 0
d) Vì mặt phẳng cần tìm đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng: x – y + z + 1 = 0 nên có vectơ pháp tuyến là n→=[AB→,n1→], với AB→=(-1,-1,1) và n1→=(1,-1,1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: x-y+z+1=0. Suy ra n→=(0,2,2).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 0(x- 0)+2(y-1)+2( z- 1)= 0 hay y + z – 2 = 0
e) * Nếu mặt phẳng cần tìm song song với mp(Oxy) thì nó có vectơ pháp tuyến là n→=(0,0,1), mặt khác mặt phẳng này đi qua điểm M(a, b, c) nên có phương tình là: z – c = 0.
Tương tự, nếu mặt phẳng cần tìm đi qua M(a, b, c) và song song với mp(Oxz) thì có Phương trình: y – b = 0.
* Nếu mặt phẳng đó đi qua M(a, b, c) và song song với mp(Oyz) thì có phương trình: z – c = 0
f) Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c). vì G(1, 2, 3) là trọng tâm của ΔABC nên ta có:
suy ra a = 3, b= 6, c = 9 nên ta có Phương trình mp(ABC) theo đoạn chắn là :
g) Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là: A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c).
Vì H(2, 1, 1) là trực tâm ΔABC nên.
Khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo đoạn chắn là:
Mặt khác, mặt phẳng này đi qua H(2, 1, 1) nên ta có:
2.2 + 1 + 1 = 2a <=> a = 3
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x+y+z-6=0
Các bài giải bài tập Hình Học 12 nâng cao Bài 2 Chương 3 khác:
-
Bài 15 (trang 89 SGK Hình Học 12 nâng cao): Viết Phương trình mặt phẳng trong mỗi….
-
Bài 16 (trang 89 SGK Hình Học 12 nâng cao): Xét các vị trị tương đối của mỗi cặp phẳng cho bởi …
-
Bài 17 (trang 89 SGK Hình Học 12 nâng cao): Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp sau đây …
-
Bài 18 (trang 90 SGK Hình Học 12 nâng cao): Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là:…
-
Bài 19 (trang 90 SGK Hình Học 12 nâng cao): Tìm tập hợp các diểm cách đều 2 mặt phẳng (α) và (α’) …
-
Bài 20 (trang 90 SGK Hình Học 12 nâng cao): Tìm khoảng cách giửa hai mặt phẳng:….
-
Bài 21 (trang 90 SGK Hình Học 12 nâng cao): Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp…
-
Bài 22 (trang 90 SGK Hình Học 12 nâng cao): Cho tứ diện OABC có tam giác OAB, OBC, OCA …
-
Bài 23 (trang 90 SGK Hình Học 12 nâng cao): Viết Phương trình mặt phẳng song song với…
