Vecto chỉ phương là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong chương trình môn Toán ở bậc THPT. Vậy, vecto chỉ phương của đường thẳng là gì? Đâu là các vấn đề trọng tâm liên quan đến vecto chỉ phương của đường thẳng? Để hiểu rõ hơn về những nội dung vừa nêu, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu chi tiết bài viết sau đây.
1. Vecto chỉ phương của đường thẳng là gì?
+ Vecto khác vecto-không, có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d.
2. Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng
2.1. Xác định vecto chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tổng quát của đường thẳng
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: ax + by + c = 0 với a2 + b2 0.
+ Tọa độ vecto chỉ phương của đường thẳng d là: = (b; – a) hoặc = (- b; a).
Ví dụ: Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2x – y + 3 = 0. Lúc này, tọa độ vecto chỉ phương của đường thẳng d là: = (1; 2)
2.2. Xác định vecto chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số của đường thẳng
+ Phương trình tham số của đường thẳng d là: với a2 + b2 0.
+ Tọa độ vecto chỉ phương của đường thẳng d là: = (a; b)
Ví dụ: Phương trình tham số của đường thẳng d là: . Lúc này, tọa độ vecto chỉ phương của đường thẳng d là: = (- 1; 2)
2.3. Xác định vecto chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình chính tắc của đường thẳng
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d có dạng: với a 0 và b 0.
+ Tọa độ vecto chỉ phương của đường thẳng d là: = (a; b).
Ví dụ: Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: . Khi đó, vecto chỉ phương của đường thẳng d là: = (3; 5)
3. Cách tính vecto chỉ phương của đường thẳng khi biết hai điểm mà đường thẳng đi qua
+ Giả sử đường thẳng d đi qua hai điểm A(a1; a2) và B(b1; b2).
+ Khi đó, tọa độ vecto chỉ phương của đường thẳng d là: = = (b1 – a1; b2 – a2).
Ví dụ: Đường thẳng d đi qua hai điểm A(2; 3) và B(- 1; 2). Khi đó, tọa độ vecto chỉ phương của đường thẳng d là: = (- 1 – 2; 2 – 3) = (- 3; – 1)
4. Một số lưu ý về vecto chỉ phương của đường thẳng
+ Mỗi đường thẳng có vô số các vecto chỉ phương.
+ Nếu là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì k. (với k 0) cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d.
5. Bài tập vecto chỉ phương của đường thẳng
Bài 1: Trong các vecto sau đây, đâu là vecto chỉ phương của đường thẳng d: x – 2y – 5 = 0.
- = (1; – 2)
- = (- 2; 1)
- = (1; 2)
- = (2; 1)
ĐÁP ÁN
Chọn câu D
Bài 2: Đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 5), B(4; 1) có vecto chỉ phương là:
- = (1; 2)
- = (1; – 4)
- = (1; – 2)
- = (1; 4)
ĐÁP ÁN
Đường thẳng đi qua hai điểm A và B có vecto chỉ phương là:
= = (1; – 4).
Chọn câu B
Bài 3: Trong các vecto sau đây, đâu là vecto chỉ phương của đường thẳng d song song với trục hoành?
- = (1; 1)
- = (1; – 1)
- = (0; 1)
- = (1; 0)
ĐÁP ÁN
Đường thẳng d song song với trục hoành (hay còn gọi là trục Ox) nên đường thẳng d có dạng: y = k (với k là một số thực đã cho) hay y – k = 0. Đường thẳng này có vecto chỉ phương = (1; 0).
Chọn câu D
Bài 4: Vecto chỉ phương của đường thẳng d: là:
- = (3; 4)
- = (3; 1)
- = (- 3; 4)
- = (3; – 1)
ĐÁP ÁN
Chọn câu D
Bài 5: Vecto chỉ phương của đường thẳng d: là:
- = (3; 4)
- = (4; 3)
- = (- 4; 3)
- Cả A, B, C đều sai
ĐÁP ÁN
Chọn câu B
Bài 6: Đường thẳng song song với trục tung có vecto chỉ phương là:
- = (0; 1)
- = (1; 0)
- = (1; – 1)
- Cả A, B, C đều sai
ĐÁP ÁN
Đường thẳng song song với trục tung (hay còn gọi là trục Oy) có phương trình là: x = m hay x – m = 0 (với m là một số thực đã cho). Đường thẳng này có vecto chỉ phương = (0; 1).
Chọn câu A
Bài 7: Sau đây là một số phát biểu về vecto chỉ phương của đường thẳng:
(1) Vecto chỉ phương của một đường thẳng là một vecto bất kì có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
(2) Mỗi đường thẳng chỉ có duy nhất một vecto chỉ phương tương ứng.
(3) Một vecto khi đã làm vecto chỉ phương của đường thẳng này vẫn có thể làm vecto chỉ phương của đường thẳng khác.
(4) Mỗi đường thẳng có vô số các vecto chỉ phương.
Trong các phát biểu nêu trên, phát biểu sai là:
- (3) và (4)
- (3) và (2)
- (1) và (2)
- (1) và (4)
ĐÁP ÁN
+ Một vecto là vecto chỉ phương của đường thẳng ngoài yếu tố có giá song song hoặc trùng với đường thẳng còn yếu tố khác vecto-không.
Do đó, (1) sai.
+ Một đường thẳng cho trước có vô số đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó. Vậy nên mỗi đường thẳng có vô số các vecto chỉ phương.
Do đó, (2) sai, (4) đúng.
+ Một vecto khi đã làm vecto chỉ phương của đường thẳng này vẫn có thể làm vecto chỉ phương của đường thẳng khác. Chẳng hạn, những đường thẳng song song với nhau hoặc trùng nhau sẽ có cùng vecto chỉ phương.
Do đó, (3) đúng.
Chọn câu C
Bài 8: Hãy cho biết, vecto = (2; – 3) là vecto chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
- d: 2x + 3y + 3 = 0
- d: 2x – 3y + 1 = 0
- d: 3x – 2y + 8 = 0
- d: 3x + 2y – 1 = 0
ĐÁP ÁN
Chọn câu D
Các công thức và phương pháp tìm vecto chỉ phương của đường thẳng đã được thể hiện một cách chi tiết và dễ hiểu qua bài viết này. Hy vọng bạn đã hiểu và cảm thấy tự tin áp dụng kiến thức này vào các bài toán thực tế. Hãy tiếp tục rèn luyện và áp dụng kiến thức này vào thực tế để nâng cao kỹ năng toán học của mình.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
